Régression polynomiale

Plonge dans le monde complexe de la régression polynomiale, un outil puissant exploité en mathématiques de l'ingénieur pour modéliser les relations entre les variables. Ce guide complet explore la régression polynomiale, de ses fondements à sa myriade d'applications, en la démystifiant à l'aide de définitions claires et d'un examen du rôle crucial de l'approche bayésienne. Tu maîtriseras la formule de régression polynomiale, enrichie d'exemples pratiques, tout en faisant la distinction entre régression linéaire et régression polynomiale. Amplifie ta compréhension des phénomènes d'ingénierie et de mathématiques grâce à ce domaine analytiquement éloquent.

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    Explorer le monde de la régression polynomiale

    La régression polynomiale est un outil fascinant et polyvalent dans le monde de l'ingénierie, capable de modéliser des relations complexes et adaptables dans des ensembles de données. Parmi les nombreux pouvoirs de la régression polynomiale, il y a sa capacité à modéliser et à prédire avec précision des scénarios du monde réel que les régressions linéaires pourraient être incapables de gérer. Ses applications potentielles couvrent divers aspects de l'ingénierie tels que l'apprentissage automatique, la modélisation et le contrôle des systèmes, l'analyse des données et bien d'autres.

    Définition de la régression polynomiale

    La régression polynomiale vise à modéliser la relation entre la variable indépendante (x) et la variable dépendante (y) sous la forme d'un polynôme de degré \(n). Son équation générale se présente sous la forme suivante

    \[y = b_0 + b_1x + b_2x^2+...+b_nx^n +e \].

    Où :

    • \N(b_0, b_1, b_2,..., b_n\N) sont les coefficients.
    • \N(x\N) est la variable indépendante
    • \N(y\N) est la variable dépendante
    • \(e\) est le terme d'erreur

    L'objectif de la régression polynomiale est de trouver les meilleures estimations pour les coefficients en utilisant la méthode des moindres carrés.

    Approche bayésienne de la régression polynomiale

    L'approche bayésienne de la régression polynomiale est une alternative à l'inférence statistique traditionnelle basée sur la fréquence. La principale différence réside dans le traitement des coefficients. Dans l'analyse bayésienne, les coefficients \(b\) sont traités comme des variables aléatoires avec des distributions spécifiques. Cela nous donne une perspective utile sur l'inférence et la prédiction. L'équation est la suivante :

    \[p(b|X,Y) = p(X|b,Y).p(b|Y) / p(X|Y)\]

    Où :

    • \(p(b|X,Y)\) est la distribution postérieure des coefficients.
    • \N(p(X|b,Y)\Nest la fonction de vraisemblance
    • \(p(b|Y)\) est la distribution a priori des coefficients
    • \N(p(X|Y)\Nest la vraisemblance marginale ou l'évidence.

    Il est intéressant de noter que l'approche bayésienne de la régression polynomiale est de plus en plus utilisée dans le domaine de l'ingénierie. Cela est dû en grande partie à sa capacité à traiter les incertitudes et la complexité des modèles.

    Cas cubique : Régression polynomiale

    Dans certains cas, un polynôme cubique est utilisé pour la régression polynomiale parce qu'il s'adapte bien à de nombreuses situations qui présentent des modèles de type courbe. Dans le cas d'un polynôme cubique, l'équation ressemble à ceci :

    \[y = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 + e \].

    Où ,

    • \N(b_0, b_1, b_2,..., b_3\N) sont les coefficients
    • \N(x\N) est la variable indépendante
    • \N(y\N) est la variable dépendante
    • \(e\) est le terme d'erreur

    Par exemple, les taux de croissance de la population ou les taux de vente qui augmentent rapidement avant d'atteindre un plateau seraient mieux exprimés à l'aide de la régression cubique.

    Déplier les applications de la régression polynomiale

    La régression polynomiale n'est pas simplement un concept théorique confiné aux manuels, mais une technique pratique adoptée dans un large éventail d'applications. Couvrant de nombreux domaines, tu peux la voir déployée dans des champs aussi divers que l'ingénierie, l'économie, et même pour comprendre le changement climatique.

    Utilisations pratiques de la régression polynomiale

    Tirée du domaine des mathématiques abstraites, la régression polynomiale est un outil essentiel pour l'analyse du monde réel. Sa mise en œuvre a un impact significatif sur la recherche scientifique, l'analyse commerciale et la modélisation des données, apportant une contribution substantielle aux processus de prise de décision.

    • Modélisation de la croissance économique : Les économistes déploient la régression polynomiale pour modéliser les modèles de croissance économique par rapport à de multiples variables telles que la croissance démographique, l'inflation, le commerce extérieur et plus encore.
    • Changement climatique : La régression polynomiale permet de comprendre l'évolution des modèles météorologiques au fil des ans, en décryptant les corrélations entre divers éléments atmosphériques. Cela permet de prédire les conditions climatiques futures.
    • Soins de santé : L'analyse des données de santé a souvent recours à la régression polynomiale. Elle est utile pour prédire les tendances des maladies, déchiffrer les réactions aux médicaments et comprendre les schémas de rétablissement des patients.
    • Physique : En physique, la modélisation de la régression polynomiale permet aux chercheurs d'extraire des relations significatives des données expérimentales, ce qui les aide à prédire les résultats de scénarios non testés.

    Au-delà de ces exemples, il existe d'innombrables applications dans divers autres domaines, qui exploitent toutes la puissance de la régression polynomiale pour faire des découvertes et des prédictions perspicaces.

    Les chercheurs en santé peuvent utiliser la régression polynomiale pour comprendre la propagation d'une maladie infectieuse au fil du temps. Si \(x\) représente le temps (jours) et \(y\) le nombre de cas, un polynôme du 3ème degré peut être utilisé pour modéliser une telle situation. Sur la base de ce modèle, il est possible de faire des prédictions sur la propagation future.

    L'utilité de la régression polynomiale en mathématiques de l'ingénieur

    Dans le monde fascinant de l'ingénierie, la régression polynomiale est indispensable à la modélisation mathématique, aux prédictions et à l'analyse des systèmes. Elle sert de concept sous-jacent à divers sujets avancés, façonnant les bases des technologies qui sont essentielles pour le monde d'aujourd'hui.

    Analyse des systèmes de contrôle : Ici, la stabilité du système est souvent analysée par les racines des équations caractéristiques, qui sont de nature polynomiale. La régression polynomiale facilite ces calculs.
    Apprentissage automatique : La régression polynomiale est une technique de régression populaire dans l'apprentissage automatique, utilisée pour la modélisation prédictive. En l'appliquant à diverses complexités, elle permet d'adapter les données de manière plus souple.
    Conception mécanique : Dans la conception mécanique, la relation entre les propriétés physiques des matériaux peut être modélisée à l'aide de la régression polynomiale, ce qui aide les ingénieurs à sélectionner intelligemment les matériaux.
    Systèmes électriques : Lors de la conception de circuits et de systèmes électriques, la régression polynomiale aide à modéliser les valeurs des composants et leurs effets sur les performances globales du système.

    Les ingénieurs sont souvent confrontés à des ensembles de données multivariées, dans lesquels de nombreuses variables interagissent de manière non linéaire. La régression polynomiale entre en jeu ici, en fournissant des informations significatives et en permettant aux ingénieurs de faire des choix de conception basés sur ces interrelations complexes.

    Par exemple, dans le domaine de la conception mécanique, la régression polynomiale pourrait être utilisée pour modéliser la relation entre la dureté d'un matériau et son pourcentage de teneur en carbone. Cela permettrait aux ingénieurs de sélectionner des matériaux qui atteignent un équilibre optimal de dureté pour des applications spécifiques, en se basant sur les prédictions du modèle.

    En résumé, la régression polynomiale, avec son large éventail d'applications et sa flexibilité, s'avère être une pierre angulaire dans de nombreuses analyses complexes impliquées dans des scénarios quotidiens du monde réel.

    Maîtriser la formule de régression polynomiale

    La maîtrise de la formule de régression polynomiale ouvre un large éventail de possibilités, en particulier dans le monde de l'analyse des données. Elle constitue un outil polyvalent pour modéliser des relations complexes que les méthodes non linéaires risquent de ne pas saisir. Qu'il s'agisse de prédire des modèles ou des systèmes complexes ou de traiter des ensembles de données multidimensionnelles dans le cadre de l'apprentissage automatique, la maîtrise de la formule de régression polynomiale est un tremplin vers de nombreuses percées significatives dans divers domaines complexes dépendant des données.

    Aperçu de la formule de régression polynomiale

    Par essence, la régression polynomiale va au-delà de la simple régression linéaire en ce sens qu'elle utilise la relation entre les variables \(x\N) et \N(y\N) en exprimant cette interrelation sous la forme d'un polynôme du nième degré. La formule de la régression polynomiale de degré \(n\) est donnée comme suit :

    \[y = b_0 + b_1x + b_2x^2+...+b_nx^n +e \]

    Où :

    • \N(b_0, b_1, b_2,..., b_n\N) sont les coefficients de \N(x\N).
    • \N(x\N) est la variable indépendante.
    • \N(y\N) est la variable dépendante.
    • \N(e\N) est le terme d'erreur.

    En trouvant les meilleurs coefficients à l'aide de la méthode des moindres carrés, tu peux mener à bien la régression polynomiale. Il est important de noter que ces coefficients ne peuvent pas former n'importe quelle valeur arbitraire mais doivent être conformes aux contraintes appliquées. Aussi simple qu'elle puisse paraître, la régression polynomiale s'avère être une technique souple et complète pour traiter des ensembles de données complexes.

    Application de l'équation de régression polynomiale aux problèmes de mathématiques

    La régression polynomiale apporte un nouvel ensemble de compétences à tes capacités de résolution de problèmes mathématiques. En appliquant avec succès l'équation de régression polynomiale, tu peux débloquer de puissantes techniques de prédiction dans des problèmes mathématiques complexes.

    Considère un ensemble d'observations et tu veux établir une relation entre les variables \(x\N) et \N(y\N). La clé ici est de déterminer l'ordre de la partie polynomiale. N'oublie pas que les polynômes d'ordre supérieur peuvent conduire à un surajustement de la fonction aux points de données spécifiques et peuvent ne pas fournir des résultats précis pour différents ensembles de données. N'oublie jamais que le choix de l'ordre du polynôme joue un rôle essentiel dans l'ajustement de l'équation aux données observées.

    Voici un guide étape par étape pour appliquer la régression polynomiale :

    1. Commence par une hypothèse concernant la relation potentielle entre les variables \(x\N) et \N(y\N). Il se peut que cette relation doive être ajustée et affinée au fur et à mesure que tu avances.
    2. Sur la base de cette hypothèse, choisis un degré initial pour ton polynôme. Rappelle-toi que plus le degré est élevé, plus le modèle est flexible, mais au risque de surajuster les données.
    3. Estime les coefficients en utilisant la méthode des moindres carrés. Tu as un système d'équations linéaires à résoudre pour estimer ces coefficients. Des méthodes telles que l'élimination gaussienne ou la règle de Cramer peuvent être utiles ici.
    4. Évalue la qualité de l'ajustement de ton modèle. Cela permet d'évaluer les capacités prédictives du modèle de régression. Tu peux utiliser des mesures diagnostiques telles que le coefficient de détermination (valeur R au carré) et les résidus à cette fin.
    5. Affine ton modèle en te basant sur les résultats de ce diagnostic. Si le modèle semble sous-performant ou surajouté, envisage d'ajuster le degré du polynôme ou de redéfinir la relation entre \(x\N) et \N(y\N).

    Dans un scénario où les ingénieurs modélisent la dureté d'un matériau en fonction de la température, une régression polynomiale pourrait être appliquée. Si \(x\) est la température et \(y\) la dureté du matériau, un polynôme du 2ème degré pourrait être approprié pour cette relation de \(y = b_0 + b_1x + b_2x^2 + e \). Après avoir estimé les coefficients à l'aide de la méthode des moindres carrés, tu peux encore ajuster la régression pour obtenir un ajustement optimal, en veillant à ce que le modèle prédise de manière fiable la dureté du matériau à différentes températures.

    Il est fascinant de voir comment la formule de régression polynomiale, qui a ses racines dans les mathématiques pures, peut être pratique, adaptable et puissamment prédictive dans le monde réel.

    Comprendre la régression polynomiale à l'aide d'exemples

    Tu cherches à comprendre les concepts fondamentaux de la régression polynomiale ? Se plonger dans des exemples pratiques peut être une approche incroyablement efficace. Consacrer du temps à l'étude de situations illustratives peut permettre une compréhension plus intrinsèque de la théorie. Cela permet notamment d'éclairer la façon dont la régression polynomiale traite les ensembles de données complexes, de montrer comment elle s'adapte aux différents degrés du polynôme et d'illustrer la technique d'estimation des coefficients à l'aide de la méthode des moindres carrés.

    Exemples illustrés de régression polynomiale

    Il n'y a pas de meilleure façon de comprendre la régression polynomiale que d'explorer des exemples enrichis de concepts. En appliquant concrètement la théorie à des ensembles de données, tu peux acquérir une compréhension plus profonde et durable de tous les concepts sous-jacents et des subtilités de la régression polynomiale.

    Exemple 1 : Considère un ensemble de données sur les prix de l'immobilier en fonction de la taille de la propriété en pieds carrés. Grâce à la régression polynomiale, nous pouvons modéliser efficacement cette relation non linéaire en sélectionnant un degré approprié.
    Exemple 2 : Dans le domaine de la physique, il arrive souvent que nous enregistrions de nombreux points de données expérimentales et que nous cherchions à tracer un graphique qui s'ajuste au mieux. La régression polynomiale peut être utilisée dans ces situations pour représenter des relations graphiques.
    Exemple 3 : En climatologie, la régression polynomiale peut être utilisée pour visualiser la corrélation entre la température atmosphérique et la concentration de CO2 au fil des ans. Cela permet d'obtenir des informations essentielles sur l'impact des gaz à effet de serre sur le réchauffement de la planète.

    Dans tous ces exemples, \(y\) peut être considéré comme la variable dépendante que nous souhaitons prédire, tandis que \(x\) est la variable indépendante. Le degré du modèle polynomial dépend des points de données et varie selon les cas.

    Explication étape par étape des exemples de régression polynomiale

    L'explication étape par étape d'un exemple de régression polynomiale t'aidera à consolider ta compréhension. À chaque étape, tu apprendras comment transférer tes connaissances théoriques dans une application du monde réel. Chaque partie du voyage joue un rôle crucial, qu'il s'agisse de formuler une hypothèse ou de traiter les problèmes de surajustement.

    Reprenons l'exemple 1 ci-dessus et appliquons-le étape par étape :

    1. Hypothèses : Sur la base des données immobilières, nous pouvons émettre l'hypothèse d'une corrélation possible entre la taille de la propriété et son prix. Notre variable dépendante \(y\) est le prix et la variable indépendante \(x\) est la taille de la propriété.
    2. Degré initial : Le choix du degré du polynôme dépend principalement des données. Pour simplifier, supposons que l'on considère une relation polynomiale du 2e degré, c'est-à-dire \N(y = b_0 + b_1x + b_2x^2 + e\N).
    3. Trouver les coefficients : La méthode des moindres carrés permet d'estimer les coefficients \(b_0\), \(b_1\) et \(b_2\). Ces coefficients constituent essentiellement notre modèle de régression polynomiale. Pour minimiser les résidus, la ligne de meilleur ajustement est tracée.
    4. Qualité de l'ajustement : La qualité de l'ajustement mesure la mesure dans laquelle les valeurs prédites ressemblent aux points de données réels. Elle peut être évaluée à l'aide de plusieurs outils statistiques tels que le R au carré, la statistique F, etc.
    5. Affiner ton hypothèse : Si le modèle ne capture pas les tendances sous-jacentes ou si l'on observe un surajustement ou un sous-ajustement, il est peut-être temps d'affiner l'hypothèse, de revoir le degré polynomial ou d'explorer d'autres variables en vue d'une association.

    Le fait de suivre l'ensemble du processus te permet non seulement de mieux comprendre la régression polynomiale, mais aussi d'apprendre à penser de manière analytique et critique.

    Supposons que le modèle de régression polynomiale calculé dans l'exemple ci-dessus soit \(y = 50000 + 200x -0.4x^2\). Ici, \(50000\) est le prix de base de toutes les propriétés, \(200x\) suggère que le prix augmente de 200 pour chaque pied carré d'augmentation de la taille, cependant, le terme \(-0.4x^2\) indique qu'à une certaine taille, le taux auquel le prix augmente commence à ralentir.

    Participer à de telles séances pratiques enrichit ta compréhension des mathématiques, encourage la pensée critique et te donne les moyens d'interpréter les résultats de façon pertinente. Alors, lance-toi et profite de ton exploration de la régression polynomiale.

    Régression linéaire et régression polynomiale : Repérer les différences

    Bien que la régression linéaire et la régression polynomiale soient toutes deux des méthodes statistiques qui tentent de modéliser la relation entre les variables, leur approche diffère considérablement. Les deux techniques appartiennent à la catégorie plus large de la régression mais diffèrent par les types de relations qu'elles peuvent modéliser, leur complexité et la façon dont elles sont utilisées dans la pratique.

    Comprendre la différence entre la régression linéaire et la régression polynomiale

    La différence fondamentale entre la régression linéaire et la régression polynomiale réside dans la nature de la relation qu'elles modélisent entre les variables dépendantes et indépendantes.

    Larégression linéaire suppose une relation linéaire entre la variable dépendante \(y\) et la variable indépendante \(x\). L'équation de régression linéaire est représentée par \(y = b_0 + b_1x + e\), où \(b_0\) et \(b_1\) sont les coefficients et \(e\) représente le terme d'erreur.

    Larégression polynomiale, en revanche, modélise une relation non linéaire entre les variables dépendantes et indépendantes. Elle étend le concept de régression linéaire en ajoutant des prédicteurs supplémentaires obtenus en élevant chacun des prédicteurs originaux à une puissance. L'équation de la régression polynomiale est représentée par \(y = b_0 + b_1x + b_2x^2+...+b_nx^n +e\).

    Il en résulte que la régression polynomiale peut s'adapter aux courbes, alors que la régression linéaire ne peut s'adapter qu'aux lignes droites. En termes pratiques, cela signifie que la régression polynomiale peut modéliser des phénomènes plus complexes que la régression linéaire et pourrait être préférée lorsque la relation entre les variables comprend une courbure ou change avec l'échelle des variables.

    Avantages et inconvénients : comparaison entre la régression polynomiale et la régression linéaire

    Tu trouveras ci-dessous quelques avantages et inconvénients de la régression polynomiale et de la régression linéaire.

    Avantages et inconvénients de la régression linéaire

    Avantages de la régression linéaire Inconvénients de la régression linéaire
    • Simple à comprendre et à interpréter
    • Efficace à calculer
    • Fournit un bon modèle de base
    • Convient aux problèmes pour lesquels on s'attend à ce que la relation soit linéaire
    • Suppose une relation linéaire entre les variables
    • Peut simplifier à l'excès le modèle si la véritable relation n'est pas linéaire
    • Ne peut pas modéliser les interactions entre les variables

    Avantages et inconvénients de la régression polynomiale

    Avantages de la régression polynomiale Inconvénients de la régression polynomiale
    • Peut modéliser des relations non linéaires
    • Peut modéliser les interactions entre les variables
    • Plus souple que la régression linéaire
    • Nécessite plus de données pour ajuster le modèle
    • Risque de surajustement des données si le degré du polynôme est trop élevé
    • Peut être difficile à interpréter

    Il est essentiel de noter que ni la régression linéaire ni la régression polynomiale ne sont intrinsèquement supérieures. Le choix de la méthode dépend en grande partie de la nature du problème à résoudre, des modèles de données et de tes besoins spécifiques en matière de simplicité, d'efficacité informatique ou de profondeur de compréhension. Les deux formes de régression ont donc leur place dans la boîte à outils de tout analyste ou scientifique des données.

    Régression polynomiale - Principaux enseignements

    • La régression polynomiale est une forme d'analyse de régression qui modélise la relation entre la variable indépendante \(x\) et la variable dépendante \(y\) sous la forme d'un polynôme de nème degré.
    • La régression polynomiale a un large éventail d'applications, notamment la modélisation de la croissance économique, l'analyse du changement climatique, l'analyse des données de santé et la recherche en physique. Elle est utile dans des domaines tels que l'apprentissage automatique, l'analyse des systèmes de contrôle, la conception mécanique et les systèmes électriques en ingénierie.
    • La formule de la régression polynomiale est \N(y = b_0 + b_1x + b_2x^2+...+b_nx^n +e \N), où \N(b_0, b_1, b_2,..., b_n\N) sont les coefficients de \N(x\N), \N(x\N) est la variable indépendante, \N(y\N) est la variable dépendante, et \N(e\N) est le terme d'erreur. Les coefficients sont généralement choisis en utilisant la méthode des moindres carrés.
    • Parmi les exemples de régression polynomiale, on peut citer la modélisation des prix de l'immobilier en fonction de la taille de la propriété, le tracé du graphique de meilleur ajustement en physique et la visualisation de la corrélation entre la température atmosphérique et la concentration de CO2 en climatologie.
    • La différence entre la régression polynomiale et la régression linéaire réside dans la complexité de la relation qu'elles peuvent modéliser. Alors que la régression linéaire modélise linéairement la relation entre la variable indépendante et la variable dépendante, la régression polynomiale peut modéliser une relation plus complexe et non linéaire.
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    Questions fréquemment posées en Régression polynomiale
    Qu'est-ce que la régression polynomiale ?
    La régression polynomiale est une méthode statistique qui modélise la relation entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables indépendantes sous la forme d'un polynôme.
    Pourquoi utiliser la régression polynomiale ?
    On utilise la régression polynomiale pour capturer des relations non linéaires entre les variables, offrant une meilleure approximation que la régression linéaire simple.
    Comment choisir le degré du polynôme pour la régression ?
    Le choix du degré du polynôme dépend de l'équilibre entre simplicité et précision, en évitant le surajustement (overfitting) et le sous-ajustement (underfitting).
    Quels sont les inconvénients de la régression polynomiale ?
    Les inconvénients incluent la complexité accrue avec des degrés élevés, risque de surajustement et sensibilité aux valeurs extrêmes (outliers).

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