Valeur moyenne et Écart type

Plonge au cœur des concepts de l'ingénierie avec ce guide informatif sur la valeur moyenne et l'écart type. Découvre ce que signifient ces mesures statistiques clés, leur rôle dans les probabilités et leurs applications pratiques dans le domaine de l'ingénierie. Ce guide complet décompose également les formules complexes et fournit des exemples clairs. Que tu sois un étudiant, un ingénieur en herbe ou un professionnel établi cherchant à rafraîchir ses connaissances, cette ressource t'offre une base solide dans les subtilités de la valeur moyenne et de l'écart type.

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    Comprendre la valeur moyenne et l'écart type

    La valeur moyenne et l'écart type sont deux concepts fondamentaux de la statistique qui constituent la base de l'analyse des données dans un grand nombre de domaines, y compris l'ingénierie.

    Définition : Démêler la signification de la valeur moyenne et de l'écart type

    Décortiquons ces terminologies.

    La valeur moyenne, souvent appelée moyenne, est essentiellement la somme de toutes les valeurs enregistrées divisée par le nombre total de valeurs. Elle est représentée par la lettre grecque \( \mu \).

    Par exemple, si tu veux calculer la valeur moyenne de cinq nombres : 2, 3, 7, 8 et 10. \[ \mu = \frac{{2+3+7+8+10}{5} \] Tu obtiendrais 30 divisé par 5, ce qui est égal à 6. La moyenne est donc 6.

    L'écart type, désigné par la lettre grecque \( \sigma \), mesure la dispersion ou l'étendue d'un ensemble de valeurs. Un écart-type faible signifie que les valeurs ont tendance à être proches de la moyenne, tandis qu'un écart-type élevé indique que les valeurs sont réparties sur une plus grande plage.

    Si nous considérons la racine carrée de la moyenne des écarts au carré par rapport à la moyenne, nous pouvons calculer l'écart type pour les cinq nombres mentionnés plus haut. Voici la formule : \[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2} \] Pour calculer l'écart type, il faut d'abord trouver la moyenne (que nous avons calculée plus tôt comme étant 6), puis soustraire la moyenne de chaque nombre, élever le résultat au carré, trouver la moyenne de ces différences au carré, et enfin, prendre la racine carrée de cette moyenne : \[ \sigma = \sqrt{\frac{{ (2-6)^2 + (3-6)^2 + (7-6)^2 + (8-6)^2 +(10-6)^2 }{5}}]. \] Après avoir exécuté les calculs ci-dessus, l'écart type serait d'environ 3.

    Principales différences entre la valeur moyenne et l'écart-type

    Il existe des différences fondamentales entre la valeur moyenne et l'écart type qui peuvent être résumées comme suit :
    • La valeur moyenne est une indication de la "tendance centrale ou de la moyenne" d'un ensemble de données, tandis que l'écart type est une mesure de la "variabilité ou de la dispersion" au sein de cet ensemble de données.
    • La valeur moyenne est influencée par chaque valeur de l'ensemble de données et est donc sensible aux valeurs extrêmes ou aberrantes. En revanche, l'écart type, parce qu'il est basé sur la moyenne, peut également être influencé par les valeurs extrêmes, mais il fournit une mesure plus robuste de la dispersion des données.

    Pourquoi la valeur moyenne et l'écart type sont-ils importants ?

    La valeur moyenne et l'écart type sont comme l'ABC de l'analyse des données - tu ne peux pas faire grand-chose sans les comprendre. Pour illustrer cela, imagine que tu travailles sur un projet de génie civil concernant la résistance du béton. La valeur moyenne t'aide à comprendre la résistance moyenne de ton mélange de béton, tandis que l'écart type t'indique la variation de la résistance d'un lot à l'autre. Si la moyenne est élevée et que l'écart type est faible, tu peux être certain que ton mélange de béton est toujours solide.

    Au-delà des bases de l'analyse statistique, la valeur moyenne et l'écart type jouent également un rôle crucial dans les sujets avancés. Ils sont à la base des tests statistiques paramétriques, de l'analyse de régression, de la modélisation probabiliste et des processus de contrôle tels que Six Sigma et la gestion de la qualité totale, qui sont largement utilisés dans le domaine de l'ingénierie.

    Probabilité dans la valeur moyenne et l'écart type

    Les probabilités jouent un rôle intrinsèque dans le calcul et l'interprétation de la valeur moyenne et de l'écart type d'un ensemble de données statistiques. En comprenant les subtilités des probabilités, les ingénieurs peuvent tirer parti de ces outils fondamentaux pour faciliter la prise de décisions analytiques et fondées sur des données.

    Le rôle des probabilités dans la valeur moyenne et l'écart type

    Les probabilités permettent essentiellement de quantifier l'incertitude associée aux variables aléatoires. Chaque résultat aléatoire dans une population ou un échantillon est associé à des probabilités. Lorsque l'on calcule la moyenne ou l'écart type d'un ensemble de données, la probabilité complète le puzzle en fournissant une mesure de la probabilité des différents résultats.Probabilité et valeur moyenne: Le concept de valeur moyenne, ou valeur attendue dans un contexte probabiliste, est intrinsèquement lié aux probabilités. Pour une population finie donnée avec des probabilités associées \N( p_1, \Nldots , p_n \N), la valeur moyenne est calculée par : \N[ \Nmu = \Nsum_{i=1}^n (x_i \Ncdot p_i) \N].

    Cette équation est essentiellement la moyenne pondérée de chaque résultat \(x_i\), les poids étant les probabilités respectives \(p_i\).

    Probabilité et écart-type : Comme pour la valeur moyenne, la probabilité entre également dans le calcul de l'écart type, qui montre à quel point les valeurs d'un ensemble de données sont dispersées. En termes de probabilité, l'écart type est la racine carrée de la variance, et la variance (\(v\)) est calculée comme suit : \[ v = \sum_{i=1}^n \left( (x_i - \mu)^2 \cdot p_i \right) \] Par conséquent, l'écart type peut être calculé comme suit : \[ \sigma = \sqrt{v} \] Cette formule indique que l'écart de chaque résultat par rapport à la moyenne est élevé au carré, multiplié par sa probabilité respective et additionné. La racine carrée de ce total donne l'écart type.

    Ainsi, la valeur moyenne et l'écart type font tous deux appel aux probabilités pour quantifier la façon dont les données sont réparties et où elles sont centrées.

    Calcul de la valeur moyenne et de l'écart type en probabilités

    Sachant comment les probabilités s'intègrent à la valeur moyenne et à l'écart type, il est temps de s'attaquer aux calculs.Valeur moyenne: Supposons que tu sois un ingénieur mécanique travaillant sur une chaîne de montage de moteurs, et que tu cherches à déterminer la force du moteur, les résultats possibles étant 3, 5 et 7. Les probabilités associées sont respectivement de 0,1, 0,6 et 0,3. La valeur moyenne probable serait : \[ \N- \NMu = (3 fois 0,1) + (5 fois 0,6) + (7 fois 0,3) \N] \N- \N- \NMu = 5,6 \N]Écart type : L'écart-type est un peu plus complexe. En utilisant la valeur moyenne calculée, l'écart doit être élevé au carré, multiplié par la probabilité respective et additionné : \[ v = \sum_{i=1}^n \left( (x_i - \mu)^2 \cdot p_i \right) \] \[ = ((3-5.6)^2 \n- fois 0,1) + ((5-5,6)^2 \n- fois 0,6) + ((7-5,6)^2 \n- fois 0,3) \n- fois 0,1).3)] Il suffit maintenant de prendre la racine carrée de la variance (\(v\)) pour obtenir l'écart type : \[ \sigma = \sqrt{v} \] Une compréhension de la probabilité de la valeur moyenne et de l'écart type permet aux ingénieurs de comprendre le comportement attendu de leurs systèmes, ainsi qu'une mesure de la variabilité de la performance du système. Plus la probabilité est élevée, plus il y a de chances qu'un événement se produise.

    Applications pratiques de la valeur moyenne et de l'

    écart type La valeur moyenne et l'écart type ne sont pas des concepts mathématiques ésotériques confinés aux manuels. Ils ont des applications pratiques très variées dans de nombreux domaines, y compris l'ingénierie, où ces mesures statistiques essentielles peuvent être utilisées pour analyser et prédire les performances et la fiabilité des systèmes, le contrôle de la qualité, et bien d'autres choses encore. En comprenant l'importance et l'utilisation de ces deux mesures, tu pourras mieux interpréter, analyser et même prédire les variables d'intérêt dans les domaines de l'ingénierie.

    Comment la valeur moyenne et l'écart type sont utilisés en ingénierie

    L'ingénierie est un domaine qui repose fortement sur l'analyse des données. La valeur moyenne et l'écart type sont des mesures couramment utilisées dans cette analyse. Ces outils statistiques vont au-delà de la simple compilation de chiffres et fournissent des informations qui peuvent aider à prendre des décisions fondées sur des données.Contrôle de la qualité : Le maintien d'une qualité constante dans les processus de fabrication est crucial en ingénierie. La valeur moyenne peut fournir des informations sur la performance ou la caractéristique moyenne d'un produit, comme la résistance à la traction des fils métalliques, la résistance des composants électroniques ou le rendement énergétique des moteurs. Cependant, le maintien de la qualité ne se limite pas à l'obtention de la moyenne souhaitée ; il s'agit également d'une question de cohérence, et c'est là que l'écart type entre en jeu. Un faible écart-type indique que les produits sont cohérents, ce qui souligne la fiabilité de tes processus de fabrication. Par conséquent, les deux mesures combinées donnent une image plus complète de la gestion de la qualité.Analyse de la fiabilité : En ingénierie de la fiabilité, la valeur moyenne peut représenter le délai moyen de défaillance des composants ou des systèmes, une information cruciale lors de la planification de l'entretien du système ou des calendriers de remplacement. L'écart type, quant à lui, indique la dispersion des temps de défaillance. Un composant ou un système dont l'écart-type des temps de défaillance est élevé peut être considéré comme moins fiable, car il est moins prévisible.Contrôle statistique des processus : Les ingénieurs ont souvent recours au contrôle statistique des processus (CSP) pour surveiller et contrôler les processus. La moyenne et l'écart-type constituent l'épine dorsale des cartes de contrôle utilisées dans le cadre du CSP. La moyenne fournit une mesure de l'endroit où le processus est centré, tandis que l'écart type fournit une mesure de la variabilité du processus. Les limites de contrôle, qui sont des éléments essentiels des cartes de contrôle, sont généralement définies en fonction de ces deux mesures.Plan d'expériences : En ingénierie, la conception d'expériences (DOE) est une approche systématique visant à déterminer la relation entre les différents facteurs affectant un processus et le résultat de ce processus. Le DOE consiste à mener une série d'expériences où certaines variables sont manipulées pour observer leur effet sur une variable de sortie, telle que les propriétés physiques du produit. La valeur moyenne et l'écart type sont tous deux utilisés pour interpréter les résultats et tirer des conclusions utiles des données expérimentales.

    Exemples réels d'applications de la valeur moyenne et de l'écart type

    Des applications techniques réelles montrent comment la valeur moyenne et l'écart type fournissent des résumés informatifs d'ensembles de données et offrent des capacités de prédiction.Application dans les télécommunications : Dans les télécommunications, la force du signal peut varier considérablement en raison de facteurs tels que la distance par rapport à la source du signal, les obstructions physiques et les conditions atmosphériques. Les ingénieurs doivent comprendre la force moyenne du signal (moyenne) et l'écart qu'elle peut avoir (écart-type) pour assurer une communication fiable. Si l'écart type est élevé, la transmission peut être moins fiable car il indique une variation importante de la force du signal.Application en génie civil: Pour évaluer la durabilité des structures telles que les ponts et les bâtiments, les ingénieurs utilisent souvent la résistance du béton comme un facteur crucial. Disons que tu as testé la résistance d'un mélange de béton utilisé dans la construction d'un pont en 20 points différents, et que les valeurs varient entre 5000 psi (livres par pouce carré) et 7500 psi. La valeur moyenne donnerait une valeur de résistance moyenne, mais l'écart type fournirait des informations sur l'ampleur de la différence entre ces valeurs et la moyenne. Cette information est cruciale car un faible écart type signifie que la résistance du béton est plus uniforme sur l'ensemble des points testés, ce qui indique une structure plus fiable.Application à l'ingénierie électronique : Lors de la production de composants électroniques comme les résistances ou les condensateurs, l'objectif est de créer chaque pièce avec les spécifications exactes. Cependant, en raison de nombreux facteurs, il peut y avoir de légères variations dans les valeurs réelles de résistance ou de capacité. Supposons que les résistances produites aient une valeur nominale de 100 ohms et que les valeurs réelles se situent entre 97 ohms et 103 ohms. La valeur moyenne indiquerait la résistance moyenne, et l'écart type indiquerait à quel point ces valeurs sont réparties. Ainsi, un écart-type plus petit indique une plus grande cohérence dans les valeurs de résistance, ce qui garantit un meilleur contrôle de la qualité. Ces applications pratiques démontrent que la valeur moyenne et l'écart-type sont des outils puissants dans l'analyse des données. La compréhension et l'utilisation de ces mesures statistiques peuvent grandement améliorer le processus de prise de décision dans diverses disciplines de l'ingénierie.

    Plongée dans la formule de la valeur moyenne et de l'écart type

    L'épine dorsale de l'analyse statistique des données repose sur deux mesures fondamentales : la valeur moyenne et l'écart type. Ces deux éléments constituent la base des statistiques descriptives et fournissent aux modèles d'apprentissage automatique des informations essentielles sur les distributions des ensembles de données.

    Décortiquer la formule de la valeur moyenne et de l'écart type

    Le concept de valeur moyenne (communément appelé moyenne), représente la valeur la plus probable et la plus attendue dans un ensemble de données donné. Tu peux considérer la moyenne comme le point d'équilibre de l'ensemble des données car elle minimise la différence au carré entre elle-même et tous les autres points de données. Pour obtenir la moyenne d'un ensemble de données \(S\N) composé de \N(n\N) nombres (\N(n_1, n_2, ..., n_n\N)), la formule utilisée est la suivante : \N[ \Nmu = \Nfrac{1}{n} \Nsum_{i=1}^{n} x_i \N] L'écart type sert à mesurer l'écart entre les valeurs d'un ensemble de données et la moyenne. Si les points de données sont tous proches de la moyenne, l'écart type sera faible, alors que s'ils sont répartis sur une plus grande plage de valeurs, l'écart type sera élevé. L'écart type est défini en fonction de la moyenne et de la variance \(v\) d'un ensemble de données : \[ v = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \] \[ \sigma = \sqrt{v} \] Dans la pratique, la valeur moyenne et l'écart type sont calculés à l'aide de ces formules. Elles permettent de résumer un ensemble de données avec deux propriétés cruciales : le centre et la dispersion. Qu'il s'agisse d'analyser des résultats expérimentaux ou d'optimiser des processus d'ingénierie, ces deux mesures statistiques sont des outils indispensables.

    Guide étape par étape du calcul de la valeur moyenne et de l'écart type

    C'est bien de couvrir la théorie, mais il est essentiel de voir ces mesures statistiques en action pour vraiment comprendre leur application. Voyons comment calculer la valeur moyenne et l'écart type à l'aide d'un ensemble de données simple. Considérons des points de données qui représentent le poids (en kg) d'un échantillon de huit personnes - 68, 72, 75, 70, 69, 73, 67, 71.Calcule la valeur moyenne : 1. Additionne d'abord tous les poids : \(68 + 72 + 75 + 70 + 69 + 73 + 67 + 71 = 565\). 2. Divise maintenant cette somme par le nombre d'individus de l'échantillon, qui est de 8 dans notre cas. La moyenne est donc \( \mu = \frac{565}{8} \). Cela donne une valeur moyenne de 70,625 kg.Calcule l'écart type: 1. Commence par calculer la variance. Pour chaque poids, soustrais la moyenne et élève le résultat au carré. Fais la somme de toutes ces valeurs au carré. La formule utilisée est la suivante : \[ v = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \] \[ v = (68 - 70,625)^2 + (72 - 70,625)^2 + ... + (71 - 70,625)^2 \] 2. Après avoir calculé la somme, divise-la par le nombre de points de données (8), ce qui donnera la variance. 3. Enfin, pour calculer l'écart type, prends la racine carrée de la variance. Pour simplifier les calculs, voici comment le code pourrait être structuré :
    data_points = [68, 72, 75, 70, 69, 73, 67, 71] #Calculer la moyenne mean = sum(data_points)/len(data_points) #Calculer la variance variance = sum((x - mean) ** 2 for x in data_points) / len(data_points) #Calculer l'écart type std_deviation = math.sqrt(variance)
    Il te suffit d'entrer ton jeu de données et d'exécuter ce script dans un environnement Python pour obtenir les résultats. Cet exemple montre à quel point la valeur moyenne et l'écart type sont essentiels pour résumer les caractéristiques clés des données recueillies - une tâche quotidienne pour les ingénieurs modernes.

    Apprendre grâce aux exemples de valeur moyenne et d'écart type

    Dans le monde des statistiques, apprendre à calculer la valeur moyenne et l'écart type est une compétence fondamentale. Ces deux mesures jouent un rôle essentiel dans la compréhension, la prévision et l'amélioration des performances des systèmes dans diverses applications techniques. La meilleure façon de saisir ces concepts est de s'entraîner à l'aide d'exemples. Comme le dit le proverbe, "c'est en forgeant qu'on devient forgeron", et cela est particulièrement vrai lorsqu'il s'agit de concepts statistiques tels que la valeur moyenne et l'écart type.

    Des exemples simples pour comprendre la valeur moyenne et l'écart

    type Pour commencer à comprendre le concept de valeur moyenne et d'écart type, prenons un exemple simple. Imagine un ingénieur en contrôle qualité qui souhaite trouver la moyenne et la variabilité d'un lot de vis produites chaque jour pendant une semaine. Voici le nombre de vis fabriquées chaque jour : Lundi : 1500Mardi : 1700Mercredi : 1650Jeudi : 1600Vendredi : 1550Pourcalculer la valeur moyenne, nous additionnons tous les nombres de vis et nous les divisons par le nombre total de jours. En utilisant LaTeX, la formule se présente comme suit : \[ \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \] En substituant les valeurs, nous obtenons : \[ \mu = \frac{1}{5} (1500 + 1700 + 1650 + 1600 + 1550) = 1600 \] Donc, l'usine fabrique en moyenne 1600 vis chaque jour d'une semaine. Pour calculer l'écart type, nous utilisons la formule : \[ \sigma = \sqrt{v} \] où \(v\) est la variance donnée par la formule : \[ v = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \] En substituant pour \(v\) dans notre cas, nous obtenons : \[ v = \frac{1}{5} ((1500 - 1600)^2 + (1700 - 1600)^2 + (1650 - 1600)^2 + (1600 - 1600)^2 + (1550 - 1600)^2) = 4000 \N- En prenant la racine carrée de la variance, on obtient l'écart type, \N- \N- \Nsigma = \sqrt{v} = \sqrt{4000} = 63,24 \N- Cela signifie que le nombre de vis produites en un jour s'écarte de la moyenne d'environ 63 vis. Illustrons maintenant les mêmes calculs à l'aide d'un code informatique. Voici un script Python qui calcule la moyenne et l'écart type des données fournies :
    import math data_points = [1500, 1700, 1650, 1600, 1550] #Calculer la moyenne mean = sum(data_points)/len(data_points) #Calculer la variance variance = sum((x - mean) ** 2 for x in data_points) / len(data_points) #Calculer l'écart type std_deviation = math.sqrt(variance) print("Mean : ", mean) print("Standard Deviation : ", std_deviation)
    Ce script regroupe tous les calculs mentionnés ci-dessus en quelques lignes de code simples. Exécute-le dans n'importe quel environnement Python, et tu obtiendras la moyenne et l'écart type rapidement et avec précision.

    Exemples complexes de valeur moyenne et d'écart type pour les apprenants avancés

    Nous allons maintenant aller plus loin et nous plonger dans un exemple plus complexe. Cette fois, prenons l'exemple d'un ingénieur en fiabilité qui souhaite étudier le temps de défaillance d'un appareil. L'ingénieur effectue une série de tests et enregistre le nombre d'heures jusqu'à la défaillance de l'appareil. Les valeurs enregistrées sont les suivantes :Test 1 : 14Test 2 : 16Test 3 : 15Test 4 : 16Test 5 : 17Test 6 : 15Lavaleur moyenne et l'écart type de cet ensemble de données peuvent aider l'ingénieur à donner des indications sur la fiabilité de l'appareil. Pour les calculer, nous suivons les mêmes étapes que dans l'exemple simple. Cependant, lorsqu'il s'agit d'ensembles de données plus importants, ces calculs peuvent devenir fastidieux à effectuer manuellement. Alors, pourquoi ne pas automatiser ces calculs ?
    import numpy as np failure_times = np.array([14, 16, 15, 16, 17, 15]) # Calculer la moyenne mean = np.mean(failure_times) # Calculer l'écart type std_dev = np.std(failure_times) print("Mean Failure Time : ", mean) print("Standard Deviation : ", std_dev)
    Dans ce script Python, nous avons utilisé le module 'numpy', qui permet d'effectuer des calculs numériques. La fonction 'mean' calcule la valeur moyenne et la fonction 'std' calcule l'écart type. Ces exemples démontrent la flexibilité et la puissance des mesures statistiques de base - la valeur moyenne et l'écart type. Ainsi, avant d'appréhender des concepts statistiques avancés, assure-toi de maîtriser ces mesures de base, qui sont pourtant très utiles. N'oublie pas qu'une base solide te guidera loin dans ton parcours de maîtrise des statistiques.

    Valeur moyenne et écart type - Points clés

    L
    '
    • écart type indique l'ampleur de la variation des valeurs dans un ensemble de données
    .
    • Un faible écart type implique que les valeurs sont proches de la moyenne.
    • La
    • valeur moyenne et l'écart type sont des outils fondamentaux dans les tests statistiques paramétriques, l'analyse de régression et la modélisation probabiliste.
    • Dans le contexte de la probabilité, la valeur moyenne (valeur attendue) est calculée comme la somme de chaque résultat multipliée par sa probabilité respective
    • . L'
    • écart type est calculé comme la racine carrée de la variance qui est dérivée de l'écart de chaque résultat par rapport à la moyenne au carré, multipliée par sa probabilité respective et additionnée sur l'ensemble des données.
    • La
    • valeur moyenne et l'écart type sont largement utilisés en ingénierie pour diverses applications, y compris le contrôle de la qualité, l'analyse de la fiabilité des systèmes et le contrôle statistique des processus
    • .
    La
    • valeur moyenne fournit des informations sur la performance moyenne, tandis que l'écart type indique la cohérence ou la dispersion des données
    .
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    Questions fréquemment posées en Valeur moyenne et Écart type
    Qu'est-ce que la valeur moyenne ?
    La valeur moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs.
    Comment est calculé l'écart type ?
    L'écart type est calculé en mesurant la dispersion des valeurs autour de la moyenne. C'est la racine carrée de la variance.
    Pourquoi l'écart type est-il important en ingénierie ?
    L'écart type est important en ingénierie car il aide à comprendre la variation et la précision des données mesurées.
    Quelle est la différence entre la moyenne et l'écart type ?
    La moyenne indique la tendance centrale des données, tandis que l'écart type mesure la dispersion des données autour de cette moyenne.

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