L'arithmétique a un large éventail d'applications dans la vie quotidienne et constitue un outil essentiel pour résoudre les problèmes mathématiques. C'est une branche très ancienne des mathématiques, qui a été étudiée par de nombreuses cultures à travers l'histoire, qui trouve ses racines dans l'Égypte, la Babylone, la Chine et l'Inde antiques. On l'a appelé « la reine des mathématiques » par son rôle fondamental dans tant d'autres domaines des mathématiques.
Définition d'arithmétique
L'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite de l'étude des nombres, en particulier des propriétés des opérations traditionnelles sur ces derniers : addition, soustraction, multiplication et division. L'arithmétique est la forme la plus élémentaire des mathématiques et son développement a été fondamental pour le développement général des mathématiques.
En arithmétique, nous nous intéresserons aux théorèmes de Bézout et de Gauss, aux nombres premiers, à la division Euclidienne, au PGCD et tant d'autres sujets. Cependant, pour introduire l'arithmétique nous commencerons par les bases, c'est-à-dire la divisibilité et les congruences.
Divisibilité dans \( \mathbb{Z} \)
Il faut d'abord savoir ce que signifie \(a | b\) en arithmétique.
Nous pouvons dire que \(3\) divise \(12\) car \(12\) s'écrit \(4\) fois \(3\) : \(12 = 4 \times 3\).
Cette égalité traduit le fait que si nous avions \(12\) objets, nous pourrions les partager en \(3\) parts égales avec chaque part contenant \(4\) objets. Ceci est noté \(3 | 12\).
\(a | b\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka\).
Attention, \(7 = 3,5 \times 2\) mais \(2\) ne divise pas \(7\) car \(3,5\) n'est pas un nombre entier. \(3,5\) n'appartient pas aux entiers relatifs \( \mathbb{Z} \).
En prenant notre premier exemple, \(k\) est égal à \(4\).
\(a\), \(b\) et \(k\) sont des entiers relatifs donc ne peuvent pas être négatifs et \(a\) ≠ \(0\)
Nous pouvons dire que \(-6 | 42\) en appliquant la définition, car il existe un entier \(k\) tel que :
\(42 = k \times -6\).
L'entier \(k\) est donc \(-7\).
\(42 = -7 \times -6\)
Nous pouvons aussi dire que \(-7\) divise \(42\) et \(-6\) joue le rôle de \(k\).
Nous pouvons dire que \(4 | -20\) car \(-20 = -5 \times 4\)
\(b\) peut être égal à \(0\) car les entiers peuvent être divisés par \(0\). \(5 | 0\) est possible avec \(k = 0\). Nous obtenons \(0 = 0 \times 5\).
En arithmétique, ça aide de savoir comment trouver les diviseurs des nombres.
Un diviseur est un nombre qui divise un autre nombre de manière égale.
Cherchons les diviseurs de \(15\) :
\(1, 3, 5, 15\), mais aussi \(-1, -3, -5, -15\) (les opposés des diviseurs positifs sont aussi des diviseurs).
Méthodes à retenir
Pour montrer que \(a | b\), pense à mettre \(a\) en facteur et vérifie que \(k\) est un entier relatif.
Démontre que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par \(3\).
Par exemple, \(5 + 6 + 7 = 18\) et \(18\) est bien divisible par \(3\) (\(3 | 18\)).
La somme de trois nombres consécutifs s'écrit : \(n + (n + 1) + (n + 2)\) avec \(n \in \mathbb{Z} \)
\(n + (n + 1) + (n + 2)\) \(= 3n + 3 \)
Mettre en facteur \(a\), ici \(a = 3\).
Nous obtenons \(3(n + 1)\) et \(n + 1\) \( \in \mathbb{Z} \) donc \(3\) divise la somme de trois entiers consécutifs.
Si \(n\) est un multiple de \(5\), pense à écrire \(n = 5k\) avec \( \in \mathbb{Z} \)
Démontre que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Par exemple, \(6 \times 7 = 42\) (pair) et \(6 = 2 \times 3\).
\(2\) est bien un facteur de \(42\).
Nous avons aussi \(9 \times 10\). \(9\) n'est pas un nombre pair mais \(10\) l'est : \(10 = 2 \times 5\)
Soit le premier nombre est pair et est celui qui nous fournit le facteur \(2\), soit c'est le deuxième nombre.
Démonstration par disjonction de cas :
\(N = n(n + 1)\) avec \(n\) \( \in \mathbb{Z} \)
Si \(n\) est pair : \(n = 2k\) avec \(k\) \( \in \mathbb{Z} \). Donc \(N = 2k(2k + 1)\) d'où \(N\) est pair.
Si \(n\) est impair : \(n = 2k + 1\) avec \(k\) \( \in \mathbb{Z} \), alors \(n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)\). Donc \(N = 2(k + 1)(2k + 1)\)
Nous avons bien écrit \(N\) sous la forme de \(2\) fois un nombre entier.
Démontre que lorsque \(n\) est un entier impair, \(8\) divise \(n^2-1\).
Nous avons, par exemple, \(7^2-1 = 48\) et \(48\) est bien divisible par \(8\) (\(48 = 6 \times 8\)).
Démonstration :
\(n = 2k + 1\) avec \(k\) \( \in \mathbb{Z} \)
Nous avons : \(n^2 - 1 = (n + 1)(n - 1)\) \(= (2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1)\)
\((2k + 2)2k = 4(k + 1)k\)
\(k + 1\) est pair alors nous pouvons écrire :
\(4 \times 2k'\) avec \(k'\) \( \in \mathbb{Z} \)
\(8k'\) donc \(8\) divise bien \(n^2-1\)
Congruences
En arithmétique, une congruence est une relation d'équivalence entre deux nombres qui est compatible avec les opérations d'addition et de multiplication. Plus précisément, la relation de congruence est définie comme suit : pour deux entiers quelconques \(a\) et \(b\), on dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) si et seulement si \(a-b\) est un multiple entier de \(n\). En d'autres termes, deux entiers \(a\) et \(b\) sont congruents modulo \(n\) s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par \(n\).
La relation de congruence est généralement désignée par le symbole "≡". Les congruences s'écrivent sous la forme de
\(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\))
Cela signifie que \(a\) et \(b\) sont congrus modulo \(m\)
Par exemple, \(28\) est congru à \(12\) modulo \(4\) car \( 28-12=16\) est un multiple de \(4\). Ainsi, on peut écrire \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)).
Il est important de noter que les congruences ne sont pas les mêmes que les égalités. En particulier, si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)), il ne s'ensuit pas nécessairement que \(a\)=\(b\). Pour par exemple, \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)), mais \(28\)≠\(12\).
La relation de congruence a les propriétés suivantes :
Elle est réflexive : \(a\) ≡ \(a\) (modulo \(m\))
Elle est symétrique : si \(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\)), alors \(b\) ≡ \(a\) (modulo \(m\))
Elle est transitive : si \(a\) ≡ \(b\) (modulo \(m\)) et \(b\) ≡ \(c\) (modulo \(m\)), alors \(a\) ≡ \(c\) (modulo \(m\))
Si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)) et \(c\)≡\(d\) (modulo \(n\)), alors \(a+c\)≡\(b+d\) (modulo \(n\)) et \(ac\)≡\(bd\) (modulo \(n\))
Si \(a\)≡\(b\) (modulo \(n\)), alors \(a^k\)≡\(b^k\) (modulo \(n\)) pour tout entier positif \(k\)
Si \(a\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\)) et \(b\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\)), alors \(ab\) n'est pas congru à \(0\) (modulo \(n\))
Ainsi, les congruences peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes comme celles-ci :
La relation de congruence stipule que :
Deux nombres sont congruents s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par un nombre donné.
Par exemple, \(17\) et \(13\) sont congruents modulo \(5\) car ils ont tous deux un reste de \(2\) lorsqu'ils sont divisés par \(5\).
Le modulo est le nombre qui est utilisé pour diviser les deux nombres. Dans l'exemple ci-dessus, ce nombre est \(5\).
Comment démontrer une congruence ?
Il existe plusieurs façons de démontrer que deux nombres sont congruents modulo \(n\). Une méthode courante consiste à utiliser l'algorithme de division. Par exemple, pour montrer que \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)), nous pouvons diviser \(28\) par \(4\) et \(12\) par \(4\) pour obtenir les quotients suivants et les restes :
\(28=7 \times 4+0\)
\(12=3 \times 4+0\)
Comme les restes sont tous deux égaux à \(0\), on peut en conclure que \(28\)≡\(12\) (modulo \(4\)).
Démontrer une divisibilité à l'aide d'une congruence
Nous pouvons utiliser des congruences pour tester la divisibilité. Par exemple, pour vérifier si un nombre est divisible par \(3\), on peut le démontrer s'il est congru à 0 \(3\). Si la congruence est égale à \(0\), alors le nombre est divisible par \(3\). Par exemple, \(27\)≡\(0 \) (modulo \(3\)), on sait donc que \(27\) est divisible par \(3\).
De même, pour vérifier si un nombre est divisible par \(4\), on peut calculer sa congruence modulo \(4\). Si la congruence est \(0\), alors le nombre est divisible par \(4\). Par exemple, \(28\)≡\(0\) (modulo \(4\)), on sait de ce fait que \(28\) est divisible par \(4\).
Ainsi, les congruences peuvent être utilisées pour tester la divisibilité des nombres, comme ici par \(3\) ou \(4\).
Arithmétique - Points clés
- L'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite de l'étude des nombres, en particulier des propriétés des opérations traditionnelles sur ces derniers : addition, soustraction, multiplication et division.
- \(a | b\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka\).
- \(a\), \(b\) et \(k\) sont des entiers relatifs donc ne peuvent pas être négatifs et \(a\) ≠ \(0\).
- la relation de congruence est définie comme suit : pour deux entiers quelconques \(a\) et \(b\), on dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) si et seulement si \(a-b\) est un multiple entier de \(n\). En d'autres termes, deux entiers \(a\) et \(b\) sont congruents modulo \(n\) s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par \(n\).
- Le modulo est le nombre qui est utilisé pour diviser les deux nombres.
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