Probabilité conditionnelle

Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle ?

La probabilité d'occurrence d'événements qui ont une certaine forme de condition est une probabilité conditionnelle. Ici, l'un des événements dépend généralement de l'autre. L'événement qui se produit plus tard dépend de l'occurrence du premier événement. Pour trouver la probabilité de ce dernier événement, il faut donc connaître la probabilité du premier événement. Le premier événement est donc une probabilité normale, mais le second événement est la probabilité conditionnelle.

L'événement A est donc considéré comme une condition pour que l'événement B se produise. En d'autres termes, la probabilité de l'événement B dépend de la probabilité de l'événement A. Nous désignons cette probabilité conditionnelle par \(P(B|A)\).

Note également qu'il n'est pas dit que les deux événements se produisent simultanément, ni qu'ils ont toujours des relations occasionnelles.

Comment calculer la probabilité conditionnelle

Il existe une formule que nous pouvons utiliser pour trouver la probabilité de B étant donné que A s'est déjà produit :

\[P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]

Où :

P(B|A) est la probabilité de B étant donné A

P(A∩B) est la probabilité que A et B se produisent et

P(A) est la probabilité que A se produise

Diagramme en arbre des probabilités conditionnelles

Un diagramme en arbre peut être un moyen utile de visualiser et de résoudre les problèmes qui contiennent des probabilités conditionnelles. Ce qu'il faut faire, c'est dessiner les deux premières branches pour l'événement A, puis les 4 branches pour l'événement B.

Par exemple, imaginons que nous ayons un sac contenant 10 bonbons aromatisés à la fraise ou au citron. Nous avons ensuite choisi un bonbon au hasard dans le sac, nous l'avons mangé, puis nous en avons choisi un autre. Si nous savions qu'il y avait 6 bonbons à la fraise au départ, nous pourrions commencer à dessiner un diagramme en arbre montrant les probabilités de choisir soit des bonbons au citron, soit des bonbons à la fraise. La première fois que nous avons cueilli un bonbon à la fraise, la probabilité de cueillir un bonbon à la fraise était de 6/10, soit 0,6, et la probabilité de cueillir un bonbon au citron devait donc être de \(1-0,6=0,4\). À partir de là, nous pouvons dessiner les premières branches de notre diagramme en arbre.

Premières branches du diagramme de l'arbre montrant la probabilité de cueillir une fraise ou un bonbon au citron dans un sac.

Maintenant, que se passe-t-il pour le deuxième bonbon que nous choisissons ? Rappelle-toi que le premier bonbon que nous avons choisi n'a pas été remis dans le sac, de sorte que le nombre total de bonbons dans le sac est maintenant de 9 et que le parfum choisi lors du deuxième tirage dépend du parfum choisi lors du premier tirage. Si, lors du premier tirage, nous avons pris un bonbon à la fraise, il ne restera plus que 5 bonbons à la fraise dans le sac. La probabilité de choisir un bonbon à la fraise est donc maintenant de 5/9=0,556 et la probabilité de choisir un bonbon au citron est de \(1 - 0,556= 0,444\).

Cependant, si lors du premier choix, nous avons pris un bonbon au citron, il restera maintenant 6 bonbons à la fraise et 3 bonbons au citron. La probabilité de choisir un bonbon à la fraise dans cette situation est donc de \(\frac{6}{9} =0,667\) et la probabilité de choisir un bonbon au citron est de \(1-0,667 = 0,333\). Nous pouvons maintenant dessiner les quatre branches suivantes de notre diagramme :

Diagramme en arbre montrant la probabilité de choisir 2 bonbons dans un sac contenant des bonbons à la fraise et au citron.

Les quatre branches que nous avons dessinées représentent les probabilités conditionnelles de différents événements. La première en partant du haut donne la probabilité de cueillir une fraise (S) étant donné que la fraise a déjà été cueillie la première fois, soit \(P(S_2 | S_1) = 0,556\). Cette même logique peut être appliquée à toutes les branches suivantes, ce qui donne \N(P(L |S) = 0,444, \space P(S|L) = 0,667 \N{ et } P(L_2 | L_1) = 0.333\).

Propriétés des probabilités conditionnelles

Les propriétés des probabilités conditionnelles mentionnées ici sont toutes basées sur la formule ci-dessus.

Ici, P(S) est la probabilité de l'espace d'échantillonnage et P(A) et P(B) sont les probabilités des événements A et B respectivement.

• \(P(S|A) = P(A|A) = 1)

• Si P(X) est un événement tel que \N(P(E) ≠ 0\N), alors \N(P((A \cup B)|X) = P(A|X) + P(B|X) - P((A \cap B)|X)\N)

• \N(P(B'|A) = 1 -P(B|A)\N). Ici, B' est l'ensemble complémentaire de B.

Probabilité conditionnelle Diagramme de Venn

Les diagrammes de Venn sont une autre méthode que nous pouvons utiliser pour résoudre les problèmes de probabilité conditionnelle. Pour dessiner un diagramme de Venn, nous devons connaître la probabilité de l'événement A, la probabilité de l'événement B et la probabilité de A et B. Par exemple, un sondage a été effectué auprès de 65 personnes pour connaître les parfums de crème glacée qu'elles aimaient. 30 personnes ont déclaré n'aimer que le chocolat (C), 20 personnes ont déclaré n'aimer que la vanille (V), 10 personnes ont aimé les deux et les autres n'ont aimé ni l'un ni l'autre.

Nous savons donc que la probabilité qu'une personne n'aime que le chocolat est de \(\frac{30}{65}=0,462\). La probabilité que quelqu'un aime à la fois la vanille et le chocolat est de \(P(C\cap V)=\frac{10}{65}=0,154\). La probabilité que quelqu'un n'aime ni l'un ni l'autre est de \(65-\frac{(30+20+10)}{65} = 0.0769\N). Nous pouvons dessiner le diagramme de Venn suivant :

Diagramme de Venn montrant la probabilité que les gens aiment les glaces au chocolat et à la vanille.

Note que l'addition de toutes les probabilités sur un diagramme de Venn doit toujours être égale à 1.

À partir de là, nous pouvons utiliser la formule \(P(B |A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) pour trouver la probabilité qu'une personne aime la glace au chocolat sachant qu'elle aime la vanille :

\(P(C |V) = \frac{P(C \cap V)}{P(V)}\).

Nous savons déjà que \(P(C\cap V)= 0.154\). P(V) sera la somme des probabilités que quelqu'un aime seulement la vanille et que quelqu'un aime à la fois la vanille et le chocolat. \(P(V)=0.308+0.154=0.462\). Donc ,

\(P(C|V) = \frac{0,154}{0,462} = 0,333\).

Théorème de Bayes pour les probabilités conditionnelles

Le théorème de Bayes stipule que \(P(B|A) = \frac{P(A|B)}{P(A)}P(B)\)

Ce théorème peut être prouvé en utilisant les équations que nous avons utilisées précédemment. Nous savons que \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) et \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\).

Si nous réarrangeons les deux équations pour trouver des expressions pour \N(P(A \cap B)\N), nous obtenons \N(P(A \cap B) = P(B|A)P(A)\N) et \N(P(A \cap B) = P(A|B)P(B)\N) . Nous pouvons maintenant mettre en équation le côté droit de ces deux expressions, donc \N(P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)\Npar conséquent, \N(P(B|A) = \Nfrac{P(A|B)}{P(A)} P(B)\N).