Le théorème fondamental du calcul: Introductions, Exemples

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Le FTC nous permet de résoudre des problèmes un peu plus complexes qu'il n'est possible de le faire autrement. Par exemple, il est facile de déterminer qui voyagera le plus loin en 30 minutes si tu vas à 10 miles par heure et que ton ami se déplace à 12 miles par heure. Mais que se passe-t-il si vos vitesses ne sont pas constantes et sont modélisées par une équation qui change en fonction du temps ? Comment répondrais-tu à cette question ? Heureusement, nous avons la FTC pour nous permettre de le faire. Il est possible de le diviser en 2 parties. Voyons comment cela fonctionne !

La première partie du théorème fondamental du calcul

Si la fonction f est continue sur[a, b], alors la fonction g, définie par

$g (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ où $a \leq x \leq b$ ,

est continue sur[a, b] et différentiable sur(a, b), et $g' (x) = f (x)$ .

En d'autres termes, la dérivée d'une intégrale définie par rapport à la limite supérieure est égale à l'intégrande évaluée à la limite supérieure. L'intégration et la différenciation sont inverses !

La dérivée de l'intégrale de la fonction En termes simples, sous forme d'équation :

$\int f' (x) d x = f (x) \frac{d}{d x} (\int f (x) d x) = f (x)$

La dérivée de l'intégrale d'une fonction aboutit à la fonction elle-même ! Donc, tout ce que dit la partie 1 de la FTC, c'est que l'intégration et la différenciation sont des inverses l'une de l'autre - elles s'annulent l'une l'autre !

La deuxième partie du théorème fondamental du calcul.

Cette partie est informellement appelée "la partie évaluative du théorème".

Si la fonction f est continue sur[a, b], alors

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

où F est l'antidérivée de f, ou une fonction telle que $F' = f$ .

Essentiellement, la partie 2 est l'inverse de la partie 1. Si l'antidérivée F de f est déjà connue, nous pouvons évaluer l'intégrale en soustrayant les valeurs de F aux extrémités de l'intervalle d'intégration.

Preuve du théorème fondamental du calcul

Première partie

Tout d'abord, nous devons commencer par quelques prérequis. Nous avons besoin :

Une fonction f qui soit continue sur [a,b].
L'intégrale $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ continue sur [a,b] et différentiable sur (a,b).

N'oublie pas que nous devons prouver que la dérivée de l'intégrale sur la fonction f est la fonction f elle-même. En d'autres termes

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$

Soit x et $x + h$ soient dans l'intervalle(a, b). Alors, par la définition de la dérivée, nous avons

$\begin{array}{rcl} F' (x) & = & \lim_{h \to 0} \frac{F (x + h) - F (x)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{\int_{a}^{x + h} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{(\int_{a}^{x} f (t) d t + \int_{x}^{x + h} f (t) d t) - \int_{a}^{x} f (t) d t}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{\int_{x}^{x + h} f (t) d t}{h} \end{array}$

En éliminant h, on obtient

$F' (x) = \lim_{h \to 0} (\frac{1}{h} (\int_{x}^{x + h} f (t) d t))$

Pour la partie suivante, nous devons utiliser nos muscles du théorème de la valeur moyenne pour les intégrales, que tu trouveras ici ! L'aire située sous deux points quelconques d'une courbe, disons entre les points a et b, se calcule comme suit

$A r e a u n d e r 2 p o i n t s, a a n d b = w i d t h \times a v e r a g e h e i g h t o f t h e f u n c t i o n o n [a, b]$

En réécrivant l'équation ci-dessus en notation mathématique selon le diagramme ci-dessous, nous avons

$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$

Théorème fondamental du calcul La valeur moyenne est égale à l'aire sous la courbe graphique StudySmarter L'aire sous la courbe est égale à la largeur de l'intervalle multipliée par la valeur moyenne de la courbe - StudySmarter Originals

Réécris la formule ci-dessus en remplaçant a par x, $x + h$ pour b, et h pour $b - a$ , nous avons

$\begin{array}{rcl} f (c) \cdot h & = & \int_{x}^{x + h} f (t) d t \\ f (c) & = & \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t \end{array}$

Que se passe-t-il lorsque $h \to 0$ ? Deux choses se produisent :

$x + h \to 0$ , et ainsi
$c \to x$

Mathématiquement :

$\lim_{h \to 0} f (c) = f (x)$

Ok, passons en revue ce que nous avons déterminé jusqu'à présent. Tout d'abord, nous savons que

$F' (x) = \lim_{h \to 0} (\frac{1}{h} (\int_{x}^{x + h} f (t) d t))$
$\begin{array}{rcl} f (c) & = & \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t \end{array}$

En remplaçant l'équation II par l'équation I, nous obtenons ;

$F' (x) = \lim_{h \to 0} f (c)$

Mais attends, l'équation 1 ci-dessus nous dit ce qu'est $\lim_{h \to 0} f (c)$ est ! C'est $f (x)$ ! Donc

$\begin{array}{rcl} F' (x) & = & \lim_{h \to 0} f (c) \\ = & f (x) \end{array}$

Depuis le début de cette preuve, nous avons vu que

$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$

Par conséquent, la dérivée de $F (x), F' (x),$ est

$F' (x) = \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t$

Enfin, nous avons

$\begin{array}{rcl} F' (x) & = & \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t \\ = & f (x) \end{array}$

Partie 2

Soit $g (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ . La partie 1 de FTC dit que

$g' (x) = f (x)$

Si F est l'antidérivée de f sur l'intervalle $[a, b]$ , alors

$F (x) = g (x) + C$

où C est une constante.

Disons que nous voulons trouver l'aire sous la courbe entre le même point. Cette aire devrait être nulle puisqu'il n'y a pas de largeur ! L'aire en ce point, disons $x = a$ est calculée comme suit

$\begin{array}{rcl} g (a) & = & \int_{a}^{a} f (t) d t \\ = & 0 \end{array}$

En utilisant le fait que $F (x) = g (x) + C$ En utilisant le fait que $x = a$ et $x = b$ et en utilisant le fait que $g (a) = 0$ nous donne

$\begin{array}{rcl} F (b) - F (a) & = & [g (b) + C] - [g (a) + C] \\ = & g (b) - g (a) \\ = & g (b) \\ = & \int_{a}^{b} f (t) d t \end{array}$

Applications du théorème fondamental du calcul

Le calcul est un outil extrêmement puissant pour évaluer les intégrales ; il nous permet d'évaluer les intégrales sans approximations ni géométrie. La principale application du FTC consiste à trouver des réponses exactes aux intégrales. Cependant, en utilisant le FTC, nous pouvons également trouver et étudier les anti-dérivées de façon plus abstraite.

Comme nous l'avons déjà mentionné, le FTC nous aide à résoudre des problèmes plus complexes. Crois-le ou non, l'intégration et le théorème fondamental du calcul peuvent nous aider à calculer le centre de masse, qui est essentiellement un point d'équilibre. Si tu te tiens debout et que tu essaies de te tenir en équilibre sur une jambe, tu dois ajuster ton centre de masse pour te tenir en équilibre sur une jambe plutôt que sur deux. En calcul, le centre de masse d'une région graphique est le point où la région est parfaitement équilibrée horizontalement. Le FTC peut nous aider à résoudre le problème du centre de masse.

Exemples du théorème fondamental du calcul

Faisons d'abord 3 exemples en utilisant le FTC partie 1 !

Exemple 1

Commençons par un exemple simple.

Trouve la dérivée de $g (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2} + 1} d t$ et évalue $g' (10)$ .

Étape 1 : Assure-toi que g(x) est continue

$\frac{1}{t^{2} + 1}$ est continue sur l'intervalle $[1, x]$ . Si tu introduis n'importe quel nombre entre 1 et l'infini, tu n'obtiendras aucune discontinuité.

Étape 2 : Prendre la dérivée des deux côtés par rapport à x

$\frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2} + 1} d t]$

Étape 3 : Appliquer le théorème fondamental du calcul

En vertu du théorème fondamental du calcul, il suffit de remplacer la variable t de la fonction intérieure par x de telle sorte que

$g' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 4 : Ajoute x = 10 à g'(x)

Maintenant que nous avons g'(x), il suffit de brancher 10 pour trouver g'(10).

$g' (10) = \frac{1}{10^{2} + 1} = \frac{1}{101}$

Exemple 2

Maintenant que nous comprenons mieux le théorème fondamental du calcul, passons à un exemple plus complexe impliquant la règle de la chaîne. Si tu n'as pas encore étudié la règle de la chaîne, consulte notre article avant de continuer !

Trouve la dérivée de $g (x) = \int_{1}^{x^{2}} \cos (r) d r$ .

Étape 1 : S'assurer que g(x) est continue

Nous savons que la fonction cosinus n'a pas de discontinuité.

Étape 2 : Substituer u(x) à la fonction de limite supérieure

On laisse $u (x) = x^{2}$ alors

$g (x) = \int_{1}^{u (x)} \cos (r) d r$

Étape 3 : Prendre la dérivée des deux côtés par rapport à x

$\frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{d}{d x} [\int_{1}^{u (x)} \cos (r) d r]$

Étape 3 : Appliquer le théorème fondamental du calcul

En vertu du théorème fondamental du calcul, il suffit de remplacer la variable r de la fonction intérieure par u(x) de sorte que

$g' (x) = \cos (u (x))$

Étape 4 : Appliquer la règle de la chaîne

Nous devons également appliquer la règle de la chaîne, donc

$g' (x) = \cos (u (x)) \frac{d u}{d x} = \cos (x^{2}) [\frac{d}{d x} (x^{2})] = 2 x \cdot \cos (x^{2})$

Exemple 3

Essayons un exemple avec des limites d'intégration à deux variables.

Évaluer

$g (t) = \int_{t}^{t^{3}} x^{4} d x$

Étape 1 : S'assurer que g(t) est continu

Il n'existe pas de nombre qui produise une discontinuité lorsqu'il est branché.

Étape 2 : diviser l'intégrale en deux

Puisque les deux limites d'intégration sont des variables, nous devons diviser l'intégrale en deux et utiliser nos règles d'intégrale définie pour correspondre à la forme du théorème fondamental du calcul.

$\begin{array}{rcl} g (t) & = & \int_{t}^{t^{3}} x^{4} d x \\ = & \int_{t}^{0} x^{4} d x + \int_{0}^{t^{3}} x^{4} d x \\ = & - \int_{0}^{t} x^{4} d x + \int_{0}^{t^{3}} x^{4} d x \end{array}$

Étape 3 : Remplacer la limite supérieure par u(t)

Nous laissons $u (t) = t^{3}$ alors

$g (t) = - \int_{0}^{t} x^{4} d x + \int_{0}^{u (t)} x^{4} d x$

Étape 4 : Prendre la dérivée des deux côtés par rapport à t

$\frac{d}{d t} [g (t)] = \frac{d}{d t} [- \int_{0}^{t} x^{4} d x + \int_{0}^{u (t)} x^{4} d x]$

Étape 4 : Appliquer le théorème fondamental du calcul

En vertu du théorème fondamental du calcul, il nous suffit de remplacer la variable x de la fonction intérieure par t et u(x ) de telle sorte que

$g' (t) = - t^{4} + (u {(t))}^{4}$

Une fois de plus, nous devons appliquer la règle de la chaîne, donc

$\begin{array}{rcl} g' (t) & = & - t^{4} + {(t^{3})}^{4} \frac{d u}{d x} \\ = & - t^{4} + {(t^{3})}^{4} [\frac{d}{d x} (t^{3})] \\ = & - t^{4} + {(t^{3})}^{4} (3 t^{2}) \\ = & - t^{4} + 3 t^{14} \end{array}$

Exemple 4

Essayons maintenant un exemple en utilisant la partie 2 du FTC !

Utilise le Théorème fondamental du calcul, partie 2, pour évaluer

$\int_{0}^{5} 4 - x^{2} d x$

Étape 1 : S'assurer que la fonction est continue sur l'intervalle d'intégration

Puisque la fonction à l'intérieur de l'intégrande est un polynôme, nous savons qu'elle est continue sur tout l'intervalle.

Étape 2 : Trouver l'antidérivée de la fonction

L'antidérivée de la fonction est

$\int 4 - x^{2} d x = 4 x - \frac{x^{3}}{3}$

Étape 3 : Appliquer le théorème fondamental du calcul

Pour appliquer la partie 2 du TCF, il suffit d'introduire $x = 5$ et $x = 0$ dans l'antidérivée et de faire la soustraction.

$\int_{0}^{5} 4 - x^{2} d x = [4 (5) - \frac{5^{3}}{3}] - [4 (0) - \frac{0^{3}}{3}] = \frac{- 65}{3}$

Le théorème fondamental du calcul - Principaux enseignements

Le théorème fondamental du calcul établit un lien entre les intégrales et les dérivées.
- Le FTC Partie 1 stipule que si la fonction f est continue sur[a, b], alors la fonction g est définie par $g (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ où $a \leq x \leq b$ est continue sur[a, b] et différentiable sur(a, b), et $g' (x) = f (x)$
- La partie 2 de la FTC stipule que si la fonction f est continue sur[a, b], alors $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ où F est l'antidérivée de f, ou une fonction telle que $F' = f$
Le théorème fondamental du calcul nous donne un moyen d'évaluer exactement les intégrales sans géométrie.

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Questions fréquemment posées en Le théorème fondamental du calcul

Qu'est-ce que le théorème fondamental du calcul?

Le théorème fondamental du calcul relie la dérivée et l'intégrale d'une fonction, établissant que l'intégrale définie d'une fonction sur un intervalle peut être calculée à l'aide de sa primitive.

Pourquoi le théorème fondamental du calcul est-il important?

Ce théorème est crucial car il permet de relier deux concepts majeurs des mathématiques: la dérivation et l'intégration, facilitant ainsi le calcul des aires et des taux de changement.

Comment appliquer le théorème fondamental du calcul?

Pour appliquer ce théorème, trouvez une primitive de la fonction intégrée, puis évaluez cette primitive aux bornes de l'intervalle d'intégration et soustrayez les résultats.

Quelle est l'intuition derrière le théorème fondamental du calcul?

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Équipe enseignants Mathématiques

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