L'arithmétique a un large éventail d'applications dans la vie quotidienne et constitue un outil essentiel pour résoudre les problèmes mathématiques. C'est une branche très ancienne des mathématiques, qui a été étudiée par de nombreuses cultures à travers l'histoire, qui trouve ses racines dans l'Égypte, la Babylone, la Chine et l'Inde antiques. On l'a appelé « la reine des mathématiques » par son rôle fondamental dans tant d'autres domaines des mathématiques.
L'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite de l'étude des nombres, en particulier des propriétés des opérations traditionnelles sur ces derniers : addition, soustraction, multiplication et division. L'arithmétique est la forme la plus élémentaire des mathématiques et son développement a été fondamental pour le développement général des mathématiques.
En arithmétique, nous nous intéresserons aux théorèmes de Bézout et de Gauss, aux nombres premiers, à la division Euclidienne, au PGCD et tant d'autres sujets. Cependant, pour introduire l'arithmétique nous commencerons par les bases, c'est-à-dire la divisibilité et les congruences.
Divisibilité dans\( \mathbb{Z} \)
Il faut d'abord savoir ce que signifie \(a | b\) en arithmétique.
Nous pouvons dire que \(3\) divise \(12\) car \(12\) s'écrit \(4\) fois \(3\) : \(12 = 4 \times 3\).
Cette égalité traduit le fait que si nous avions \(12\) objets, nous pourrions les partager en \(3\) parts égales avec chaque part contenant \(4\) objets. Ceci est noté \(3 | 12\).
\(a | b\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka\).
Attention, \(7 = 3,5 \times 2\) mais \(2\) ne divise pas \(7\) car \(3,5\) n'est pas un nombre entier. \(3,5\) n'appartient pas aux entiers relatifs \( \mathbb{Z} \).
En prenant notre premier exemple, \(k\) est égal à \(4\).
\(a\), \(b\) et \(k\) sont des entiers relatifs donc ne peuvent pas être négatifs et \(a\) ≠ \(0\)
Nous pouvons dire que \(-6 | 42\) en appliquant la définition, car il existe un entier \(k\) tel que :
\(42 = k \times -6\).
L'entier \(k\) est donc \(-7\).
\(42 = -7 \times -6\)
Nous pouvons aussi dire que \(-7\) divise \(42\) et \(-6\) joue le rôle de \(k\).
Nous pouvons dire que \(4 | -20\) car \(-20 = -5 \times 4\)
\(b\) peut être égal à \(0\) car les entiers peuvent être divisés par \(0\). \(5 | 0\) est possible avec \(k = 0\). Nous obtenons \(0 = 0 \times 5\).
En arithmétique, ça aide de savoir comment trouver les diviseurs des nombres.
Un diviseur est un nombre qui divise un autre nombre de manière égale.
Cherchons les diviseurs de \(15\) :
\(1, 3, 5, 15\), mais aussi \(-1, -3, -5, -15\) (les opposés des diviseurs positifs sont aussi des diviseurs).
Méthodes à retenir
Pour montrer que \(a | b\), pense à mettre \(a\) en facteur et vérifie que \(k\) est un entier relatif.
Démontre que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par \(3\).
Par exemple, \(5 + 6 + 7 = 18\) et \(18\) est bien divisible par \(3\) (\(3 | 18\)).
La somme de trois nombres consécutifs s'écrit : \(n + (n + 1) + (n + 2)\) avec \(n \in \mathbb{Z} \)
\(n + (n + 1) + (n + 2)\) \(= 3n + 3 \)
Mettre en facteur \(a\), ici \(a = 3\).
Nous obtenons \(3(n + 1)\) et \(n + 1\) \( \in \mathbb{Z} \) donc \(3\) divise la somme de trois entiers consécutifs.
Si \(n\) est un multiple de \(5\), pense à écrire \(n = 5k\) avec \( \in \mathbb{Z} \)
Si \(n\) est pair : \(n = 2k\) et \(k\) \( \in \mathbb{Z} \)
Si \(n\) est impair :\(n = 2k + 1\) et \(k\) \( \in \mathbb{Z} \)
Démontre que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Par exemple, \(6 \times 7 = 42\) (pair) et \(6 = 2 \times 3\).
\(2\) est bien un facteur de \(42\).
Nous avons aussi \(9 \times 10\). \(9\) n'est pas un nombre pair mais \(10\) l'est : \(10 = 2 \times 5\)
Soit le premier nombre est pair et est celui qui nous fournit le facteur \(2\), soit c'est le deuxième nombre.
En arithmétique, une congruence est une relation d'équivalence entre deux nombres qui est compatible avec les opérations d'addition et de multiplication. Plus précisément, la relation de congruence est définie comme suit : pour deux entiers quelconques \(a\) et \(b\), on dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) si et seulement si \(a-b\) est un multiple entier de \(n\). En d'autres termes, deux entiers \(a\) et \(b\) sont congruents modulo \(n\) s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par \(n\).
La relation de congruence est généralement désignée par le symbole "≡". Les congruences s'écrivent sous la forme de
\(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\))
Cela signifie que \(a\) et \(b\) sont congrus modulo \(m\)
Par exemple, \(28\) est congru à \(12\) modulo \(4\) car \( 28-12=16\) est un multiple de \(4\). Ainsi, on peut écrire \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)).
Il est important de noter que les congruences ne sont pas les mêmes que les égalités. En particulier, si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)), il ne s'ensuit pas nécessairement que \(a\)=\(b\). Pour par exemple, \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)), mais \(28\)≠\(12\).
La relation de congruence a les propriétés suivantes :
Elle est réflexive : \(a\) ≡ \(a\) (modulo \(m\))
Elle est symétrique : si \(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\)), alors \(b\) ≡ \(a\) (modulo \(m\))
Elle est transitive : si \(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\)) et \(b\) ≡ \(c\) (modulo \(m\)), alors \(a\) ≡ \(c\) (modulo \(m\))
Si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)) et \(c\)≡\(d\) (modulo \(n\)), alors \(a+c\)≡\(b+d\) (modulo \(n\)) et \(ac\)≡\(bd\) (modulo \(n\))
Si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)), alors \(a^k\)≡\(b^k\) (modulo \(n\)) pour tout entier positif \(k\)
Si \(a\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\)) et \(b\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\)), alors \(ab\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\))
Ainsi, les congruences peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes comme celles-ci :
Trouver tous les nombres congruents à \(2\) modulo \(4\).
Trouver tous les nombres congruents à \(3\) modulo \(5\).
La relation de congruence stipule que :
Deux nombres sont congruents s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par un nombre donné.
Par exemple, \(17\) et \(13\) sont congruents modulo \(5\) car ils ont tous deux un reste de \(2\) lorsqu'ils sont divisés par \(5\).
Le modulo est le nombre qui est utilisé pour diviser les deux nombres. Dans l'exemple ci-dessus, ce nombre est \(5\).
Comment démontrer une congruence ?
Il existe plusieurs façons de démontrer que deux nombres sont congruents modulo \(n\). Une méthode courante consiste à utiliser l'algorithme de division. Par exemple, pour montrer que \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)), nous pouvons diviser \(28\) par \(4\) et \(12\) par \(4\) pour obtenir les quotients suivants et les restes :
\(28=7 \times 4+0\)
\(12=3 \times 4+0\)
Comme les restes sont tous deux égaux à \(0\), on peut en conclure que \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)).
Démontrer une divisibilité à l'aide d'une congruence
Nous pouvons utiliser des congruences pour tester la divisibilité. Par exemple, pour vérifier si un nombre est divisible par \(3\), on peut le démontrer s'il est congru à 0 \(3\). Si la congruence est égale à \(0\), alors le nombre est divisible par \(3\). Par exemple, \(27\)≡\(0 \) (modulo \(3\)), on sait donc que \(27\) est divisible par \(3\).
De même, pour vérifier si un nombre est divisible par \(4\), on peut calculer sa congruence modulo \(4\). Si la congruence est \(0\), alors le nombre est divisible par \(4\). Par exemple, \(28\)≡\(0\) (modulo \(4\)), on sait de ce fait que \(28\) est divisible par \(4\).
Ainsi, les congruences peuvent être utilisées pour tester la divisibilité des nombres, comme ici par \(3\) ou \(4\).
Arithmétique - Points clés
L'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite de l'étude des nombres, en particulier des propriétés des opérations traditionnelles sur ces derniers : addition, soustraction, multiplication et division.
\(a | b\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka\).
\(a\), \(b\) et \(k\) sont des entiers relatifs donc ne peuvent pas être négatifs et \(a\)≠\(0\).
la relation de congruence est définie comme suit : pour deux entiers quelconques \(a\) et \(b\), on dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) si et seulement si \(a-b\) est un multiple entier de \(n\). En d'autres termes, deux entiers \(a\) et \(b\) sont congruents modulo \(n\) s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par \(n\).
Le modulo est le nombre qui est utilisé pour diviser les deux nombres.
Apprends plus vite avec les 18 fiches sur Arithmétique
Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes nos fiches.
Questions fréquemment posées en Arithmétique
Quelle est la différence entre arithmétique et mathématique ?
La différence principale entre l'arithmétique et les mathématiques est que l'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite les propriétés et la manipulation des nombres, tandis que les mathématiques sont l'étude de la quantité, de la structure, de l'espace et du changement. L'arithmétique traite des quantités numériques tandis que les mathématiques englobent un plus large éventail de sujets.
Quelles sont les bases de l'arithmétique ?
Les bases de l'arithmétique comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Ces opérations peuvent être effectuées sur des nombres entiers, des fractions et des décimaux. L'arithmétique traite également des concepts de racines carrées et de puissances.
Comment bien comprendre l'arithmétique ?
L'arithmétique est basée sur un certain nombre de règles simples, qui peuvent être appliquées à tous les niveaux de l'addition et de la soustraction simples aux calculs complexes. Il suffit de faire beaucoup d'exercices !
Quel est le but de l'arithmétique ?
Le but de l'arithmétique est de nous permettre de résoudre des problèmes mathématiques en manipulant des nombres. L'arithmétique est un outil fondamental des mathématiques, et ses concepts sont utilisés dans de nombreux domaines différents, comme les sciences, l'ingénierie et la finance. L'arithmétique est également utilisée dans la vie quotidienne, pour des tâches telles que les achats et la cuisine.
Comment tu t'assures que ton contenu est précis et digne de confiance ?
Chez StudySmarter, tu as créé une plateforme d'apprentissage qui sert des millions d'étudiants. Rencontre les personnes qui travaillent dur pour fournir un contenu basé sur des faits et pour veiller à ce qu'il soit vérifié.
Processus de création de contenu :
Lily Hulatt
Spécialiste du contenu numérique
Lily Hulatt est une spécialiste du contenu numérique avec plus de trois ans d’expérience en stratégie de contenu et en conception de programmes. Elle a obtenu son doctorat en littérature anglaise à l’Université de Durham en 2022, a enseigné au Département d’études anglaises de l’Université de Durham, et a contribué à plusieurs publications. Lily se spécialise en littérature anglaise, langue anglaise, histoire et philosophie.
Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.
Resumes 
Flashcards 
StudySmarter IA 
Notes de cours 
Planning de révision 
Dossiers 
Examens 
Magazine 
Faire carrière 
App mobile 
