Les statistiques et probabilités sont des outils essentiels pour comprendre le monde qui nous entoure. En mathématiques, elles permettent de modéliser et d'analyser les données afin de prendre des décisions rationnelles. Tu apprendras à collecter, organiser et analyser des données, ainsi qu'à calculer des probabilités.
Les statistiques sont l'étude des données collectées à partir d'une population. Elles permettent de décrire les caractéristiques de cette population et de faire des prédictions sur son comportement futur.
Les probabilités sont une branche des mathématiques qui étudie la fréquence avec laquelle un certain événement se produit. Les probabilités peuvent être exprimées sous forme de nombres décimaux compris entre 0 et 1, où 0 signifie qu'un événement ne se produira jamais, et 1 signifie qu'il se produira certainement.
Par exemple, si tu lances un dé à six faces, la probabilité d'obtenir un 6 est de 1/6. Cela signifie que, sur six lancers du dé, tu obtiendras probablement un 6 environ une fois. Si tu augmentes le nombre de lancers du dé à 60, la probabilité d'obtenir un 6 sera toujours de 1/6, mais tu obtiendras probablement un 6 environ 10 fois.
Les statistiques et probabilités sont des outils puissants qui peuvent être utilisés pour étudier et comprendre de nombreux phénomènes naturels et sociaux. Elles offrent aux élèves une excellente introduction à la pensée statistique et probabiliste, qui leur sera extrêmement utile dans leur vie future.
Statistiques descriptives
Les statistiques descriptives sont une partie importante des mathématiques. La moyenne, la médiane, le mode, l'étendue et les quartiles sont quelques concepts clés que tu devras maîtriser.
La moyenne
La moyenne est le nombre central d'un ensemble de données. Pour trouver la moyenne, on additionne tous les nombres de notre ensemble de données, puis on divise par le nombre d'éléments dans cet ensemble.
Quelle est la moyenne de cette série de nombres?
Moyenne =
La médiane
La médiane est le nombre qui partage un ensemble de données en deux parties de même taille lorsque tous les éléments de ce dernier sont ordonnés par ordre croissant ou décroissant. Pour trouver la médiane, on ordonne les données puis on prend le nombre au milieu. Si l'ensemble a un nombre pair d'éléments, on prend la moyenne des deux nombres centraux.
Quelle est la médiane de cette série de nombres?Il y a 4 valeurs inférieures à 8 et 4 valeurs supérieures à 8. La médiane est donc le premier 8 de la série.
Médiane = 8
Le mode
La valeur la plus fréquente dans un ensemble de données
Quelle est le mode de cette série de nombres?La nombre 8 apparaît 3 fois, plus fréquemment que tous les autres nombres, donc 8 est le mode.
L'étendue
L'étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit élément dans un ensemble de données. Pour trouver l'étendue, on ordonne les données puis on soustrait le plus petit nombre au plus grand.
Quelle est l'étendue de cette série de nombres?Valeur maximale = 10
Valeur minimale = 1
L'étendue est donc 10 - 1 = 9.
Les quartiles
Les quartiles sont des mesures qui divisent un ensemble de données en quatre parties égales. Le premier quartile correspond au 25e centile, c'est-à-dire que 25% des données sont inférieures ou égales à ce nombre. Le deuxième quartile, ou médiane, correspond au 50e centile et sépare les données en deux parts égales. Le troisième quartile correspond au 75e, c'est-à-dire que 75% des données sont inférieures ou égales à ce nombre. Pour trouver les quartiles, on ordonne les données et on les divise en quatre parties égales.
Trouver Q1 et Q3 :
Afin de trouver la plus petite valeur telle que 25% des données sont inférieures ou égales à Q1, on arrondit 2.25 à l'entier supérieur, c'est-à-dire 3.
Q1 correspond alors à la 3ème valeur de la liste, c'est-à-dire 5.
Pour Q3 :
Afin de trouver la plus petite valeur telle que 75% des données sont inférieures ou égales à Q3, on arrondit 6,75 à l'entier supérieur, c'est-à-dire 7.
Q3 correspond alors à la 7ème valeur de la liste, c'est-à-dire 8.
Statistiques inférentielles
Les statistiques inférentielles, également appelées déductives, sont une branche des statistiques qui est principalement utilisée pour faire des prédictions et des inférences à partir de données. Les principaux outils utilisés en inférence statistique sont les tests d'hypothèses et l'analyse de régression.
Les tests d'hypothèses sont des outils utilisés pour déterminer si une différence observée entre deux groupes est significative ou si elle peut être attribuée au hasard.
L'analyse de régression est un outil utilisé pour modéliser les relations entre plusieurs variables.
Les applications des statistiques inférentielles sont vastes. En général, les statistiques inférentielles sont essentielles pour toute personne qui cherche à faire des prédictions ou des inférences à partir de données.
Calculer des probabilités
Il est important de savoir comment calculer des probabilités en mathématiques, car cela peut t'aider à mieux comprendre les concepts statistiques. Il existe différentes façons de calculer la probabilité d'un événement et il est important de comprendre comment elles fonctionnent.
Une probabilité peut être exprimée sous forme de fraction, pourcentage ou nombre décimal. La probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Si la probabilité d'un événement est de 0, cela signifie que l'événement ne se produira jamais. Si la probabilité d'un événement est de 1, cela signifie que l'événement se produira toujours.
La probabilité d'un événement peut également être exprimée sous forme de pourcentage. Pour calculer la probabilité sous forme de pourcentage, il suffit de multiplier la probabilité de l'événement par 100. Par exemple, si la probabilité d'un événement est de 0,5, son pourcentage sera de 50 %.
Il existe différentes façons de calculer la probabilité d'un événement. La méthode la plus simple est le calcul de la probabilité à l'aide de la formule suivante:
P(E) = nombre d'événements favorables / nombre total d'événements
Par exemple, si tu veux calculer la probabilité de tirer un as à partir d'un jeu de 52 cartes, il y a 4 as et 52 cartes au total. La probabilité de tirer un as est donc de 4/52. Cela peut être exprimé sous forme de pourcentage en multipliant par 100. La probabilité de tirer un as à partir d'un jeu de 52 cartes est donc d'environ 8 %.
La probabilité peut aussi être calculée en utilisant la formule des probabilités totales. Cette méthode est utile lorsque vous essayez de calculer la probabilité d'un événement qui peut se produire de plusieurs manières différentes.
Pour calculer la probabilité totale d'un événement, tu dois additionner les probabilités de tous les événements favorables. Par exemple, si tu veux calculer la probabilité de tirer un as ou un 2 à partir d'un jeu de 52 cartes, il y a quatre as et quatre 2. La probabilité totale de tirer un as ou un 2 est donc de 4/52 + 4/52, ce qui vaut 8/52 soit environ 15 %.
Une probabilité peut également être calculée en utilisant la formule des probabilités conditionnelles. Cette méthode est utile lorsque vous essayez de calculer la probabilité d'un événement qui est conditionné par un autre événement.
La probabilité conditionnelle peut être définie comme la probabilité qu'un événement B se produise étant donné qu'un événement A s'est déjà produit. Cela signifie que l'événement B dépend de l'événement A, ou que l'événement A est une condition pour que l'événement B se produise.
Calculons la probabilité de tirer un as à partir d'un jeu de 52 cartes, sachant qu'un 2 a déjà été tiré. Il y a 4 as, et il reste 51 cartes au total. Donc, la probabilité de tirer un as à partir d'un jeu de 52 cartes sachant que la première carte tirée est un 2 est donc de 4/51 ou 8 %.
Ce sont quelques-unes des façons de calculer la probabilité d'un événement. Il est important de comprendre comment fonctionnent ces différentes méthodes afin de pouvoir les utiliser au bon moment et de manière appropriée.
Diagramme de Venn
Les diagrammes de Venn sont très utiles pour résoudre des problèmes de probabilité car ils t'aident à représenter les événements visuellement. Un rectangle est utilisé pour représenter l'espace d'échantillonnage (S), et à l'intérieur du rectangle, tu peux dessiner des formes ovales représentant chaque événement. Tu peux également inclure les fréquences ou les probabilités de chaque événement dans le diagramme. Voyons les scénarios les plus courants que tu peux représenter avec des diagrammes de Venn pour deux événements, A et B :
1. Événement A et B : Dans ce cas, les deux événements A et B se produisent simultanément, ce qui est représenté par l'intersection des deux ovales.
Fig 1. - Diagramme de Venn de l'événement A et B
2. Événement A ou B : Dans ce cas, au moins l'un des deux événements se produit, ce qui est représenté par l'union des deux ovales.
Fig. 2 - Diagramme de Venn de l'événement A ou B
3. Événement non A : Dans ce cas, A ne se produit pas, et on a donc représenté le complémentaire de A.
Fig. 3 - Diagramme de Venn de l'événement non A
Il y a 30 élèves dans un groupe de tutorat, 15 élèves étudient le français, 12 l'espagnol et 5 les deux langues. Dessine un diagramme de Venn pour représenter ces informations.
A = étudiants qui étudient le français
B = étudiants qui étudient l'espagnol
Inclue d'abord la fréquence de l'intersection, puis calcule les autres valeurs autour d'elle.
Cinq élèves étudient les deux langues, ce qui te laisse 10 élèves étudiant uniquement le français et 7 élèves étudiant uniquement l'espagnol. Cela signifie que les 8 élèves restants n'étudient aucune langue.
Fig. 4 - Exemple de diagramme de Venn
Calcule la probabilité qu'un étudiant choisi au hasard :
a) étudie le français
b) étudie l'espagnol
c) étudie l'espagnol mais pas le français
d) n'étudie aucune langue
Réponses :
a) P(étudie le français) \( = \frac{15}{30}=\frac{1}{2} \)
b) P(étudie l'espagnol) \( = \frac{12}{30}=\frac{2}{5} \)
c) P(étudie l'espagnol mais pas le français) \( = \frac{7}{30} \)
d) P(n'étudie aucune langue) \( = \frac{8}{30}=\frac{4}{15} \)
Arbres de probabilités
Les arbres de probabilités sont particulièrement utiles pour représenter toutes les issues possibles lorsque deux ou plusieurs événements se succèdent. Pour créer un arbre de probabilités, dessine une branche pour chaque issue d'un événement. Chaque branche doit pointer vers l'issue correspondante et inclure la probabilité de chaque issue.
Représentons les résultats possibles en lançant deux fois une pièce de monnaie :
Dans cet exemple H = pile et T = face.
Fig. 5 - Arbre de probabilités d'un lancer de pièce deux fois
Si tu passes par chaque branche, toutes les issues possibles sont : HH, HT, TH et TT. La probabilité que la pièce tombe sur H ou T est de \( \frac{1}{2} \) à chaque fois, quel que soit le nombre de fois que tu lances la pièce.
En utilisant l'arbre de la section précédente, si tu souhaites calculer la probabilité d'obtenir deux piles ou deux faces (HH ou TT), tu peux procéder comme suit :
1. Trouve la probabilité d'obtenir deux piles (HH). Pour ce faire, tu dois multiplier les probabilités le long de cette branche.
Fig. 6 - Arbre de probabilités de l'événement lancer de pièce deux fois et calcul de la probabilité de HH
2. Maintenant, trouve la probabilité d'obtenir deux faces (TT).
Fig. 7 - Arbre de probabilités de l'événement lancer de pièce deux fois et calcul de la probabilité de TT
3. Pour trouver la probabilité que HH ou TT se produisent, tu devras additionner leurs probabilités.
Statistiques et probabilités - Points clés
- Les statistiques sont l'étude des données collectées à partir d'une population.
- Les probabilités sont une branche des mathématiques qui étudie la fréquence avec laquelle un certain événement se produit.
- Les probabilités couvrent des situations de la vie réelle dont il est difficile de prévoir si elles se produiront ou non, car leurs résultats sont aléatoires.
- Une expérience est un processus qui peut être répété plusieurs fois, produisant un ensemble de résultats spécifiques, par exemple tirer à pile ou face ou lancer un dé.
- Nous pouvons exprimer les probabilités en fractions, nombres décimaux ou pourcentages.
- La probabilité conditionnelle fait référence à la probabilité qu'un événement se produise, étant donné qu'un autre événement s'est produit.
- Les diagrammes de Venn et les arbres de probabilités sont utiles pour représenter les résultats possibles d'une expérience lors de la résolution de problèmes de probabilités.
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