Statistiques Non Paramétriques

Plonge dans le monde des statistiques non paramétriques, un domaine essentiel de l'ingénierie. Ce guide complet dévoilera la signification complexe des statistiques non paramétriques, en élaborant des définitions et des concepts clés. Tu acquerras des connaissances approfondies sur diverses méthodes de test, en discernant la différence entre les approches paramétriques et non paramétriques. Tu trouveras également une exploration approfondie de leurs propriétés individuelles et comprendras leur impact sur l'analyse des données. De plus, des applications pratiques et des exemples réels de statistiques non paramétriques éclairent leurs utilisations, complétées par des formules utiles. Équipe-toi de ces outils statistiques résilients et améliore ta compréhension de cet aspect intégral de l'analyse technique.

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    Comprendre les statistiques non paramétriques

    Les statistiques non paramétriques, un sujet essentiel en ingénierie, fournissent des méthodes statistiques robustes et polyvalentes qui font moins d'hypothèses sur les données analysées. Notamment, ces techniques sont moins dépendantes des hypothèses de distribution normale sur la population et sont plus tolérantes aux valeurs aberrantes dans les données. Par conséquent, les statistiques non paramétriques ont des implications idéales dans les applications du monde réel où les données n'adhèrent souvent pas strictement à l'hypothèse de normalité.

    Signification des statistiques non paramétriques

    Les statistiques non paramétriques, souvent connues sous le nom de statistiques sans distribution, offrent un moyen d'analyser les données sans exiger les conditions rigoureuses traditionnellement imposées par les statistiques paramétriques.

    Les statistiques non paramétriques se réfèrent à des méthodes statistiques qui ne supposent pas une distribution spécifique des données. Elles sont souvent utilisées lorsque les données ne sont pas normalement distribuées et ne peuvent pas facilement s'intégrer dans un modèle statistique particulier.

    Elles sont particulièrement utiles lorsque la taille de l'échantillon est faible, lorsque les données présentent des valeurs aberrantes ou lorsque des hypothèses rigoureuses sur la distribution des données ne sont pas réalistes.

    Définitions et concepts clés

    Pour se familiariser plus efficacement avec les statistiques non paramétriques, il est essentiel de comprendre certains concepts et définitions clés. Il s'agit notamment de :
    • \(\textbf{Population:}\) L'ensemble complet d'observations ou de points de données qui sont analysés.
    • \(\textbf{Echantillon:}\) Un sous-ensemble de points de données sélectionnés dans la population.
    • \(\textbf{Distribution:}\) La façon dont les points de données sont répartis sur la plage de valeurs.
    • \(\textbf{Outlier:}\) Un point de données qui est significativement différent des autres points de données dans un ensemble de données.
    Le concept le plus remarquable des statistiques non paramétriques est l'élément de classement des données. Les tests non paramétriques convertissent fondamentalement les données en rangs et analysent ensuite les rangs plutôt que les valeurs réelles des données.
    Concept Définition
    Rang Position numérique d'un point de données dans un ensemble de données lorsque les points de données sont classés par ordre croissant ou décroissant.
    Par exemple, dans un ensemble de données de résultats de tests, les rangs impliquent les positions des résultats individuels lorsqu'ils sont classés dans l'ordre du plus élevé au plus bas ou vice versa.

    Par exemple, un ensemble de données {50, 60, 70, 80} aura des rangs {1, 2, 3, 4} respectivement lorsqu'il est classé par ordre croissant.

    En profondeur, le classement est puissant dans les statistiques non paramétriques parce qu'il permet à l'analyste de réduire des données complexes et variées en rangs uniformes. Ainsi, l'analyse des données devient beaucoup plus simple et intuitive, s'adaptant à une plus grande variété de types de données et rendant les tests statistiques plus robustes aux valeurs aberrantes ou aux données asymétriques.

    Les différentes méthodes de test des statistiques non paramétriques

    Les tests statistiques non paramétriques fournissent une gamme de méthodes permettant d'effectuer des analyses lorsque les données ne répondent pas aux hypothèses des tests paramétriques. Ces tests permettent de surmonter les difficultés liées à la distribution, à la taille de l'échantillon, aux valeurs aberrantes et aux données asymétriques. Approfondissons les différentes méthodes, notamment les tests à un échantillon et les tests à deux échantillons.

    Test non paramétrique à un échantillon

    Le test non paramétrique à un échantillon permet d'analyser une seule population dans des situations où les hypothèses paramétriques peuvent ne pas être satisfaites. Il est généralement utilisé pour vérifier si la médiane d'une distribution est égale à une valeur hypothétique.

    Le test non paramétrique à un échantillon est une méthode statistique utilisée pour déterminer si un échantillon provient d'une population particulière avec une médiane spécifique.

    Les tests non paramétriques à un échantillon les plus courants sont le test des signes et le test de Wilcoxon Signed-Rank.
    • \Ce test évalue la médiane d'une distribution. Il ne prend en compte que les "signes" des différences entre la médiane réelle et la médiane hypothétique, sans tenir compte de leur ampleur.
    • \(\textbf{Wilcoxon Signed-Rank Test:}\) Ce test est similaire au test du signe mais prend en compte l'ampleur des différences, ce qui permet d'obtenir un résultat plus précis.

    Étapes à suivre pour effectuer un test non paramétrique à un échantillon

    La réalisation d'un test non paramétrique à un échantillon comporte une série d'étapes distinctes. Discutons de la réalisation du test de rang signé de Wilcoxon concernant la médiane hypothétique.
    1. Formule l'hypothèse nulle (\( H_0 \)) et l'hypothèse alternative (\( H_A \)). Généralement, \N( H_0 \N) signifie que la médiane de la population est égale à la valeur hypothétique, tandis que \N( H_A \N) signifie que la médiane de la population n'est pas égale à la valeur hypothétique.
    2. Classe les différences absolues entre les valeurs des données et la médiane hypothétique, sans tenir compte des signes.
    3. Applique ces rangs aux valeurs de données correspondantes avec leur signe d'origine (+/-).
    4. Additionne les rangs positifs et les rangs négatifs séparément.
    5. Calcule la statistique du test, qui est la plus petite des deux valeurs de rang additionnées.
    6. Compare ta statistique de test à la valeur critique du tableau du test de Wilcoxon. Si la statistique du test est inférieure à la valeur critique, rejette l'hypothèse (H_0).

    Tests statistiques non paramétriques pour deux échantillons

    Les tests statistiques non paramétriques pour deux échantillons te permettent de comparer deux ensembles de données indépendants. Ces tests sont utiles lorsque tu veux déterminer s'il existe une différence significative entre deux groupes.

    Les tests non paramétriques à deux échantillons sont des tests qui comparent les médianes de deux échantillons indépendants pour déterminer s'ils proviennent de la même population ou de populations différentes.

    Deux tests non paramétriques à deux échantillons courants sont le test U de Mann-Whitney et le test de somme des rangs de Wilcoxon.
    • \(\textbf{Test U de Mann-Whitney:}) Ce test compare deux échantillons indépendants pour voir s'ils proviennent de la même distribution.
    • \(\textbf{Wilcoxon Rank-Sum Test:}\NCe test, tout comme le test U de Mann-Whitney, compare deux échantillons indépendants. Le processus de classement est cependant différent.

    Comparaison de deux ensembles de données à l'aide de statistiques non paramétriques

    Le processus de comparaison de deux ensembles de données à l'aide de statistiques non paramétriques comporte plusieurs étapes. En voici un aperçu à l'aide du test U de Mann-Whitney.
    1. Tout d'abord, énonce l'hypothèse nulle (\N( H_0 \N)) selon laquelle les échantillons proviennent de la même population et l'hypothèse alternative (\N( H_A \N)) selon laquelle les échantillons proviennent de populations différentes.
    2. Combine les données des deux échantillons, puis classe les données de la plus petite à la plus grande.
    3. Additionne les rangs des valeurs de chaque échantillon séparément.
    4. La statistique U de Mann-Whitney est la plus petite des deux sommes de rangs.
    5. Vérifie les valeurs critiques de la distribution U de Mann-Whitney pour juger de l'hypothèse nulle.
    Ces étapes offrent une méthode solide pour comparer deux ensembles de données de manière non paramétrique afin de tirer des conclusions significatives tout en annulant les limites des méthodes paramétriques.

    Explication de la différence entre les statistiques paramétriques et non paramétriques

    Les statistiques paramétriques et non paramétriques présentent toutes deux des méthodologies essentielles pour l'analyse et l'interprétation des données. D'une importance capitale dans divers scénarios pratiques, ces techniques statistiques présentent des avantages uniques et potentiellement certaines limites. Ce sont leurs caractéristiques individuelles qui nécessitent une sélection minutieuse en fonction du type de données et des questions de recherche.

    Avantages et limites des deux approches

    Pour mieux comprendre les statistiques paramétriques et non paramétriques, il est utile d'examiner les avantages et les limites de ces deux approches.

    Les statistiques paramétriques sont des techniques statistiques qui supposent que les données ont été tirées d'une population spécifique dont les paramètres (moyenne, écart-type) sont bien définis et connus. En revanche, les statistiques non paramétriques font moins d'hypothèses sur les paramètres de la population, d'où leur appellation populaire de statistiques "sans distribution".

    • \Les méthodes statistiques paramétriques offrent les avantages suivants :
      • Plus efficaces si leurs hypothèses se vérifient - fournissent des résultats plus significatifs sur le plan statistique pour la même quantité de données.
      • Offrent des options plus larges de tests et de modèles, améliorant la capacité à modéliser et à comprendre des relations complexes dans les données.
      • Permettent des déductions plus détaillées et plus informatives puisqu'elles estiment également les paramètres de la distribution de la population.
      Cependant, elles présentent des limites :
      • Elles nécessitent un nombre important d'hypothèses strictes sur la nature des données sous-jacentes. Les données doivent être numériques et sont souvent supposées suivre une distribution normale.
      • Dans le cas où les données présentent des valeurs aberrantes ou sont asymétriques, l'utilisation de tests paramétriques peut conduire à des résultats trompeurs.
    • \Les méthodes statistiques non paramétriques présentent les avantages suivants :
      • Elles ont des exigences moins strictes concernant les données sous-jacentes et peuvent être utilisées avec des données ordinales, d'intervalle ou de ratio.
      • Elles sont très résistantes aux valeurs aberrantes puisqu'elles ne font pas d'hypothèses sur les paramètres de la population et qu'elles sont basées sur les rangs.
      Cependant, les méthodes non paramétriques ont également des limites :
      • Elles peuvent nécessiter plus de données pour atteindre le même niveau de puissance statistique que les méthodes paramétriques.
      • Bien qu'elles puissent te dire s'il y a un effet ou une relation significative, elles ne fournissent pas d'informations aussi détaillées sur la taille ou la nature de l'effet que leurs homologues paramétriques.
    La principale caractéristique qui les distingue est que les statistiques paramétriques supposent que les données sont d'un type particulier (par exemple, normalement distribuées), alors que les statistiques non paramétriques ne reposent pas sur de telles hypothèses. Néanmoins, les deux méthodologies peuvent offrir des informations précieuses sur tes données si elles sont choisies judicieusement et mises en œuvre correctement. Tu dois tenir compte de la nature de tes données, de leur distribution et de la question de recherche spécifique à laquelle tu réponds pour déterminer si les techniques paramétriques ou non paramétriques sont les plus appropriées.

    Gros plan sur les propriétés des statistiques non paramétriques

    Les statistiques non paramétriques, souvent louées pour leur polyvalence, ont un avantage dans certains scénarios d'analyse. Les méthodes non paramétriques s'avèrent particulièrement dynamiques lorsqu'il s'agit de données asymétriques ou d'informations catégorielles. Explorons les propriétés distinctes qui caractérisent ces statistiques et la façon dont elles influencent considérablement l'analyse des données.

    Propriétés communes des statistiques non paramétriques

    Les statistiques non paramétriques, souvent appelées méthodes sans distribution, se distinguent par leurs propriétés inhérentes. Ces propriétés expliquent leur applicabilité rigoureuse à divers types de données et situations analytiques.

    Les statistiques non paramétriques se caractérisent par le fait qu'elles ne s'appuient pas sur des paramètres de population spécifiques. Cela signifie qu'elles fonctionnent sans les contraintes conventionnelles de normalité et d'homogénéité de la variance.

    Les propriétés communes observées des statistiques non paramétriques sont les suivantes :

    • \Ces statistiques ne reposent pas sur des hypothèses de conformité des données à des distributions spécifiques. Elles peuvent donc traiter efficacement les données qui ne répondent pas à l'hypothèse de normalité de nombreux tests paramétriques.
    • \Les méthodes non paramétriques sont assez robustes face à la présence de valeurs aberrantes ou extrêmes qui pourraient fausser les résultats des tests paramétriques.
    • \(\textbf{Ordinal Use:}\r}Ces méthodes peuvent être utilisées avec des données mesurées sur des échelles ordinales, ce qui enrichit leur champ d'application.
    • \(\textbf{Flexible Data Types:}\N- Elles sont capables d'analyser différents types de données, allant des données ordinales aux données nominales, et même aux données numériques, ce qui accroît leur polyvalence.

    La robustesse, en termes statistiques, désigne la capacité d'une méthode à produire des résultats cohérents et fiables même lorsque les hypothèses sous-jacentes ne sont pas strictement respectées. Cette propriété est un avantage clé des statistiques non paramétriques, ce qui les rend favorables dans les scénarios où les valeurs aberrantes et les données asymétriques ne peuvent être évitées.

    L'absence d'hypothèses de distribution ainsi que la robustesse de ces tests représentent un avantage significatif lorsqu'il s'agit de traiter des structures de données complexes dans le monde réel. La capacité de traiter confortablement différents types de données garantit que les techniques non paramétriques peuvent être appliquées de manière flexible à divers paysages de données.

    Comment ces propriétés influencent l'analyse des données

    Les propriétés des statistiques non paramétriques permettent à ces méthodes d'influencer l'analyse des données en fournissant des résultats valides même lorsque les données ne répondent pas aux hypothèses des tests paramétriques, en gérant différents niveaux de mesure et en étant moins sensibles aux valeurs aberrantes.

    L'influence des propriétés inhérentes aux méthodes statistiques non paramétriques sur l'analyse des données devient visible à travers trois facettes principales :
    • \Les tests non paramétriques deviennent des alternatives pratiques lorsque les hypothèses des tests paramétriques ne peuvent pas être satisfaites par les données données - lorsque la population n'est pas normalement distribuée ou que les paramètres de la population sont inconnus.
    • \Dans les tests non paramétriques, les données sont souvent converties en rangs, ce qui améliore l'interprétation des résultats de l'analyse. Cela est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de données ordinales, où les différences d'ordre de grandeur ne sont pas nécessairement homogènes ou significatives. Toutes les attributions sont traitées de la même manière, ce qui permet de contourner l'effet négatif des valeurs aberrantes.
    • \Même si les tests non paramétriques sont considérés comme moins puissants que les tests paramétriques lorsque les hypothèses de ces derniers sont respectées, ils peuvent égaler ou dépasser la puissance des tests paramétriques lorsque les données sont fortement asymétriques ou contiennent des valeurs aberrantes.

    Par exemple, si tu examines la satisfaction des clients à l'égard d'un produit, en utilisant une échelle de Likert qui va de "Très insatisfait" à "Très satisfait", un test non paramétrique serait plus approprié qu'un test paramétrique. Ces données ne suivent manifestement pas une distribution normale et ne possèdent pas d'intervalles égaux. L'utilisation d'un test non paramétrique répondrait mieux à ces caractéristiques des données - en n'ignorant pas la nature ordinale et en n'étant pas affecté par l'absence d'intervalles homogènes.

    Dans l'ensemble, les propriétés des statistiques non paramétriques leur confèrent non seulement une plus grande applicabilité, mais en font également des alternatives compétentes dans plusieurs scénarios d'analyse du monde réel. Prends en compte les propriétés et les influences des méthodes non paramétriques lorsque tu travailles avec des structures de données compliquées ou lorsque les hypothèses clés des méthodes paramétriques ne sont pas respectées.

    Applications pratiques et exemples de statistiques non paramétriques

    Pour donner un sens pratique aux statistiques non paramétriques, il faut découvrir les situations dans lesquelles ces méthodes sans distribution s'appliquent. Leur polyvalence est souvent mise en évidence dans des applications réelles où les hypothèses des tests paramétriques ne sont pas respectées et où les données se présentent sous différentes formes, échelles et distributions.

    Applications des statistiques non paramétriques dans la vie réelle

    Dans la vie réelle, les données correspondent rarement aux stipulations strictes exigées par les tests paramétriques. C'est pourquoi les statistiques non paramétriques trouvent une large application dans divers domaines de recherche et dans l'industrie, probablement en raison de leurs exigences plus souples et de leur robustesse incontestable.

    Les statistiques non paramétriques jouent un rôle crucial lorsque les hypothèses fondamentales des modèles paramétriques, telles que des données normalement distribuées ou des paramètres de population connus, ne sont pas respectées ou que les données sont ordinales, hiérarchiques ou non numériques.

    • \Les données issues des enquêtes auprès des clients peuvent être ordinales ou non numériques. Les tests non paramétriques, tels que le test d'adéquation du chi carré, sont appliqués pour évaluer le succès des campagnes ou les préférences des clients.
    • \Dans les essais cliniques, les tests non paramétriques sont utilisés pour comparer les rangs de deux échantillons indépendants ou plus. Le test U de Mann-Whitney ou le test du rang signé de Wilcoxon, par exemple, sont d'une utilité exceptionnelle.
    • \Lorsqu'on étudie des phénomènes tels que les niveaux de pollution ou les impacts du changement climatique, les valeurs aberrantes sont fréquentes. Les tests non-paramétriques sont souvent préférés en raison de leur capacité à rassembler des données asymétriques ou des valeurs aberrantes.
    • \Les méthodes non paramétriques peuvent aider à mesurer des facteurs non quantifiables tels que les attitudes, les perceptions et les croyances. Ici, les données ordinales bénéficient énormément de ces tests sans distribution.
    Il est important de noter que l'application des tests non paramétriques n'est pas limitée aux cas où les données ne répondent pas aux hypothèses paramétriques. Ils sont également utilisés lorsque les données sont ordinales ou catégorielles par nature, ou lorsque les données sont susceptibles de contenir des valeurs aberrantes.

    Formule des statistiques non paramétriques

    Pour les statistiques non paramétriques, les données sont souvent classées, et les statistiques de test utilisées pour comparer deux échantillons sont basées sur ces classements. Ce processus est clairement mis en évidence dans deux tests non paramétriques largement utilisés : le test U de Mann-Whitney et le test de rang signé de Wilcoxon.

    Le test U de Mann-Whitney est utilisé pour vérifier si deux échantillons indépendants proviennent de populations dont la distribution est similaire. Le test du rang signé de Wilcoxon, à l'inverse, compare deux échantillons apparentés pour déterminer si leurs différences sont symétriques autour de zéro.

    La statistique du test U de Mann-Whitney est donnée par : \[ U = n_1n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1 \] où \(n_1\) et \(n_2\) sont les tailles des échantillons et \(R_1\) est la somme des rangs dans le premier échantillon. La statistique du test du rang signé de Wilcoxon, W, est calculée comme la plus petite des deux sommes des rangs positifs et négatifs, notées respectivement \(W^{+}\) et \(W^{-}\). \N[ W = min(W^{+}, W^{-}) \N] Comprendre la base de ces formules te donne non seulement un aperçu précieux du fonctionnement des statistiques non paramétriques, mais améliore également ta capacité à interpréter les résultats et à en tirer des conclusions valables.

    Exemples de statistiques non paramétriques

    Pour mettre en contexte le concept des statistiques non paramétriques, il faut des exemples concrets. Ces exemples mettent en lumière l'utilisation pratique et l'utilité de ces outils dans l'interprétation et l'analyse de données provenant de sources diverses.

    Voici un exemple d'utilisation des statistiques non paramétriques dans un contexte marketing. Disons que tu as obtenu des données à partir d'une enquête sur la satisfaction des clients avec trois réponses catégoriques : 'Satisfait', 'Neutre' et 'Insatisfait'. L'objectif est ici de vérifier si la distribution des attitudes des clients s'écarte de manière significative d'une distribution régulière attendue. C'est là que le test du Khi-deux de l'adéquation, un test non paramétrique classique, peut entrer en jeu. Le résultat te permet de prendre des décisions éclairées sur les ajustements possibles pour améliorer la satisfaction des clients.

    Dans le domaine médical, supposons que tu souhaites comparer l'efficacité de deux traitements. À cette fin, tu recueilles des données sur les temps de rétablissement des patients pour les deux traitements. Comme le temps de récupération n'est pas nécessairement distribué normalement, un test de Mann-Whitney pourrait être utilisé pour vérifier s'il existe une différence significative entre les deux traitements. Le résultat du test permet de prendre des décisions éclairées concernant l'option de traitement préférée.

    L'intégration de méthodes statistiques non paramétriques dans ta boîte à outils analytique fournit une réponse solide à des scénarios de données divers et complexes. En comprenant ses diverses applications, en maîtrisant les formules sous-jacentes et en apprenant à partir d'exemples pratiques, tu peux garantir des interprétations et des conclusions statistiquement valides, quelles que soient les caractéristiques des données.

    Statistiques non paramétriques - Principaux enseignements

    • Les tests statistiques non paramétriques sont utilisés lorsque les données ne répondent pas aux hypothèses des tests paramétriques, notamment en ce qui concerne la distribution, la taille de l'échantillon, les valeurs aberrantes et l'asymétrie.
    • Le test non paramétrique à un échantillon est utilisé dans les situations où les hypothèses paramétriques peuvent ne pas être satisfaites et pour vérifier si la médiane d'une distribution correspond à une valeur hypothétique.
    • Deux tests non paramétriques à un échantillon courants sont le test des signes (qui évalue la médiane d'une distribution) et le test de Wilcoxon Signed-Rank (qui prend en compte l'ampleur des différences).
    • Les tests statistiques non paramétriques à deux échantillons, comme le test U de Mann-Whitney et le test de Wilcoxon Rank-Sum, sont utilisés pour comparer deux ensembles de données indépendants.
    • La principale différence entre les statistiques paramétriques et non paramétriques est que les statistiques paramétriques supposent que les données sont d'un type particulier (par exemple, normalement distribuées), alors que les statistiques non paramétriques ne reposent pas sur de telles hypothèses.
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    Questions fréquemment posées en Statistiques Non Paramétriques
    Qu'est-ce que les statistiques non paramétriques ?
    Les statistiques non paramétriques portent sur des tests et méthodes qui ne supposent pas de distribution spécifique pour les données.
    Pourquoi utiliser les statistiques non paramétriques ?
    Les statistiques non paramétriques sont utiles lorsque les données ne suivent pas une distribution normale ou en cas de petits échantillons.
    Quels sont les avantages des statistiques non paramétriques ?
    Les avantages incluent moins de contraintes sur les données et une plus grande applicabilité à diverses situations pratiques.
    Quels sont les tests couramment utilisés en statistiques non paramétriques ?
    Les tests courants incluent le test de Mann-Whitney, le test de Wilcoxon et le test de Kruskal-Wallis.

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