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Ensemble de nombres

Un ensemble est une collection de différents éléments, comme des jours de la semaine ou une liste de courses. Par contre, en mathématiques on s'intéresse aux ensembles de nombres. Dans ce cours sur les ensembles de nombres, on présente quelques exemples des ensembles de nombres, mais aussi leurs symboles. Ensuite, on passe en revue des ensembles de nombres souvent utilisés : les entiers naturels, les nombres entiers (entiers relatifs), les nombres décimaux, les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes. 

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Un ensemble est une collection de différents éléments, comme des jours de la semaine ou une liste de courses. Par contre, en mathématiques on s'intéresse aux ensembles de nombres. Dans ce cours sur les ensembles de nombres, on présente quelques exemples des ensembles de nombres, mais aussi leurs symboles. Ensuite, on passe en revue des ensembles de nombres souvent utilisés : les entiers naturels, les nombres entiers (entiers relatifs), les nombres décimaux, les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes.

Ensembles de nombres : exemples

Certes, {1, 2, 3} et {0, \( \pi \)} sont des exemples d'ensembles de nombres. Or, il y a certains ensembles de nombres que tout le monde utilise fréquemment en mathématiques. Des exemples sont \( \mathbb{N} \), l'ensemble des entiers naturels, \( \mathbb{Q} \) l'ensemble des nombres rationnels et \( \mathbb{R} \), l'ensemble des nombres réels. Continuez à lire pour découvrir un peu plus sur ces ensembles de nombres !

Sous-ensembles et inclusions mathématiques

Un ensemble A est appelé un sous-ensemble (ou partie) de B si tous les éléments de A se trouvent dans l'ensemble B. On peut dire également que l'ensemble A est inclus dans l'ensemble B. En mathématiques, on note cette relation d'inclusion mathématique de la façon suivante : A ⊆ B. Par exemple, si B = {4, 6, 8,} et A = {6, 8}, A ⊆ B. Lorsque l'ensemble A n'est pas un sous-ensemble d'e l'ensemble B, on écrit A ⊈ B. Comme vous verrez, certains ensembles de nombres sont sous-ensembles d'autres ensembles de nombres.

Ensemble de nombres Diagramme de Venn StudySmarter

Fig. 1 - Un diagramme de Venn des différents ensembles de nombres

Symboles des ensembles de nombres

Il existe des symboles pour les ensembles de nombres. Ce tableau résume les différents symboles pour les ensembles de nombres.

SymboleNom
\( \mathbb{N} \)entiers naturels
\( \mathbb{Z} \)nombres entiers/entiers relatifs
\( \mathbb{D} \)nombres décimaux
\( \mathbb{Q} \)nombres rationnels
\( \mathbb{R} \)nombres réels
\( \mathbb{C} \)nombres complexes

L'ensemble des nombres irrationnels n'a pas un symbole standard : il y en a plusieurs. Cela est dû au fait que les nombres irrationnels sont beaucoup moins étudiés que les autres ensembles de nombres. Parmi les symboles pour les nombres irrationnels, on trouve \( \mathbb{Q}' \), \( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) ou encore \( \mathbb{I} \).

Ensemble des entiers naturels

L'ensemble des entiers naturels regroupe tous les nombres entiers positifs. Son symbole est \( \mathbb{N} \). Un entier naturel est un nombre qui ne peut pas être ni négatif, ni une fraction. Des exemples d'entiers naturels sont 0, 501 et 1 000 000. Ces nombres ne se trouvent pas dans l'ensemble des entiers naturels : -1, \( \frac{3}{4} \) et \( \pi \).

L'ensemble des entiers naturels est dit dénombrable. On a un ensemble dénombrable quand il est possible de faire une liste de tous les éléments de cet ensemble. Les ensembles des nombres entiers, des nombres décimaux et des nombres rationnels sont d'autres ensembles dénombrables. Les ensembles des nombres réels et des nombres irrationnels sont des ensembles non dénombrables.

Ensemble des nombres entiers

L'ensemble des nombre entiers (ou entiers relatifs) regroupe tous les nombres entiers positifs et négatifs. Son symbole est \( \mathbb{Z} \). Un entier naturel ne peut pas être une fraction. Les nombres suivants sont des exemples d'entiers naturels : 0, -5 et 100. Par contre, ces nombres ne se trouvent pas dans l'ensemble des nombres entiers : \( \frac{1}{3} \), \( \pi \) et 0,1. Tout entier naturel est un nombre entier. Cela implique que l'ensemble des entiers naturels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres entiers.

Ensemble des nombres décimaux

L'ensemble des nombres décimaux contient tous les nombres qui disposent d'une écriture décimale finie. Cela veut dire que les nombres décimaux peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. De façon équivalente, un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \( \frac{a}{10^n} \) où a et n sont des entiers. C'est aussi pourquoi ces nombres sont appelés décimaux : il s'agit des fractions avec un dénominateur qui est une puissance de 10.

Le symbole pour l'ensemble des nombres décimaux est \( \mathbb{D} \). Des exemples de nombres décimaux sont 1, 0, \( \frac{1}{2} \) et 3,14. Les nombres \( \frac{1}{3} \) et \( \pi \) ne se trouvent pas dans l'ensemble des nombres décimaux, car ils ont un nombre infini de chiffres après le virgule (0,333... et 3,141...). Les nombres entiers sont des nombres décimaux. Cela implique que l'ensemble des nombres entiers est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres décimaux.

Ensemble des nombres rationnels

Dans l'ensemble des nombres rationnels, on trouve tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction. Plus rigoureusement, un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \( \frac{a}{b} \) où a est un entier et b est un entier non-nul.

C'est aussi pourquoi on les appelle des nombres rationnels, car une fraction est un ratio entre deux nombres.

Le symbole pour l'ensemble des nombres rationnels est \( \mathbb{Q} \). Des exemples de nombres rationnels sont -5, 0, \( \frac{1}{3} \) et 101,25. Les nombres \( \sqrt{2} \) et \( \pi \) ne se trouvent pas dans l'ensemble des nombres rationnels, car ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction : ce sont des nombres irrationnels. Les nombres décimaux sont des nombres rationnels. Cela implique que l'ensemble des nombres décimaux est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres rationnels.

Voici une démonstration que \( \sqrt{2} \) est un nombre irrationnel.

Nous allons utiliser une démonstration par contradiction. Supposons que \( \sqrt{2} \) était un nombre rationnel. Alors, il pourrait s'écrire comme une fraction : \[\sqrt{2} = \frac{a}{b}\] où \( a \) et \( b \) sont des nombres entiers sans diviseur commun. Autrement dit, c'est une fraction irréductible, c'est-à-dire, elle est simplifiée au maximum. Donc,

\[\begin{align}2 & = \frac{a^2}{b^2} \\2b^2 & = a^2\end{align}\]

C'est une contradiction !

Mais pourquoi ? En effet, a2 est un nombre pair, comme il est égal à deux fois un certain nombre (ici c'est b2). Or, il est connu que si un nombre est pair et aussi un carré (comme a2 ici), alors ce nombre est aussi divisible par 4. En d'autres termes, 4 est un facteur de a2. Cela veut dire 2 est un facteur de b2, et donc de b aussi.

Le fait que a et b ont 2 comme diviseur commun contredit notre hypothèse au départ. \( \sqrt{2} \) appartient donc à l'ensemble des nombres irrationnels.

Ensemble des nombres réels

Tous les nombres qui sont entre \( +\infty \) et \( -\infty \) se trouvent dans l'ensemble des nombres réels. Cet ensemble contient tous les nombres qu'on utilise habituellement en mathématiques, par exemple -1, 0, \( \frac{1}{3} \) et \( \pi \). Attention, \( +\infty \) et \( -\infty \) ne sont pas des nombres réels. Le symbole pour l'ensemble des nombres réels est \( \mathbb{R} \). Tout nombre réel est soit un nombre rationnel, soit un nombre irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels, ainsi que l'ensemble des nombres irrationnels sont des sous-ensembles de l'ensemble des nombres réels. On peut également dire que l'ensemble des nombre réels est la réunion des ensembles des nombres rationnels et irrationnels.

Ensemble des nombres complexes

À part l'ensemble des nombres réels, il y a également l'ensemble des nombres complexes. Par contre, « complexe » ne veut pas dire compliqué ici ! Un nombre complexe est un nombre qui contient une partie réelle et une partie imaginaire. Il peut s'écrire sous la forme \( a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels qui sont respectivement les parties réelle et imaginaire. On appelle \( i \) l'unité imaginaire.

En mathématiques, la définition de l'unité imaginaire est comme suit : \( i^2 = -1\).

Le symbole pour l'ensemble des nombres complexes est \( \mathbb{C} \). Tout nombre réel est un nombre complexe. Cela implique que l'ensemble des nombres réels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres complexes.

Ensemble de nombres - Points clés

  • Il existe certains ensembles de nombres qui sont couramment utilisés en mathématiques et ont donc des noms spécifiques.
  • Il y a des symboles pour les ensembles de nombres, par exemple \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{R} \) et \( \mathbb{C} \).
  • L'ensemble des entiers naturels regroupe tous les nombres entiers positifs. \( \mathbb{N} \) = {0, 1, 2, ...}
  • L'ensemble des nombre entiers (ou entiers relatifs) contient tous les nombres entiers positifs et négatifs. \( \mathbb{Z} \) = {..., -2, 1, 0, 1, 2, ...}
  • L'ensemble des nombres décimaux contient tous les nombres qui disposent d'une écriture décimale finie. Le symbole pour l'ensemble des nombres décimaux est \( \mathbb{D} \).
  • L'ensemble des nombres réels est composé de tous les nombres qui sont entre \( +\infty \) et \( -\infty \). Le symbole pour l'ensemble des nombres réels est \( \mathbb{R} \).
  • Dans l'ensemble des nombres complexes, on trouve les nombres qui ont une partie réelle et une partie imaginaire. Le symbole pour l'ensemble des nombres complexes est \( \mathbb{C} \).

Questions fréquemment posées en Ensemble de nombres

C’est une collection de nombres ayant des propriétés communes.

Il y a plusieurs ensembles de nombres, mais ceux qui sont les plus souvent utilisés sont les ensembles des nombres réels, des nombres rationnels, des nombres décimaux, des nombres entiers et des entiers naturels.

L'ensemble N est l'ensemble des entiers naturels, qui sont les nombres entiers positifs. 

L'ensemble Q est l'ensemble des nombres rationnels, qui peuvent s'écrire sous la forme de fraction.

L'ensemble des nombres réels R contient tous les nombres entre plus et moins infini.

Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

L'ensemble des entiers naturels est ____ de l'ensemble des nombres réels.

L'ensemble des nombres rationnels est noté par quelle lettre ? 

Quels ensembles sont des sous-ensembles de l'ensemble des nombres décimaux ?

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