Probabilités Mutuellement Exclusives

Définition des événements mutuellement exclusifs

Prends l'exemple d'un jeu de pile ou face : tu peux soit tirer pile , soit tirer face. Comme ce sont évidemment les seuls résultats possibles et qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps, nous appelons les deux événements "pile" et "face" mutuellement exclusifs. Voici une liste d'événements qui s'excluent mutuellement :

• Les jours de la semaine - tu ne peux pas avoir un scénario où l'on est à la fois lundi et vendredi !

• Les résultats d'un lancer de dés

• La sélection d'une carte "diamant" et d'une carte "noire" dans un jeu de cartes.

Les situations suivantes ne s'excluent pas mutuellement puisqu'elles peuvent se produire simultanément :

• Choisir un "trèfle" et un "as" dans un jeu de cartes.

• Obtenir un '4' et obtenir un nombre pair.

Essaie de trouver tes propres exemples d'événements mutuellement exclusifs pour t'assurer que tu as bien compris le concept !

Probabilité d'événements mutuellement exclusifs

Maintenant que tu comprends ce que signifie l'exclusivité mutuelle, nous pouvons la définir mathématiquement.

Prenons les événements A et B qui s'excluent mutuellement. Ils ne peuvent pas se produire en même temps, nous pouvons donc dire qu'il n'y a pas d'intersection entre les deux événements. Nous pouvons le montrer à l'aide d'un diagramme de Venn ou de la notation des ensembles.

Représentation de l'exclusivité mutuelle par un diagramme de Venn

Événements mutuellement exclusifs

Le diagramme de Venn montre très clairement que, pour s'exclure mutuellement, les événements A et B doivent être distincts. En effet, tu peux constater visuellement qu'il n'y a pas de chevauchement entre les deux événements.

La représentation de l'exclusivité mutuelle par la notation ensembliste

Rappelle que le symbole "$\cap$" signifie "et" ou "intersection". Une façon de définir l'exclusivité mutuelle consiste à remarquer que l'intersection n'existe pas et qu'elle est donc égale à l'ensemble vide:

$A\cap B=\varnothing$

Cela signifie que, puisque l'intersection de A et B n'existe pas, la probabilité que A et B se produisent ensemble est égale à zéro :

$P(A\cap B)=0$

Règle pour les événements qui s'excluent mutuellement

Une autre façon de décrire des événements mutuellement exclusifs à l'aide de la notation ensembliste est de penser à l'"union" des événements. La définition de l'union en probabilité est la suivante :

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$.

Étant donné que la probabilité de l'intersection de deux événements mutuellement exclusifs est égale à zéro, nous avons la définition suivante des événements mutuellement exclusifs qui est également connue sous le nom de "règle de la somme" ou de la règle du "ou" :

C'est une règle très pratique à appliquer. Jette un coup d'œil aux exemples ci-dessous.

Exemples de probabilité d'événements mutuellement exclusifs

Dans cette section, nous allons travailler sur quelques exemples d'application des concepts précédents.

Événements indépendants et événements mutuellement exclusifs

Les élèves confondent parfois les événements indépendants et les événements mutuellement exclus ifs. Il est important de bien connaître les différences entre ces deux types d'événements, car ils ont des significations très différentes.