Fonctions exponentielles et logarithmiques

Un bon exemple d'utilisation des fonctions exponentielles en ingénierie est la modélisation de la désintégration des substances radioactives. Le nombre d'atomes \( N \) dans un échantillon radioactif qui ne s'est pas encore désintégré est généralement modélisé par \( N = N_0 e^{-\lambda t} \), où \( N_0 \) est la quantité initiale de la substance, \( \lambda \) est la constante de désintégration, et \( t \) est le temps.

Les fonctions logarithmiques sont utilisées dans le calcul des décibels lorsqu'il s'agit de l'intensité du son. Le niveau d'intensité \N( L \N), mesuré en décibels, d'un son d'intensité \N( I \N) est donné par \N( L = 10 \Nlog \Nfrac{I}{I_0} \N), où \N( I_0 \N) est un niveau d'intensité de référence.

Si tu as la fonction exponentielle \( f(x) = e^{2x} \N), l'utilisation de la règle de la chaîne pour différencier donnerait une réponse de \N( f'(x) = 2e^{2x}). \).

Considère la fonction exponentielle suivante : \N( y = 3^{x-1} + 2 \N). La fonction de base est ici \( y = 3^x \) avec des transformations qui la déplacent d'une unité vers la droite et de deux unités vers le haut. Le point (0,1) deviendra (1,3) sur le graphique transformé, et l'asymptote horizontale se déplacera vers le haut jusqu'à \N( y = 2 \N). Le graphique final montrera la courbe augmentant plus fortement que la fonction de base en raison du coefficient 3.

Considère ensuite une fonction logarithmique : \N( y = -2 \log_{4}{(x+1)} + 3 \N). Ici, la fonction de base est \( y = \log_{4}{x} \). Les transformations comprennent la réflexion sur l'axe des x en raison du signe négatif, l'étirement vertical en raison du facteur 2, un décalage d'une unité vers la gauche en raison de \N( +1 \N) à l'intérieur du logarithme, et un décalage de trois unités vers le haut en raison de \N( +3 \N). Le point (1,0) deviendra (-1,3) dans le graphique final, et l'asymptote verticale se déplacera vers \N( x = -1 \N).

Exemple de modèle de croissance démographique : Admettons qu'une ville de 5000 habitants connaisse un taux de croissance de 2 % par an. En utilisant la formule \( P(t) = P_{0} \cdot e^{rt} \N), tu obtiens \N( P(t) = 5000 \Ncdot e^{0,02t}). \). Cette équation peut être utilisée pour prédire la population de la ville à n'importe quel moment.

Exemple de modélisation financière : Considère un dépôt de 1000 livres sterling sur un compte bancaire qui offre un taux d'intérêt annuel de 5 % composé trimestriellement. Selon la formule des intérêts composés, le montant après 3 ans serait calculé comme suit : \( A = 1000(1 + \frac{0,05}{4})^{4 \cdot 3} \), ce qui donne £1161,83.

Exemple de désintégration radioactive : Supposons que nous commencions avec 1000 atomes d'un isotope radioactif dont la constante de désintégration est de 0,693 par an. En utilisant la formule de désintégration radioactive \( N(t) = N_{0}e^{-λt} \), au bout de 5 ans, il te resterait \N( N(5) = 1000 \cdot e^{-0,693 \cdot 5}), soit environ 67 atomes. \N-) ou environ 67 atomes.

Exemple de traitement du signal : Calculons le niveau de décibels d'un son dont l'intensité est 1000 fois supérieure à l'intensité de référence. En insérant \N( I = 1000I_{0} \N) dans la formule, nous obtenons \N( L = 10 \Nlog_{10}\N(\frac{1000I_{0}}{I_{0}}\N = 30 \N) décibels.

En infographie, les fonctions exponentielles facilitent la création d'un éclairage et d'ombres réalistes. Elles sont essentielles pour générer un effet appelé "imagerie à gamme dynamique élevée" (HDRI) qui représente mieux la large gamme de niveaux d'intensité lumineuse que l'on trouve dans les environnements du monde réel.