Tables d'intégration

Méthode d'utilisation des tableaux d'intégration

L'intégration peut être une opération fastidieuse. Tu dois d'abord savoir quelle méthode d'intégration convient le mieux à une intégrale donnée. Ensuite, il y a l'opération elle-même. Qui sait, peut-être devras-tu faire plusieurs fois l'intégration par parties ! Cela prendrait beaucoup de temps et serait compliqué.

Plutôt que de passer par cette épreuve, il est plus facile d'utiliser un tableau d'intégration .

Mais comment utiliser un tableau pour intégrer une fonction ? Les tableaux d'intégration contiennent des formules résumées pour des intégrales spécifiques. Ce qui est important, c'est que tu identifies les variables et les constantes présentes dans chaque formule.

Voici un exemple rapide. Considère l'intégrale

\[ \int \sin{3x} \, \mathrm{d}x.\]

Pour résoudre cette intégrale, tu dois faire une intégration par substitution en laissant

\N- u=3x.\N]

Tu dois aussi écrire la différentielle \( \mathrm{d}x \) en termes de \( u,\) ce qui peut être fait d'abord en différenciant

\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=3,\]

en multipliant cette dérivée par \N( \Mathrm{d}x,\N)

\[ \mathrm{d}u=3\,\mathrm{d}x,\]

et en isolant \N( \Mathrm{d}x,\N) ainsi

\[\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{d}u.\]

Tu peux maintenant écrire l'intégrale originale en termes de \N(u\N) en remplaçant chaque instance de \N( x\N) par son équivalent dans \N( u,\N) et chaque instance de \N( \Nmathrm{d}x\N) par son équivalent dans \N( \Nmathrm{d}u,\N), c'est à dire

\[ \begin{align} \int \sin{3x} \, \mathrm{d}x &= \int (\sin{u})\left(\frac{1}{3}\mathrm{d}u\right) \ &= \frac{1}{3}\int \sin{u} \, \mathrm{d}u, \end{align}\N]

qui est une intégrale ayant une formule commune que tu peux vérifier dans notre article sur les intégrales trigonométriques, à savoir

\[\int \sin{u} \, \mathrm{d}u = -\cos{u} + C.\N].

Sachant cela, tu peux écrire l'intégrale

\[ \int \sin{3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3} \left( -\cos{u} + C \rright),\]

puis annule la substitution. En général, la constante d'intégration est ajoutée à la fin, donc

\[ \begin{align} \Nint \Nsin{3x}\N,\Nmathrm{d}x &= \Nfrac{1}{3} \Nà gauche( -\Ncos{3x} \Nà droite) + C \Nà droite &= -\Nfrac{1}{3}\Ncos{3x}+C. \N- [end{align}\N]

Dans l'exemple ci-dessus, en consultant un tableau d'intégration sur les fonctions trigonométriques, tu trouveras très probablement une formule du type

\[ \int \sin{ax} \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{a}\cos{ax}+C.\N}]

Dans ce cas, tu n'as pas besoin de faire de substitution, mais tu dois identifier que \N( a=3.\N)

\[ \begin{align} \int \sin{ax}\\N,\mathrm{d}x &= \frac{1}{a} \left( -\cos{ax} \Nright) + C \int \sin{3x}\N,\Nmathrm{d}x &= \frac{1}{a} \left( -\cos{ax} \Nright) + C\int \sin{3x} \N- \NMathrm{d}x &= -\frac{1}{3}\Ncos{3x}+C. \N-END{align}\N-]

L'idée principale de l'utilisation des tableaux d'intégration est d'identifier quelle intégrale du tableau a la même forme que celle que tu essayes de résoudre. L'intégrale donnée dans le tableau est déjà résolue, tu peux donc l'utiliser comme formule.

Comme il existe un grand nombre d'intégrales différentes, les tableaux d'intégration sont généralement divisés en fonction du type de fonctions impliquées. Nous allons voir ici quelques exemples des tableaux d'intégration les plus courants.

Tableaux d'intégration pour les fonctions exponentielles

L'intégration des fonctions exponentielles nécessite généralement une intégration par parties plusieurs fois. Plutôt que de faire cela, tu peux toujours regarder les tableaux d'intégration. Ceux-ci peuvent contenir certaines des formules suivantes :

\N[ \N-{align}&\Nint e^{bx}\N,\Nmathrm{d}x = \frac{1}{b}e^{bx}+C\N[0.5em] &\int a^{bx}\N- \mathrm{d}x = \frac{1}{b \ln{a}}a^{bx}+C \quad \text{ for }\quad a>0, a\neq 1 \N[0.5em] &\int xe^{bx}\N- \mathrm{d}x= \frac{e^{bx}}{b^2}(bx-1)+C\N[0.5em]&\int x^2e^{bx}\Nmathrm{d}x= e^{bx}\left( \frac{x^2}{b}-\frac{2x}{b^2}+\frac{2}{b^3}\right)+C \[0.5em]&\int xe^{bx}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2b}e^{bx^2}+C \\[0.5em]&\int xe^{-bx}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{2b}e^{-bx^2}+C\end{align}\]

Tableaux d'intégration des fonctions trigonométriques

Il peut être difficile de se souvenir de toutes les antidérivées des principales fonctions trigonométriques, sans parler de certains cas particuliers où leurs puissances interviennent également. Voici quelques-unes des formules les plus couramment utilisées que tu peux trouver dans différents tableaux d'intégration :

\[ \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \sin^2{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}(\sin{ax})(\cos{ax})+C=\frac{x}{2}-\frac{1}{4a}\sin{2ax}+C\\[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \cos{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\sin{ax}+C \\[0.5em] xml-ph-0001@deepl.internal &\int \cos^2{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}(\sin{ax})(\cos{ax})+C=\frac{x}{2}+\frac{1}{4a}\sin{2ax}+C\\[0.5em]&\int \tan{ax}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}\ln{\left| \cos{ax} \right|}+C=\frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} \n{right|}+C \n[0.5em]&\int \tan^2{ax}\,\mathrm{d}x= \frac{\tan{ax}}{a}-x+C \n[0.5em]&\int (\sin{ax})(\cos{ax})\n{mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\sin^2{ax}+C=-\frac{1}{2a}\cos^2{ax}+C\n{align}\n}]

Remarque que dans certaines des formules ci-dessus, il y a deux façons différentes d'écrire les intégrales. Elles sont reliées par des identités trigonométriques, donc l'une ou l'autre convient.

Tables d'intégration pour d'autres formules

Il existe à coup sûr une grande variété d'intégrales. Certaines peuvent impliquer une substitution trigonométrique, tandis que d'autres peuvent nécessiter une décomposition en fractions partielles. Voici quelques-unes des formules les plus courantes figurant dans les tableaux d'intégration :

\[\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin{\frac{x}{a}}+C \\[0.5em] xml-ph-0001@deepl.internal &\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C\\[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}{\,\frac{|x|}{a}}+C\\[0.5em]&\int \sqrt{x^2 \pm a^2}\,\mathrm{d}x= \frac{1}{2}x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\frac{1}{2}a^2\ln{\left| x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \Ndroite|}+C\Nend{align}\N]

Parfois, tu devras faire très attention à tes intégrales pour les réécrire comme les formules données dans un tableau.

Tableaux d'intégration pour la fonction gaussienne

Toutes les fonctions n'ont pas d'antidérivées, c'est-à-dire que tu ne pourras pas toujours trouver une "belle" fonction pour résoudre une intégrale. C'est le cas de la fonction gaussienne

\N[ f(x)= e^{-x^2}.\N]

Quelle que soit la méthode d'intégration que tu essaies d'utiliser, tu ne pourras tout simplement pas trouver son antidérivée !

La fonction ci-dessus est très importante en statistique, et l'évaluation de son intégrale définie

\N[ \Nint_0^b e^{-x^2}\N,\Nmathrm{d}x]]

devient extrêmement pertinente. Comme tu ne peux pas utiliser le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale ci-dessus, elle est évaluée numériquement à la place, et ses valeurs sont organisées dans des tableaux. Pour plus d'informations à ce sujet, consulte notre article sur la distribution normale !