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Arithmétique

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L'arithmétique a un large éventail d'applications dans la vie quotidienne et constitue un outil essentiel pour résoudre les problèmes mathématiques. C'est une branche très ancienne des mathématiques, qui a été étudiée par de nombreuses cultures à travers l'histoire, qui trouve ses racines dans l'Égypte, la Babylone, la Chine et l'Inde antiques. On l'a appelé « la reine des mathématiques » par son rôle fondamental dans tant d'autres domaines des mathématiques.

Définition d'arithmétique

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite de l'étude des nombres, en particulier des propriétés des opérations traditionnelles sur ces derniers : addition, soustraction, multiplication et division. L'arithmétique est la forme la plus élémentaire des mathématiques et son développement a été fondamental pour le développement général des mathématiques.

En arithmétique, nous nous intéresserons aux théorèmes de Bézout et de Gauss, aux nombres premiers, à la division Euclidienne, au PGCD et tant d'autres sujets. Cependant, pour introduire l'arithmétique nous commencerons par les bases, c'est-à-dire la divisibilité et les congruences.

Divisibilité dans \( \mathbb{Z} \)

Il faut d'abord savoir ce que signifie \(a | b\) en arithmétique.

Nous pouvons dire que \(3\) divise \(12\) car \(12\) s'écrit \(4\) fois \(3\) : \(12 = 4 \times 3\).

Cette égalité traduit le fait que si nous avions \(12\) objets, nous pourrions les partager en \(3\) parts égales avec chaque part contenant \(4\) objets. Ceci est noté \(3 | 12\).

\(a | b\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka\).

Attention, \(7 = 3,5 \times 2\) mais \(2\) ne divise pas \(7\) car \(3,5\) n'est pas un nombre entier. \(3,5\) n'appartient pas aux entiers relatifs \( \mathbb{Z} \).

En prenant notre premier exemple, \(k\) est égal à \(4\).

\(a\), \(b\) et \(k\) sont des entiers relatifs donc ne peuvent pas être négatifs et \(a\) \(0\)

Nous pouvons dire que \(-6 | 42\) en appliquant la définition, car il existe un entier \(k\) tel que :

\(42 = k \times -6\).

L'entier \(k\) est donc \(-7\).

\(42 = -7 \times -6\)

Nous pouvons aussi dire que \(-7\) divise \(42\) et \(-6\) joue le rôle de \(k\).

Nous pouvons dire que \(4 | -20\) car \(-20 = -5 \times 4\)

\(b\) peut être égal à \(0\) car les entiers peuvent être divisés par \(0\). \(5 | 0\) est possible avec \(k = 0\). Nous obtenons \(0 = 0 \times 5\).

En arithmétique, ça aide de savoir comment trouver les diviseurs des nombres.

Un diviseur est un nombre qui divise un autre nombre de manière égale.

Cherchons les diviseurs de \(15\) :

  • \(1, 3, 5, 15\), mais aussi \(-1, -3, -5, -15\) (les opposés des diviseurs positifs sont aussi des diviseurs).

Méthodes à retenir

Pour montrer que \(a | b\), pense à mettre \(a\) en facteur et vérifie que \(k\) est un entier relatif.

Démontre que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par \(3\).

Par exemple, \(5 + 6 + 7 = 18\) et \(18\) est bien divisible par \(3\) (\(3 | 18\)).

La somme de trois nombres consécutifs s'écrit : \(n + (n + 1) + (n + 2)\) avec \(n \in \mathbb{Z} \)

\(n + (n + 1) + (n + 2)\) \(= 3n + 3 \)

Mettre en facteur \(a\), ici \(a = 3\).

Nous obtenons \(3(n + 1)\) et \(n + 1\) \( \in \mathbb{Z} \) donc \(3\) divise la somme de trois entiers consécutifs.

Si \(n\) est un multiple de \(5\), pense à écrire \(n = 5k\) avec \( \in \mathbb{Z} \)

  • Si \(n\) est pair : \(n = 2k\) et \(k\) \( \in \mathbb{Z} \)

  • Si \(n\) est impair : \(n = 2k + 1\) et \(k\) \( \in \mathbb{Z} \)

Démontre que le produit de deux entiers consécutifs est pair.

Par exemple, \(6 \times 7 = 42\) (pair) et \(6 = 2 \times 3\).

\(2\) est bien un facteur de \(42\).

Nous avons aussi \(9 \times 10\). \(9\) n'est pas un nombre pair mais \(10\) l'est : \(10 = 2 \times 5\)

Soit le premier nombre est pair et est celui qui nous fournit le facteur \(2\), soit c'est le deuxième nombre.

Démonstration par disjonction de cas :

\(N = n(n + 1)\) avec \(n\) \( \in \mathbb{Z} \)

  • Si \(n\) est pair : \(n = 2k\) avec \(k\) \( \in \mathbb{Z} \). Donc \(N = 2k(2k + 1)\) d'où \(N\) est pair.

  • Si \(n\) est impair : \(n = 2k + 1\) avec \(k\) \( \in \mathbb{Z} \), alors \(n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)\). Donc \(N = 2(k + 1)(2k + 1)\)

Nous avons bien écrit \(N\) sous la forme de \(2\) fois un nombre entier.

Démontre que lorsque \(n\) est un entier impair, \(8\) divise \(n^2-1\).

Nous avons, par exemple, \(7^2-1 = 48\) et \(48\) est bien divisible par \(8\) (\(48 = 6 \times 8\)).

Démonstration :

\(n = 2k + 1\) avec \(k\) \( \in \mathbb{Z} \)

Nous avons : \(n^2 - 1 = (n + 1)(n - 1)\) \(= (2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1)\)

\((2k + 2)2k = 4(k + 1)k\)

\(k + 1\) est pair alors nous pouvons écrire :

\(4 \times 2k'\) avec \(k'\) \( \in \mathbb{Z} \)

\(8k'\) donc \(8\) divise bien \(n^2-1\)

Congruences

En arithmétique, une congruence est une relation d'équivalence entre deux nombres qui est compatible avec les opérations d'addition et de multiplication. Plus précisément, la relation de congruence est définie comme suit : pour deux entiers quelconques \(a\) et \(b\), on dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) si et seulement si \(a-b\) est un multiple entier de \(n\). En d'autres termes, deux entiers \(a\) et \(b\) sont congruents modulo \(n\) s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par \(n\).

La relation de congruence est généralement désignée par le symbole "≡". Les congruences s'écrivent sous la forme de

\(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\))

Cela signifie que \(a\) et \(b\) sont congrus modulo \(m\)

Par exemple, \(28\) est congru à \(12\) modulo \(4\) car \( 28-12=16\) est un multiple de \(4\). Ainsi, on peut écrire \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)).

Il est important de noter que les congruences ne sont pas les mêmes que les égalités. En particulier, si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)), il ne s'ensuit pas nécessairement que \(a\)=\(b\). Pour par exemple, \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)), mais \(28\)≠\(12\).

La relation de congruence a les propriétés suivantes :

  • Elle est réflexive : \(a\) ≡ \(a\) (modulo \(m\))

  • Elle est symétrique : si \(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\)), alors \(b\) ≡ \(a\) (modulo \(m\))

  • Elle est transitive : si \(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\)) et \(b\) ≡ \(c\) (modulo \(m\)), alors \(a\) ≡ \(c\) (modulo \(m\))

  • Si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)) et \(c\)≡\(d\) (modulo \(n\)), alors \(a+c\)≡\(b+d\) (modulo \(n\)) et \(ac\)≡\(bd\) (modulo \(n\))

  • Si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)), alors \(a^k\)≡\(b^k\) (modulo \(n\)) pour tout entier positif \(k\)

  • Si \(a\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\)) et \(b\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\)), alors \(ab\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\))

Ainsi, les congruences peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes comme celles-ci :

  • Trouver tous les nombres congruents à \(2\) modulo \(4\).

  • Trouver tous les nombres congruents à \(3\) modulo \(5\).

La relation de congruence stipule que :

  • Deux nombres sont congruents s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par un nombre donné.

  • Par exemple, \(17\) et \(13\) sont congruents modulo \(5\) car ils ont tous deux un reste de \(2\) lorsqu'ils sont divisés par \(5\).

Le modulo est le nombre qui est utilisé pour diviser les deux nombres. Dans l'exemple ci-dessus, ce nombre est \(5\).

Comment démontrer une congruence ?

Il existe plusieurs façons de démontrer que deux nombres sont congruents modulo \(n\). Une méthode courante consiste à utiliser l'algorithme de division. Par exemple, pour montrer que \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)), nous pouvons diviser \(28\) par \(4\) et \(12\) par \(4\) pour obtenir les quotients suivants et les restes :

\(28=7 \times 4+0\)

\(12=3 \times 4+0\)

Comme les restes sont tous deux égaux à \(0\), on peut en conclure que \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)).

Démontrer une divisibilité à l'aide d'une congruence

Nous pouvons utiliser des congruences pour tester la divisibilité. Par exemple, pour vérifier si un nombre est divisible par \(3\), on peut le démontrer s'il est congru à 0 \(3\). Si la congruence est égale à \(0\), alors le nombre est divisible par \(3\). Par exemple, \(27\)≡\(0 \) (modulo \(3\)), on sait donc que \(27\) est divisible par \(3\).

De même, pour vérifier si un nombre est divisible par \(4\), on peut calculer sa congruence modulo \(4\). Si la congruence est \(0\), alors le nombre est divisible par \(4\). Par exemple, \(28\)≡\(0\) (modulo \(4\)), on sait de ce fait que \(28\) est divisible par \(4\).

Ainsi, les congruences peuvent être utilisées pour tester la divisibilité des nombres, comme ici par \(3\) ou \(4\).

Arithmétique - Points clés

  • L'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite de l'étude des nombres, en particulier des propriétés des opérations traditionnelles sur ces derniers : addition, soustraction, multiplication et division.
  • \(a | b\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka\).
  • \(a\), \(b\) et \(k\) sont des entiers relatifs donc ne peuvent pas être négatifs et \(a\) \(0\).
  • la relation de congruence est définie comme suit : pour deux entiers quelconques \(a\) et \(b\), on dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) si et seulement si \(a-b\) est un multiple entier de \(n\). En d'autres termes, deux entiers \(a\) et \(b\) sont congruents modulo \(n\) s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par \(n\).
  • Le modulo est le nombre qui est utilisé pour diviser les deux nombres.

Questions fréquemment posées en Arithmétique

La différence principale entre l'arithmétique et les mathématiques est que l'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite les propriétés et la manipulation des nombres, tandis que les mathématiques sont l'étude de la quantité, de la structure, de l'espace et du changement. L'arithmétique traite des quantités numériques tandis que les mathématiques englobent un plus large éventail de sujets.

Les bases de l'arithmétique comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Ces opérations peuvent être effectuées sur des nombres entiers, des fractions et des décimaux. L'arithmétique traite également des concepts de racines carrées et de puissances. 

L'arithmétique est basée sur un certain nombre de règles simples, qui peuvent être appliquées à tous les niveaux de l'addition et de la soustraction simples aux calculs complexes. Il suffit de faire beaucoup d'exercices ! 

Le but de l'arithmétique est de nous permettre de résoudre des problèmes mathématiques en manipulant des nombres. L'arithmétique est un outil fondamental des mathématiques, et ses concepts sont utilisés dans de nombreux domaines différents, comme les sciences, l'ingénierie et la finance. L'arithmétique est également utilisée dans la vie quotidienne, pour des tâches telles que les achats et la cuisine. 

Questionnaire final de Arithmétique

Question

Quel est le diviseur d'un nombre ?

Montrer la réponse

Réponse

Un diviseur est un nombre qui divise un autre nombre de manière égale 

Montrer la question

Question

Comment détermine-t-on si un nombre est divisible par un autre nombre ?

Montrer la réponse

Réponse

Pour déterminer si un nombre est divisible par un autre nombre, on utilise la règle suivante :

Si le reste en divisant le premier nombre par le deuxième nombre est égal à zéro, alors le premier nombre est divisible par le deuxième nombre.


Montrer la question

Question

Quels sont les diviseurs de 6 ?

Montrer la réponse

Réponse

Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6

Montrer la question

Question

Quels sont les diviseurs de 8 ?

Montrer la réponse

Réponse

Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8

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Question

Quels sont les diviseurs de 10 ?

Montrer la réponse

Réponse

Les diviseurs de 10 sont 1, 2, 5 et 10 

Montrer la question

Question

Quels sont les diviseurs de 12 ?

Montrer la réponse

Réponse

Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 

Montrer la question

Question

Quels sont les diviseurs de 14 ?

Montrer la réponse

Réponse

Les diviseurs de 14 sont 1, 2, 7 et 14.

Montrer la question

Question

Quelle est la définition de la congruence ?

Montrer la réponse

Réponse

La congruence est une relation d'équivalence sur l'ensemble des nombres entiers. Deux nombres entiers a et b sont dits congruents modulo n si leur différence a - b est divisible par n.

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Question

Donne un exemple de deux nombres qui sont congruents modulo 3.

Montrer la réponse

Réponse

 0 et 3 sont congruents modulo 3.

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Question

Que signifie la congruence de deux nombres modulo n ?

Montrer la réponse

Réponse

La congruence de deux nombres modulo n signifie qu'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par n.

Montrer la question

Question

Que peut-on dire si a ≡ b (modulo n) et c ≡ d (modulo n) ?

Montrer la réponse

Réponse

a + c ≡ b + d (modulo n)


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Question

Trouve toutes les solutions de la congruence suivante : 2x ≡ 5 (modulo 7)

Montrer la réponse

Réponse

2x - 7y = 5 

x = 1 et y = -3

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Question

Résous le système de congruences suivant

x ≡ 2 (modulo 3)

x ≡ 3 (modulo 4)


Montrer la réponse

Réponse

Les solutions du système sont x=2+3k et x=3+4k', où k/k' est un entier quelconque.

Montrer la question

Question

Que peut-on dire si a ≡ b (modulo n) et c ≡ d (modulo n) ?

Montrer la réponse

Réponse

ac ≡ bd (modulo n)

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que l'arithmétique ?

Montrer la réponse

Réponse

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite de l'étude des nombres, en particulier des propriétés des opérations traditionnelles sur ces derniers : addition, soustraction, multiplication et division.

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