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Qu'est-ce que la fonction génératrice de probabilité ?
En statistiques, la distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète peut être spécifiée par la fonction de masse de probabilité ou par la fonction de distribution cumulative. Une autre façon de spécifier la distribution d'une variable aléatoire discrète est d'utiliser sa fonction génératrice de probabilité. La fonction génératrice de probabilité est une représentation en série de puissance de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire. Ces fonctions génératrices ont des propriétés intéressantes et peuvent souvent réduire la quantité de travail nécessaire à l'analyse d'une distribution.
La fonction génératrice de probabilité (PGF ) d'une variable aléatoire discrète est donnée par :
$$G_X(t)=\mathbb{E}\à gauche(t^X\à droite)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x)$$.
où \(t\) est connu comme une variable muette.
Cela vient de la formule de l'espérance d'une fonction d'une variable aléatoire discrète :
$$\mathbb{E}(g(X))=\sum_{x} g(x)\mathbb{P}(X=x)$$.
où \(g(X)=t^X\).
D'après la formule, tu peux voir que chaque terme de la PGF est un terme \(t^x\) avec un coefficient. La valeur de l'exposant, \(x\), correspond à une valeur que la valeur aléatoire peut prendre et le coefficient de chaque terme \(t^x\) correspond à la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur de l'exposant.
Trouve la fonction génératrice de probabilité pour la distribution donnée par :
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) |
| \N- (\Nmathbb{P}(X=x)\N) | \(\frac{1}{6}) | \(\frac{5}{12}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{12}\) |
En utilisant la formule
\[G_X(t)=\mathbb{E}\left(t^X\right)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x)\]
tu as
\N- [\N- Début{align} G_X(t)&=\frac{1}{6}t^{-2}+\frac{5}{12}t^0+\frac{1}{3}t^1+\frac{1}{12}t^3 \\ &=\frac{1}{6}t^{-2}+\frac{5}{12}+\frac{1}{3}t+\frac{1}{12}t^3. \N- [Fin{align}\N]
Naturellement, tu voudras utiliser les propriétés de la FGP pour rendre ton travail plus rapide.
Fonction génératrice de probabilité : Propriétés
Les fonctions génératrices de probabilité ont des propriétés intéressantes qui peuvent souvent réduire la quantité de travail nécessaire à l'analyse d'une distribution. Par exemple, comme tu le verras, la PGF peut faciliter le calcul de l'espérance ou de la variance.
Pour une variable aléatoire discrète, tu as :
1. \(G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x).\)
2. Pour tout PGF d'une variable aléatoire discrète : \[\begin{align} G_X(1)&=\sum_{x} 1^x\mathbb{P}(X=x) \\N &=\sum_{x}\mathbb{P}(X=x)\N &=1. \N- [end{align}\N]
Supposons que la variable aléatoire discrète \(X\) ait une PGF donnée par
$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$
Alors ,
$$G_X(1)=\frac{1}{8}{2}^3=1.$$
3. \(\begin{align}) G'(t)&=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} G(t) \\N- &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \mathbb{E}\c gauche(t^X\c droite) \c &=\mathbb{E}\c gauche(Xt^{X-1}\c droite) \end{align}\c)
4. \(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\)
Soit \N(X\N) avec un PGF donné par
$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$
Alors
\[\begin{align} G_X'(t)&=\frac{3}{8}(1+t)^2 \\N-G_X'(t)&=\frac{3}{8}(2)^2=\frac{3}{2} .\NFin{align}\N]
Par conséquent
\N[ \Nmathbb{E}(X)=\frac{3}{2}.\N]
5. \N- (\N- début{alignement}) G_X''(t)&=\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2} G_X(t) \N &= \Nmathbb{E}\Nà gauche(X(X-1)t^{X-2}\Nà droite) \Nfin{align}\N)
6. \N- (\N- début{align}) G_X''(1) &=\mathbb{E}(X(X-1)) \N &=\mathbb{E}\\Nà gauche(X^2-X\Nà droite) \N &=\mathbb{E}\Nà gauche(X^2\Nà droite)-\Nmathbb{E}(X)\Nend{align}\N)
7. \(\begin{align}\text{Var}(X) &=\mathbb{E}\left(X^2\right)-(\mathbb{E}(X))^2 \\ &=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \end{align}\)
Supposons que \(X\) ait une PGF donnée par
$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$
Alors
\[\begin{align} G_X'(1)&=\frac{3}{2} \\N- G_X''(t)&=\frac{3}{4}(1+x) \N- G_X''(1)&=\frac{3}{2} \N-END{align}\N] Par conséquent
\[ \begin{align}\text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \\ &=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2\\ &=\frac{3}{4} .\end{align}\]
8. Si les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont discrètes et indépendantes avec des PGF donnés par \(G_X(t)\) et \(G_Y(t)\) respectivement, alors le PGF de \(Z=X+Y\) est donné par \(G_Z(t)=G_X(t) \cdot G_Y(t)\).
Supposons qu'une variable aléatoire discrète \N(X\N) ait une PGF donnée par
$$G_X(t)=\frac{t^2}{(2-t)^5}$$
et une variable aléatoire discrète \(Y\) a une PGF donnée par
$$G_Y(t)=\frac{t}{(4-3t)^2}.$$
Etant donné que \N(X\N) et \N(Y\N), trouve la PGF de \N(Z=X+Y\N) :
Solution :
En utilisant la propriété 8,
\N- [\N- Début{align} G_Z(t)&=G_X(t) \cdot G_Y(t) \cdot &=\frac{t^2}{(2-t)^5} \cdot\frac{t}{(4-3t)^2} = \frac{t^3}{(2-t)^5(4-3t)^2}. \N- [end{align}\N]
Exemples de fonctions génératrices de probabilités
Voici quelques exemples utilisant les différentes propriétés de la FGP :
La fonction génératrice de probabilité d'une variable aléatoire discrète \(X\) est donnée par
$$G_X(t)=z(1+2t+2t^2)^2.$$
a) Trouve la valeur de \(z\).
b) Donne la distribution de probabilité de \(X\).
Solution :
a) En utilisant la propriété 2 ci-dessus, tu sais que pour tout PGF,
\[\begin{align} G_X(1) &=\sum_{x} 1^x\mathbb{P}(X=x) \\N &=\sum_{x}\mathbb{P}(X=x) \N &=1, \Nend{align}\N]
donc
\N- [\N- Début{align} G_X(1)&=z(1+2(1)+2(1)^2)^2 \N- 1&=z(1+2+2)^2 \N- z&=\frac{1}{25}. \N- [end{align}\N]
b) Tu as \(G_X(t)=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2)^2.\N-)
En développant les parenthèses, on obtient
\[\N- Début{alignement} G_X(t)&=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2)(1+2t+2t^2) \\N- &=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2+2t+4t^2+4t^3+2t^2+4t^3+4t^4) \N- &=\frac{1}{25}(1+4t+8t^2+8t^3+4t^4) \\ &=\frac{1}{25}+\frac{4t}{25}+\frac{8t^2}{25}+\frac{8t^3}{25}+\frac{4t^4}{25} \\ &=\frac{1t^0}{25}+\frac{4t^1}{25}+\frac{8t^2}{25}+\frac{8t^3}{25}+\frac{4t^4}{25}. \N- [end{align}\N]
Tu as maintenant une fonction qui te permet de lire les valeurs de \(x\N) avec les probabilités correspondantes de \N(x\N) en utilisant le fait que les coefficients de \N(t^x\N) sont les probabilités \N(\Nmathbb{P}(X = x)\N). Par conséquent, la distribution de probabilité de X est :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \N- (\Nmathbb{P}(X=x)\N) | \N- (\Nfrac{1}{25}) | \(\frac{4}{25}\) | \(\frac{8}{25}\) | \(\frac{8}{25}\) | \(\frac{4}{25}\) |
Un bon moyen de vérifier ta réponse est de t'assurer que \(\sum_{x}\mathbb{P}(X=x)=1\).
Prenons un autre exemple.
Supposons qu'une variable aléatoire \(X\) ait une PGF donnée par
$$G_X(t)=\frac{1}{10}(4t+3t^2+2t^3+t^4).$$
Trouve la variance de \(X\).
Solution :
En utilisant la propriété 7 ci-dessus, tu as
\N- [\N- Début{align} \text{Var}(X) &=\mathbb{E}\gauche(X^2\droite)-(\mathbb{E}(X))^2 \\\N- &=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2, \Nend{align}\N]
donc
\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{align}} G_X'(t)&=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} G_X(t) \N- &= \frac{1}{10}\Nà gauche(4+6t+6t^2+4t^3\Nà droite) \N- G_X'(1)&=2 \N- G_X''(t)&=\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2} G_X(t) \\N- &= \Nfrac{3\Ngauche(2t^2+2t+1\Ndroite)}{5} \N- G_X''(1)&=3. \N- [end{align}\N]
Par conséquent
\N- [\N- Début{align} \text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \\N- &=3+2-2^2\N- &=1. \N-{align}\N- [\N]
Examinons les PGF de certaines distributions standard.
PGF de la distribution de Poisson
La distribution de Poisson est une distribution discrète utilisée pour modéliser le nombre de fois qu'un événement aléatoire se produit dans un intervalle de temps ou d'espace fixe, en supposant que les événements se produisent indépendamment et à un rythme constant.
Si une variable aléatoire discrète \(X\sim \text{Poi}(\lambda)\) la PGF de \(X\) est donnée par
$$G_X(t)=e^{\lambda(t-1)}.$$
Voyons maintenant comment l'utiliser.
Le nombre de visiteurs du site Web est donné par un taux de \(4\) par heure. Etant donné que la variable aléatoire \(X\) est le nombre de visiteurs du site Web qui arrivent au cours d'une heure aléatoire, et que les visites sont indépendantes et aléatoires, montre, à partir des premiers principes, que la fonction génératrice de probabilité pour \(X\) est la suivante
$$G_X(t)=e^{4(t-1)}.$$
Solution :
D'après la description de l'événement, tu peux voir que la variable aléatoire a la propriété que \(X\sim Poi(4)\) puisque chaque visite indépendante les unes des autres, et se produisent dans une période de temps fixe (une heure) à un taux moyen constant \(4.\).
Par conséquent ,
\[\mathbb{P}(X=x)=\frac{e^{-4}4^x}{x!},\]
donc
\[\N- Début{alignement} G_X(t)&=\mathbb{E}(t^X)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x) \\N &=\sum_{x=0}^{\infty} t^x\frac{e^{-4}4^x}{x!} \N- &=e^{-4}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{t^x 4^x}{x!} \\ &=e^{-4} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{(4t)^x}{x!} \N- &=e^{-4}e^{4t}\N- &=e^{-4+4t} \N- &=e^{4(t-1)} . \N- [end{align}\N]
La dernière égalité découle de l'expansion de Maclaurin de \(e^x\) où \(x=4t\). De manière équivalente, tu peux utiliser la sommation exponentielle :
\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} =e^a.\N].
PGF de la distribution binomiale
Tu as déjà rencontré la distribution binomiale. Suppose que tu réalises une expérience qui consiste à répéter indépendamment le même essai \(n\N) fois. À chaque fois, l'essai aboutit à l'un des deux résultats possibles, le succès ou l'échec. Soit \(p\) la probabilité de succès, alors \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) représente le nombre de succès en \(n\) essais.
Voyons maintenant la PGF de la distribution binomiale.
Si une variable aléatoire discrète \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) la PGF de \(X\) est donnée par
$$G_X(t)=(1-p+pt)^n.$$
Prouve par les premiers principes que la PGF de \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) est donnée par
$$G_X(t)=(1-p+pt)^n.$$
Solution :
\[\begin{align} G_X(t)&=\mathbb{E}(t^X)\\N-{k=0}^{n}t^k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{(n-k)} \N-{k=0}^{n}\Nbinom{n}{k}(tp)^k(1-p)^{(n-k)} \N-{k}(tp+(1-p))^n, \N-{end{align}\N-{k}]
où la dernière égalité découle de la sommation binomiale :
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{(n-k)}.\]
Prenons un exemple,
La probabilité qu'une graine germe est de \(0,35\). Soit la variable aléatoire \(X\) qui représente le nombre de graines qui ont germé sur \(4\) graines plantées.
a) Montre, à partir des premiers principes, que la fonction génératrice de probabilité pour \(X\) est
$$G_X(t)=(0.65+0.35t)^4.$$
b) En utilisant ta réponse à a), détermine la moyenne de \(X\).
Solution :
a) Observe que \(X ∼ \text{Bin}(4, 0.35)\), donc
\[\mathbb{P}(X=x)= \binom{6}{x}0.35^x(1-0.35)^{6-x}\]
pour \(x=0,\dots ,6\).
En utilisant la formule de la fonction génératrice de probabilité :
\N[\N- Début{alignement} G_X(t)&=\sum_{x=0}^{4}t^x\mathbb{P}(X=x) \\ &=\sum_{x=0}^{4}t^x\binom{4}{x}0.35^x(1-0.35)^{6-x} \\ &=(0.65)^4+4(0.35)(0.65)^3t+6(0.35)^2(0.65)^2t^2+4(0.35)^3(0.65)t^3+(0.35)^4t^4 \\ &=(0.65)^4+4(0.65)^3(0.35t)+6(0.65)^2(0.35t)^2+4(0.65)(0.35t)^3+(0.35t)^4 \\ &=(0.65+0.35t)^4 ,\end{align}\]
où la dernière égalité découle de la formule binomiale :
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{(n-k)}.\]
Par conséquent, la fonction génératrice de probabilité pour \(X\) est :
$$G_X(t)=(0.65+0.35t)^4.$$
b) En utilisant la propriété 4 ci-dessus, tu as que \N(G_X'(t)=\mathbb{E}(X)\N), donc
\N- [\N- Début{alignement} G_X'(t)&=1.4(0.65+0.35t)^3 \N-G_X'(1)&=1.4 \Nend{align}\N]
PGF de la distribution géométrique
Si une variable aléatoire discrète \(X\sim \text{Geo}(p)\), la PGF de \(X\) est donnée par
$$G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.$$
Supposons une variable aléatoire \(X \sim \text{Geo}(p)\). Montrer, à partir des premiers principes, que la PGF de \(X\) est
$$G_X(t)=\frac{tp}{1-(1-p)t}.$$
Solution :
Puisque \( X \sim \text{Geo}(p)\) tu as que \(\mathbb{P}(X=x)=(1-p)^{x-1}p\) , donc
\N- [\N- Début{align} G_X(t)&=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x) \\N &=\sum_{x=1}^{\infty} t^x(1-p)^{x-1}p \N &=tp\sum_{x=1}^{\infty} [t(1-p)]^{x-1} \N- &=tp\sum_{i=0}^{\infty} [t(1-p)]^{i} , \Nend{align} \]
où dans la dernière ligne la substitution \( i=x-1 \) a été faite. Par conséquent
\[ G_X(t) =\frac{tp}{1-t(1-p)},\]
où l'égalité découle de la sommation géométrique :
\[\sum_{k=0}^{\infty} a^k = \frac{1}{1-a}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
N'oublie pas que si la variable aléatoire \N(X\N) a une distribution géométrique, c'est-à-dire \N(X\Nsim \Ntext{Geo}(p)\N), alors, en supposant des essais indépendants avec une probabilité constante de succès \N(p\N), \N(X\N) indique le nombre d'essais jusqu'à ce qu'un succès se produise. En gardant cela à l'esprit, examinons quelques exemples.
Becky lance un dé à six faces. La variable aléatoire \(X\) représente le nombre de lancers nécessaires pour qu'elle obtienne un multiple de \(2\). Étant donné que chaque lancer est indépendant, trouve la fonction génératrice de probabilité de \(X\).
Solution :
Soit \(p\) la probabilité que Becky obtienne un nombre pair. Alors \(p=0.5\) et la variable aléatoire \(X\sim \text{Geo}(0.5).\).
Par conséquent, en utilisant la formule donnée ci-dessus, la fonction génératrice de probabilité de \(X\) est
\N- [\N- Début{align} G_X(t)&=\frac{pt}{1-(1-p)t} \\N- &=\frac{0,5t}{1-0,5t}. [\N-{align}\N]
Voyons un autre exemple.
Soit la variable aléatoire \(X\sim \text{Geo}(p)\), utilisons la PGF de \(X\) pour montrer que \(\mathbb{E}(X)=\dfrac{1}{p}\) et \(\text{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}.\).
Solution :
En utilisant les propriétés 4 et 7, on obtient que \N(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\Net que \N(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\n-) et
\[\text{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2.\]
D'après la définition ci-dessus, une variable aléatoire \(X\sim \text{Geo}(p)\) a la PGF donnée par
\[G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.\]
Ainsi, en utilisant la règle du quotient, tu as que,
\[\N- Début{alignement} G_X'(t)&=\frac{(1-(1-p)t)(p)-(pt)(-(1-p))}{(1-(1-p)t)^2} \\ &=\frac{p(1-(1-p)t+(1-p)t)}{(1-(1-p)t)^2} \N- &=\frac{p}{(1-(1-p)t)^2} \\ G_X'(1)&=\frac{p}{(1-(1-p))^2} \N- &=\frac{p}{p^2} \N- &=\frac{1}{p}, \Nend{align} \]
donc
\[\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p} .\]
En utilisant la règle de la chaîne, tu as que,
\[\N- Début{alignement} G_X''(t)&=\frac{-2(-(1-p))p}{(1-(1-p)t)^3} \\ &=\frac{2p(1-p)}{(1-(1-p)t)^3} \\ G_X''(1)&=\frac{2p(1-p)}{p^3} \N- &=\frac{2(1-p)}{p^2} .\Nend{align}\N]
Par conséquent,
\N- [\N- Début{align} \text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \\ &=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac{1}{p}-\left(\frac{1}{p}\right)^2 \\ &=\frac{2(1-p)+p-1}{p^2} \\ &=\frac{1-p}{p^2}.\end{align}\]
Fonctions génératrices de probabilités - Principaux enseignements
- La fonction génératrice de probabilité (PGF) d'une variable aléatoire discrète est donnée par \(G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x),\) où \(t\) est connue comme une variable muette.
- De nombreuses tâches d'analyse des variables aléatoires, telles que la recherche de la variance ou de l'espérance, sont simplifiées par l'utilisation de la PGF de la variable aléatoire.
Si une variable aléatoire discrète \(X\sim \text{Poi}(\lambda)\) la PGF de \(X\) est donnée par \(G_X(t)=e^{\lambda(t-1)}.\n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \c).
Si une variable aléatoire discrète \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) la PGF de X est donnée par \(G_X(t)=(1-p+pt)^n.\N-)
Si une variable aléatoire discrète \(X\sim \text{Geo}(p)\), la PGF de X est donnée par \(G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.\N-(G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.\N-(1-p)t}.\N-)
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