Les matrices sont des objets primordiaux de l'algèbre linéaire, qui sont utiles notamment dans la résolution de systèmes d'équations et pour effectuer des transformations sur les vecteurs. De plus, les matrices ont des applications très puissantes. Elles sont utilisées dans la mécanique quantique ou encore pour l'algorithme de recherche qui fait fonctionner Google, PageRank. Connaître les règles du calcul matriciel est donc important pour manipuler les matrices avec habileté.
Somme de matrices
Commençons par l'opération la plus simple. Pour faire la somme de matrices, il faut ajouter les coefficients correspondants.
\(\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3& 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2\\ 2& 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 4\\ 5& 5\end{bmatrix}\)
Pour la différence, il faut faire la même chose : mais en soustrayant !
\( \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 6 & -4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -2\\ 7& 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4\\ -1& -5\end{bmatrix}\)
Attention, les matrices doivent avoir la même taille ou dimension pour effectuer la somme ou la différence.
Nous ne pouvons pas faire la somme (ou la différence) de la matrice \( \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 5 & -1 \\ -3 & 3\end{bmatrix} \) et la matrice \( \begin{bmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \)
Même si la somme de ces deux matrices n'est pas définie, nous pouvons effecteur leur produit.
Nous pouvons donner une définition formelle pour la somme de matrices de même taille ou dimension. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de dimension \(m \times n\), avec des coefficients notés \(a_{ij}\) et \(b_{ij}\), où \(1 \leq i \leq m\) et \(1 \leq j \leq n\). Si \(C = A + B\), alors les coefficients de la matrice \(C\) sont donnés par \(c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\).
Produit de matrices
Tout d'abord, il faut distinguer deux types de multiplications que nous pouvons faire avec des matrices. Il existe la multiplication d'une matrice par un scalaire et le produit de matrices.
Multiplication par un scalaire
Pour effectuer la multiplication d'une matrice par un scalaire, il faut multiplier chaque coefficient de la matrice par ce scalaire.
Pour une matrice de dimension \(2 \times 2\) et un scalaire \(k\), \( k \begin{bmatrix} a & b\\ c & c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{bmatrix}\)
\( 2 \times \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3& 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2\\ 2& 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 4\\ 5& 5\end{bmatrix}\)
Cela peut te paraître très similaire à la multiplication d'un vecteur par un scalaire — et tu as raison. Les vecteurs sont un cas particulier de matrice.
Multiplication d'une matrice par une matrice
Avant de demander comment faire le produit de deux matrices, il faut se demander s'il est d'abord possible de ce faire. Pour pouvoir effectuer la multiplication de deux matrices, il faut que le nombre de colonnes dans la première soit égal au nombre de lignes dans la seconde.
Soit \(A\) une matrice de dimension \(m \times n\) et soit \(B\) une matrice de dimension \(n \times p\). Leur produit, \(AB\), est bien définie et est de dimension \(m \times p\).
La matrice \( \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 5 & -1 \\ -3 & 3\end{bmatrix} \) est de dimension \(3 \times 2\) et la matrice \( \begin{bmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \) est de dimension \(2 \times 3\). Leur produit sera donc de dimension \(3 \times 3\).
Pour calculer les coefficients d'un produit de deux matrices, il faut suivre ces étapes :
Identifie les indices du coefficient que tu veux calculer en regardant sa position. Tu peux imaginer qu'il s'agit de ses coordonnées. Appelons-les \(i\) et \(j\).
Multiplie ensuite les coefficients de la i-ème ligne de la première matrice par les coefficients correspondants de la j-ième colonne de la seconde matrice.
Fais la somme de tous ces produits, qui te donnera le coefficient de la matrice avec indices \(i\) et \(j\).
Nous pouvons aussi écrire une définition formelle.
Soient \(A\) une matrice de dimension \(m \times n\) et \(B\) une matrice de dimension \(n \times p\). Notons leurs coefficients comme \(a_{ij}\) et \(b_{ij}\) respectivement. Les coefficients du produit \(AB\) sont donnés par : \[ (AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik}b_{kj}\]
C'est probablement plus clair avec un exemple.
Soient \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 5 & -1 \\ -3 & 3\end{bmatrix} \) et \(B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \). Calculons \(AB\).
Commençons par calculer \( (AB)_{11} \). Pour cela, il faut multiplier les coefficients de la première ligne de \(A\) et de la première colonne de \(B\), et ensuite faire la somme.
\[ \begin{bmatrix} \textbf{2} & \textbf{1}\\ 5 & -1 \\ -3 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textbf{-1} & 0 & 4 \\\textbf{2} & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times (-1) + 1 \times 2 & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{bmatrix} \]
Pour calculer \( (AB)_{21} \), il faut multiplier les coefficients de la deuxième ligne de \(A\) et de la première colonne de \(B\), et ensuite faire la somme.
\[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \textbf{5} & \textbf{-1} \\ -3 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textbf{-1} & 0 & 4 \\\textbf{2} & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 5 \times (-1) + (-1) \times 2 & * \\ * & * & *\\ * & * & *\end{bmatrix} \]
Nous continuons ainsi jusqu'à obtenir tous les coefficients de la matrice AB : \[ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 10 \\ -7 & -1 & 18\\ 9 & 3 & -6\end{bmatrix} \]
De plus, il faut garder à l'esprit que la multiplication des matrices n'est pas commutative. Voyons un contre-exemple.
Soient \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) et \(B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \). Calculons \(AB\) et \(BA\).
\(AB = \begin{bmatrix} (1 \times 1 + 2 \times 0) & (1 \times 0 + 2 \times 0) \\ (3 \times 1 + 4 \times 0) & (3 \times 0 + 4 \times 0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \)
\(BA = \begin{bmatrix} (1 \times 1 + 0 \times 3) & (1 \times 2 + 0 \times 4) \\ (0 \times 1 + 0 \times 3) & (0 \times 2 + 0 \times 4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
Comme \( AB \neq BA \), nous pouvons conclure que la multiplication de matrices n'est pas commutative.
Puissance de matrices
La puissance entière d'une matrice est définie de la même manière que la puissance d'un nombre.
Si \(n\) est un entier naturel et \(A\) une matrice carrée, \(A^n = \underbrace{A \times ... \times A }_{\text{n fois}}\)
Or, comme multiplier des matrices est plus chronophage que multiplier un nombre, nous pouvons considérer plusieurs approches et cas spécifiques qui vont simplifier la vie. À partir d'une certaine puissance, certaines matrices deviennent la matrice nulle, celle qui n'a que des zéros. Ces matrices sont dites nilpotentes.
Une matrice \(A\) est nilpotente s'il existe un entier \(p\) tel que \(A^n\) est la matrice nulle pour tout \(n \geq p\).
Les puissances des matrices diagonales sont faciles à calculer. En effet, si \(A\) est une matrice diagonale, \(A^n\) est aussi une matrice diagonale dont les valeurs sur la diagonale principale sont les n-ième puissances des valeurs de \(A\).
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf la diagonale principale.
\( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \) est une matrice diagonale.
\(A^4 = \begin{bmatrix} (-1)^4 & 0 \\ 0 & (3)^4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 81 \end{bmatrix} \)
Cette règle est facile à démontrer par récurrence en prenant une matrice diagonale avec des coefficients \(\lambda_{1}, ... ,\lambda_{n}\) sur la diagonale principale.
Certaines matrices peuvent être mises sous une forme qui nous permet d'exploiter les propriétés des matrices diagonales. Ces matrices s'appellent des matrices diagonalisables.
Une matrice \(A\) est dite diagonalisable s'il existe une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\), telles que \(A = PDP^{-1}\).
Une matrice carrée \(A\) est dite inversible s'il existe une matrice \(A^{-1}\) telle que \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\), où \(I\) est la matrice identité.
Si nous avons droit à une matrice diagonalisée, les calculs de puissance se simplifient : \[ A^n = \underbrace{PDP^{-1} \times PDP^{-1} \times ... \times PDP^{-1} \times PDP^{-1}}_{\text{n fois}} = PD^{n}P^{-1} \]
Déterminant
Calculer le déterminant d'une matrice de grande dimension peut s'avérer difficile. Il y a plusieurs façons de le faire. Commençons avec un cas simple : une matrice carrée de dimension \(2 \times 2\).
Le déterminant d'une matrice carrée \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) est notée \(det(A)\) ou \(|A|\) et vaut \(ad - bc\).
Soit \(A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}\). Alors, \(det(A) = 3 \times 5 - 7 \times 1 = 8\).
Nous pouvons ensuite voir comment calculer le déterminant pour une matrice carrée de dimension \(n > 2\). Dans ce contexte, le déterminant est défini par récurrence.
Soit \(A\) une matrice carrée de dimension \(n\) dont les coefficients sont notés \(a_{ij}\). Soit \(A_{ij}\) la matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ième colonne de \(A\). Le déterminant de \(A\) est donné par : \( det(A) = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}A_{ij}\)
Comme \(i\) et \(j\) jouent le même rôle dans cette somme, l'indice utilisée pour la somme aurait pu être \(j\) au lieu de \(i\).
Nous pouvons travailler le long de n'importe quelle colonne ou de n'importe quelle ligne pour calculer le déterminant d'une matrice. Il faut donc choisir celle qui contient le plus de zéros pour simplifier les calculs. Voyons pourquoi.
Calculons le déterminant de \[ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & 0\\ 2 & 1 & -4\end{bmatrix} \]
Si nous travaillons le long de la première ligne, nous obtenons l'expression suivante pour le déterminant : \[ (-1)^{1+1} \times 1 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} - (-1)^{1+2} \times 3 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} (-1)^{1+3} \times 2 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \]
Or, si nous utilisons plutôt la deuxième ligne, il n'y a plus besoin d'évaluer certains déterminants grâce aux coefficients nuls. L'expression est plus simple : \[ (-1)^{2+2} \times -1 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = -1( 1 \times (-4) - (-2) \times 2) = -8\]
Calculer le déterminant sert dans le calcul d'autres objets mathématiques. En particulier, le déterminant permet de savoir si l'inverse d'une matrice existe.
Inverse d'une matrice
Une matrice dispose d'un inverse si son déterminant est non-nul.
L'inverse d'une matrice \(A\) est noté \(A^{-1}\), et elle est unique matrice qui vérifie \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\), où \(I\) est la matrice identité. Une matrice est dite inversible si elle a une inverse.
La matrice identité est la matrice carrée qui a des zéros partout, sauf sur sa diagonale où il n'y a que des \(1\).
Il y a deux méthodes principalement utilisées pour déterminer l'inverse d'une matrice : le pivot de Gauss ou en utilisant les comatrices.
La comatrice d'une matrice \(A\) est la matrice des cofacteurs. Soit \(A_{ij}\) la matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ième colonne de \(A\). Les cofacteurs d'une matrice sont données par la formule suivante : \[(com A)_{ij} = (-1)^{i+j} det(A_{ij})\]
L'inverse de \(A\) est alors donnée par la formule suivante : \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} {}^{t}com(A) \]
Le pivot de Gauss, également appelé élimination de Gauss-Jordan, est presque la même chose que la résolution d'un système d'équations. Dans cette méthode, trois opérations (et des combinaisons de ces opérations) sur les lignes de la matrice sont permises. Nous pouvons :
Exponentielle d'une matrice
Tu te demandes peut-être quelle est l'utilité de l'exponentielle d'une matrice ? La fonction exponentielle d'un nombre est solution de certaines équations différentielles fondamentales. Similairement, l'exponentielle d'une matrice est solution de certains systèmes d'équations différentielles.
L'exponentielle d'une matrice \(A\) est notée \(exp(A)\) ou \(e^A\) et vaut : \[ \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n!} A^{n} \]
Remarque que cette formule est assez similaire à une des définitions de la fonction exponentielle. Voici quelques propriétés de l'exponentielle d'une matrice :
- si \(0\) désigne la matrice nulle et \(I\) est la matrice identité, alors \(e^0= I\) ;
- si \(tr(A)\) désigne la trace d'une matrice et \(det(A)\) est son déterminant, alors \(det(e^A) = e^tr(A)\) ;
- si les matrices \(X\) et \(Y\) commutent (c'est-à-dire \(XY = YX\)), alors \(e^{X}e^{Y} = e^{X+Y}\)
Calcul matriciel - Points clés
- Pour faire la somme de matrices, il faut ajouter les coefficients correspondants.
- Nous pouvons multiplier une matrice par un scalaire ou par une autre matrice.
- La puissance d'une matrice est définie par \(A^n = \underbrace{A \times ... \times A }_{\text{n fois}}\)
- Le déterminant d'une matrice carrée \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) est noté \(det(A)\) ou \(|A|\) et vaut \(ad - bc\).
- L'inverse d'une matrice \(A\) est \(A^{-1}\), l'unique matrice qui vérifie \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\).
- L'exponentielle d'une matrice est définie par \[e^A = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n!} A^{n} \]
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