Calcul

D'où vient le calcul ?

Alors, d'où vient le calcul ? Comment les premiers mathématiciens ont-ils trouvé ces idées complexes ?

Pour avoir une idée de la façon dont tu pourrais inventer le calcul, commençons par un problème apparemment simple : trouver l'aire d'un cercle. Nous connaissons maintenant la formule de l'aire d'un cercle :

Graphique d'un cercle

Mais pourquoi en est-il ainsi ? Quel est le processus de réflexion qui mène à cette observation ? Disons que nous ne connaissons pas cette formule. Comment pouvons-nous essayer de trouver l'aire d'un cercle sans la connaître ? Pour commencer, essayons de décomposer le cercle en formes dont les aires sont plus simples à calculer.

Trouver l'aire d'un cercle à l'aide de formes que nous connaissons

Et après avoir essayé d'obtenir de plus en plus de formes pour qu'il reste de moins en moins de cercle, essayons une autre idée : décomposer le cercle en anneaux concentriques.

Graphique des cercles concentriques

C'est très bien, mais maintenant, qu'est-ce qui se passe ? Prenons un seul de ces anneaux, qui a un rayon plus petit, que nous appellerons , c'est-à-dire entre 0 et 5.

Graphique des cercles concentriques avec un anneau mis en évidence

À partir de là, redressons cet anneau.

Anneau redressé à partir de cercles concentriques

Avec l'anneau redressé, nous avons maintenant une forme dont l'aire est plus facile à trouver. Mais quelle est la forme dont l'aire est encore plus facile à trouver ? Un rectangle. Pour simplifier, nous pouvons approximer la forme de l'anneau redressé comme un rectangle.

Approximation de l'anneau redressé en tant que rectangle

Ce rectangle a une largeur égale à la circonférence de l'anneau, ou , et une hauteur égale au plus petit rayon de que tu as choisi plus tôt. Renommons en , pour représenter une petite différence de rayon d' un anneau à l'autre. Alors, qu'avons-nous maintenant ? Nous avons un tas d'anneaux du cercle approximés comme des rectangles dont nous savons trouver les aires ! Et, pour des choix de plus en plus petits de (ou en divisant le cercle en anneaux de plus en plus petits), notre approximation de la surface de l'anneau devient de plus en plus précise.

Allons plus loin et redressons tous les anneaux du cercle en rectangles et alignons-les côte à côte. Ensuite, en plaçant ces rectangles sur un graphique de la ligne , nous pouvons voir que chaque rectangle s'étend jusqu'au point où il touche juste la ligne.

Anneaux de cercles concentriques placés sur un graphique de la droite : y = 2πR.

Et pour des choix de plus en plus petits de , nous pouvons voir que l'approximation de l'aire totale du cercle devient plus précise.

Anneaux de cercles concentriques placés sur un graphique de la droite : y=2πR avec un choix plus petit pour dr.

Tu remarqueras peut-être qu'à mesure que devient plus petit, le nombre de rectangles devient très important, et n'est-il pas fastidieux d'additionner toutes leurs surfaces ? Regarde à nouveau le graphique et tu remarqueras que les surfaces totales des rectangles ressemblent en fait à la surface située sous la ligne, qui est un triangle !

Les aires totales des cercles concentriques représentées comme l'aire sous le graphique.

Nous connaissons la formule de l'aire d'un triangle :

Ce qui, dans ce cas, serait :

C'est la formule pour calculer l'aire d'un cercle !

Mais attends, comment en sommes-nous arrivés là ? Prenons un peu de recul et réfléchissons-y. Nous avions un problème qui pouvait être résolu en l'approximant par la somme de nombreux nombres plus petits, chacun ressemblant à pour des valeurs de R comprises entre 0 et 5. Et ce petit nombre était notre choix d'épaisseur pour chaque anneau du cercle. Il y a deux choses importantes à noter ici :

• Non seulement joue un rôle dans les surfaces des rectangles que nous additionnons, mais il représente aussi l'espacement entre les différentes valeurs de R.

• Plus le choix de est petit, meilleure est l'approximation. En d'autres termes, plus la valeur de est petite, plus la réponse sera précise.

Ce sont là des idées assez intéressantes, n'est-ce pas ? Maintenant, tu te demandes peut-être pourquoi faire tous ces efforts pour quelque chose d'aussi simple que de trouver l'aire d'un cercle ? Eh bien, réfléchissons un instant... Puisque nous avons réussi à trouver la surface d'un cercle en reformulant la question comme étant la surface d'un graphique, ne pourrions-nous pas l'appliquer à d'autres graphiques plus complexes ? La réponse est oui, nous le pouvons ! Disons, par exemple, que nous prenons le graphique de , une parabole.

Graphique d'une parabole

Comment pourrions-nous trouver l'aire sous un tel graphique, par exemple entre les valeurs 0 et 5 ? C'est un problème beaucoup plus difficile, n'est-ce pas ? Recadrons légèrement ce problème : fixons l'extrémité gauche à 0 et laissons l'extrémité droite varier. La question est maintenant de savoir si nous pouvons trouver une fonction, appelons-la , qui nous donne l'aire sous la parabole entre l'extrémité gauche de 0 et l'extrémité droite de x ?

Aire sous une parabole

Cela nous amène au premier grand sujet du calcul : les intégrales. Pour utiliser le vocabulaire du calcul, la fonction que nous avons appelée est connue sous le nom d'intégrale de la fonction du graphique. Dans notre cas, serait l'intégrale de . Ou dans une notation plus mathématique :

Au fur et à mesure que nous progresserons dans le calcul, nous découvrirons les outils qui nous aideront à trouver , mais pour l'instant, ce que représente la fonction reste un mystère. Ce que nous savons, c'est que la fonction nous donne l'aire sous la parabole à partir d'un point d'extrémité gauche fixe et d'un point d'extrémité droit variable. Prends un moment pour réfléchir à ce que nous savons d'autre sur la relation entre et le graphique, .

Lorsque nous augmentons x d'un tout petit peu, disons d'une quantité que nous appellerons , nous constatons un changement dans l'aire sous le graphique, que nous appellerons . Cette minuscule différence de surface, , peut être approximée comme un rectangle, tout comme nous avons pu approximer comme un rectangle dans notre exemple de cercle. L'approximation du rectangle pour , cependant, a une hauteur de et une largeur de . Et pour des choix de plus en plus petits de , l'approximation de l'aire sous le graphique devient de plus en plus précise, tout comme dans l'exemple du cercle.

Un changement dans l'aire sous une parabole

Cela nous donne une nouvelle façon de penser à la façon dont est lié à . Changer la sortie de par est à peu près égal à , où est ce que tu choisis, multiplié par . Cette relation peut être réarrangée en :

Et, bien sûr, cette relation devient de plus en plus précise au fur et à mesure que nous choisissons des valeurs de plus en plus petites pour . Bien que la fonction reste un mystère pour nous, cette relation est essentielle et, en fait, elle est valable pour bien plus que le graphique de .

Cela nous amène au prochain grand sujet du calcul : les dérivées. La relation entre , , et la fonction du graphique, , écrite comme le rapport de divisé par est égal à , s'appelle la dérivée de A. En notation mathématique :

Tu as peut-être remarqué que les formules générales que nous avons écrites pour la dérivée et l'intégrale ont l'air d'être liées l'une à l'autre. C'est parce que c'est le cas ! Les dérivées et les intégrales sont en fait des inverses l'une de l'autre. En d'autres termes, une dérivée peut être utilisée pour trouver une intégrale et vice versa. Le va-et-vient entre les intégrales et les dérivées où la dérivée d'une fonction pour l'aire sous un graphique donne la fonction définissant le graphique lui-même s'appelle le théorème fondamental du calcul.

Résumons un peu. D'une manière générale, une dérivée est une mesure de la sensibilité d'une fonction à de petits changements dans son entrée, tandis qu'une intégrale est une mesure d'une certaine surface sous un graphique. Le théorème fondamental du calcul relie les deux et montre comment ils sont inversés l'un par rapport à l'autre.

Maintenant que nous avons une idée solide de ce qu'est le calcul et de son origine, creusons un peu plus. Nous pouvons déduire des exemples de la section précédente qu'il existe quelques concepts principaux du calcul :

• Le calcul est une question d'approximation ou de précision lorsqu'une valeur se rapproche d'une autre valeur

• Il existe deux types de calcul :

  • Le calcul qui traite des dérivées, ou calcul différentiel.

  • Le calcul qui traite des intégrales, ou calcul intégral.

• Il existe un théorème fondamental du calcul qui relie le calcul différentiel et le calcul intégral.

L'idée d'une limite en calcul

Avant de nous pencher sur les différents types de calcul, examinons ce qui différencie le calcul des autres types de mathématiques : l'idée de limite. Tu te souviens de la section précédente où nous avons parlé de choisir des valeurs de plus en plus petites pour ou ? Lorsque nous considérons ces valeurs de plus en plus petites, nous améliorons la précision de nos approximations en faisant en sorte que ou s'approche de zéro. Pourquoi ne pas utiliser directement zéro ? Rappelle-toi que la formule de la dérivée de A est le rapport de divisé par , et diviser par zéro est impossible ! C'est là que la limite entre en jeu. La limite nous permet essentiellement de voir quelle devrait être la réponse à un problème (par exemple, l'aire sous un graphique) à mesure que nous nous rapprochons de la valeur de la limite, quelle qu'elle soit. Dans le cas de nos exemples de la section "D'où vient le calcul ?", la limite était zéro.

Calcul différentiel

Le calcul différentiel est la branche du calcul qui traite du taux de changement d'une quantité par rapport à une autre quantité. Dans cette branche, nous divisons les choses en sections de plus en plus petites et étudions comment elles changent d'un moment à l'autre.

Calcul intégral

Lorsque l'on connaît le taux de variation d'une fonction, on peut utiliser le calcul intégral pour trouver une quantité. Dans cette branche, nous additionnons de petites sections de choses pour découvrir leur comportement global.

Le théorème fondamental du calcul

Le théorème fondamental du calcul relie le calcul différentiel et le calcul intégral en affirmant que la différenciation et l'intégration sont des inverses l'une de l'autre et se divise en deux parties :

• Partie 1 - montre la relation entre les dérivées et les intégrales

• Partie 2 - utilise la relation établie dans la partie 1 pour montrer comment calculer une intégrale sur un intervalle spécifique.

Les définitions du théorème fondamental du calcul sont les suivantes :

Applications pratiques du calcul

Le calcul a une grande variété et une longue histoire d'applications utiles. En général, le calcul est utilisé dans les applications STEM (Science Technology Engineering Math) ainsi qu'en médecine, en économie et dans la construction, pour n'en citer que quelques-unes. Une forme de calcul a été utilisée dans l'Égypte ancienne pour construire les pyramides ! Mais le calcul que nous apprenons aujourd'hui est celui que Sir Isaac Newton et Gottfried Leibniz ont développé au XVIIe siècle.

AP Calculus : AB et BC

L'AP Calculus est divisé en deux cours, l'AP Calculus AB et l'AP Calculus BC. La différence entre ces deux cours est que l'AP Calculus BC couvre tout ce que l'AP Calculus AB couvre, plus quelques sujets supplémentaires. Jette un coup d'œil à nos articles sur chaque sujet pour une étude complète de l'AP Calculus !

AP Calculus AB

Le cours AP Calculus AB couvre de nombreux sujets de calcul. En voici un bref aperçu :

• Fonctions
• Limites et continuité
• Dérivées
• Applications des dérivées
• Intégrales
• Applications des intégrales
• Equations différentielles

AP Calculus BC

Le cours AP Calculus BC couvre tout ce que fait le cours AP Calculus AB, plus ces sujets supplémentaires :

• Séquences et séries
• Equations paramétriques
• Coordonnées polaires
• Vecteurs