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Il est temps de relier cette idée au calcul. Imagine que, plutôt que de faire tourner de l'argile dans un tour de potier, tu fasses tourner une fonction. En faisant cela, tu obtiendras ce que l'on appelle une surface de révolution. Continue à lire cet article si tu souhaites en savoir plus sur les surfaces de révolution et sur la façon de trouver leur aire.
Signification de la surface de révolution
Tu as vu qu'au moyen de l'intégration, tu peux trouver l'aire située sous une courbe décrite par une fonction. Ces formes ne sont généralement pas liées aux aires des figures géométriques, c'est pourquoi l'intégration est d'une grande aide !
L'intégration peut également être utilisée pour trouver la surface d'objets tridimensionnels aux formes extravagantes. Prends par exemple une antenne parabolique, qui est un dispositif utilisé pour les télécommunications, comme la télévision et l'Internet. La forme d'une antenne parabolique peut être obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie.
Figure 1. Une antenne parabolique a la forme de la surface de révolution obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie
Rappelle-toi que l'axe de symétrie d'une parabole est l'axe qui passe par son sommet et son foyer.
Qu'est-ce qu'une surface de révolution ?
Une surface de révolution est une surface obtenue en faisant tourner une courbe autour d'un axe fixe.
En général, tu peux obtenir des surfaces de révolution en faisant tourner n'importe quel type de fonction par rapport à n'importe quelle ligne droite. Les surfaces de révolution ont une aire, mais n'ont pas de volume, car elles sont complètement creuses.
La différence entre une surface de révolution et un solide de révolution est que le solide est rempli, il a donc un volume. C'est pourquoi un solide de révolution est également appelé volume de révolution. Pour en savoir plus, consulte notre article sur les solides de révolution !
Aire d'une surface de révolution en calcul
Comme nous l'avons déjà mentionné, tu peux obtenir une surface de révolution en faisant tourner une fonction autour d'un axe fixe. Prends l'exemple de l'antenne parabolique. Tu dois commencer par un segment de parabole, que tu dois représenter dans l'espace tridimensionnel, car sa rotation nécessitera une dimension supplémentaire.
Figure 2. Le segment d'une parabole représenté sur le plan \(xy-\)de l'espace tridimensionnel.
Maintenant que tu as un segment de courbe tracé sur le plan \(xy-\), tu dois le faire tourner autour d'un axe fixe. Cet axe est appelé axe de révolution.
Un axe de révolution est l'axe autour duquel on fait tourner une fonction pour obtenir une surface ou un solide de révolution.
En général, en calcul, l'axe de révolution est soit l'axe \(x-\)soit l'axe \(y-\)mais il peut s'agir de n'importe quelle ligne droite.
Pour revenir à l'exemple de l'antenne parabolique, tu dois faire tourner le segment de parabole autour de l'axe \(y-\)pour obtenir cette surface de révolution.
Figure 3. Rotation du segment en utilisant l'axe \(y-\)comme axe de révolution.
Ce processus produit la surface de révolution. Cette antenne parabolique est connue sous le nom de paraboloïde de révolution.
Figure 4. Un paraboloïde de révolution
Remarque que, généralement, en faisant tourner une courbe autour d'un axe différent, tu obtiendras également une surface différente. Par exemple, en faisant tourner la même courbe autour de l'axe \(x-\)à la place, tu obtiens une trompette !
Figure 5. Une trompette obtenue en faisant tourner un segment de parabole autour de l'axe \(x-\)}.
Une corne de Gabriel est une surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe
\[ f(x) = \frac{1}{x} \quad \text{for}\quad 1 \leq x\]
autour de l'axe \(x-\).
Figure 6. Une corne de Gabriel
Cette surface de révolution est impliquée dans un paradoxe intéressant. Puisque la courbe s'étend à l'infini, tu pourrais penser qu'elle a une surface infinie et que si tu la remplissais, elle aurait un volume infini.
Il s'avère que s'il est vrai que la corne de Gabriel a une surface infinie, elle a un volume fini. Le paradoxe vient du fait que cela implique que tu peux remplir le cor de Gabriel avec de la peinture, mais que tu n'auras jamais assez de peinture pour peindre sa surface !
Formule pour trouver l'aire d'une surface de révolution
Suppose que tu obtiennes une surface de révolution en faisant tourner une fonction autour de l'axe \(x-\). Tu peux trouver l'aire de cette surface de révolution en utilisant la formule suivante
\N- S = 2\pi \Nint_a^b f(x)\Nsqrt{1+f'(x)^2}\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Pour que cette formule fonctionne, tu dois supposer que la fonction est positive dans l'intervalle \N([a,b]\N), et que sa dérivée \N( f'(x)\N) existe et est continue dans le même intervalle.
La formule de l'aire d'une surface de révolution peut être utilisée pour prouver la formule de l'aire de la surface d'une sphère.
Commence par noter que tu peux obtenir une sphère de rayon R en faisant tourner la courbe
\[ f(x)=\sqrt{R^2-x^2} \quad \text{for} \quad -R\leq x \leq R\]
autour de l'axe \(x-\).
Figure 7. Une sphère de rayon R obtenue en faisant tourner \( f(x) = \sqrt{R^2-x^2}\) autour de l'axe \(x-\)}.
Pour utiliser la formule de l'aire d'une surface de révolution, tu devras trouver la dérivée \( f'(x)\). Tu peux y parvenir à l'aide de la règle de la chaîne et de la règle de la puissance, c'est-à-dire
\[ \i1}{align} f'(x) &= \frac{1}{2}\gauche(\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}\droite)(-2x) \i1} &= \frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}. \N- [end{align}\N]
La formule implique
\[\sqrt{1+\left( f'(x) \right) ^2},\]
alors élève la dérivée au carré,
\[ \left(f'(x) \right) ^2 = \frac{x^2}{R^2-x^2},\]
ajoute \N(1\N) tout en simplifiant,
\N- 1 + \Ngauche( f'(x) \Ndroite) ^2 &= 1+\Nfrac{x^2}{R^2-x^2} \N- &= \Nfrac{R^2-x^2+x^2}{R^2-x^2} \N- &= \frac{R^2}{R^2-x^2}, \Nend{align}\N]
et prend sa racine carrée,
\[ \begin{align} \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} &= \sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2}} \\N- &= \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}. \N- [end{align}\N]
Note que, lorsque tu multiplies par \N( f(x) \N), cela se simplifie, ce qui te donne
\[ \begin{align} f(x)\sqrt{1+\left( f'(x)\right)^2} &= \cancel{\sqrt{R^2-x^2}}\left(\frac{R}{\cancel{\sqrt{R^2-x^2}}}\right) \\ &= R\end{align} . \]
Cela signifie que l'intégration sera assez simple !
\[ \begin{align} A &= 2\pi \int_{-R}^R R \N,\Nmathrm{d}x \N &= 2\pi R \int_{-R}^R \Nmathrm{d}x \N &= 2\pi R\Nà gauche( R-(-R) \Nà droite) \N &= 4\pi R^2. \N- [end{align}\N]
En utilisant la formule de l'aire d'une surface de révolution, tu as obtenu la formule de l'aire de la surface d'une sphère ! Super !
Bien qu'il s'agisse d'un très bel exemple, note que les intégrales impliquées dans la recherche de l'aire d'une surface de révolution sont généralement assez compliquées, c'est pourquoi il est recommandé d'utiliser des systèmes de calcul formel (CAS) pour l'évaluation de ces intégrales.
Dérivation de la formule de l'aire d'une surface de révolution
Tout comme pour les solides de révolution et la longueur d'arc d'une courbe, la meilleure façon de calculer l'aire d'une surface de révolution commence généralement par diviser la surface entière en formes plus simples. En faisant tourner une petite partie d'une courbe, tu obtiendras une surface qui ressemble à un cône tronqué. Cette surface s'appelle un tronc de cône.
Figure 8. Fruste d'un cône obtenu en faisant tourner un petit segment de courbe.
Supposons maintenant que tu saches comment trouver la surface d'un tronc de cône. Il te suffit d'additionner la surface de tous les troncs, et tu as terminé ! La somme sera une approximation de l'aire de la surface de révolution. Comme d'habitude, en prenant la limite lorsque le nombre de troncs tend vers l'infini, tu obtiendras une correspondance exacte.
Il s'agit maintenant de trouver l'aire de la surface d'un tronc de cône. Commence par rappeler que la surface latérale d'un cône, qui sera notée \( L_S\), est donnée par
\[ L_S = \pi R s,\]
où \( R \) est le rayon de la base du cône, et \( s \) est sa hauteur oblique.
Figure 9. Dimensions d'un cône
Pour construire le tronc de cône, il te suffit d'enlever la pointe du cône. La surface du tronc de cône, que l'on appellera \(A_f\) devient alors
\[ A_f=\pi R s - \pi r (s-\ell),\]
où \( r \N) est le rayon de la pointe du cône, et \N( s-\Nell \N) est sa hauteur oblique.
Figure 10. Dimensions d'un tronc d'arbre
Cette fois, tu peux relier \(\ell\) au même segment que celui que tu utiliserais pour trouver la longueur de l'arc d'une courbe, et les rayons du tronc peuvent être trouvés en évaluant la fonction à deux valeurs consécutives, comme le montre la figure suivante.
Figure 11. Dimensions du tronc en fonction de la fonction \(f(x)\)
Tout ce qu'il reste à savoir, c'est \N( s \N). On peut le trouver avec un peu d'algèbre et des triangles similaires, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \frac{r}{R} &= \frac{s-\ell}{s} \ rs &= Rs-R\ell \ rs-Rs &= -R\ell \ s(R-r) &=R\ell \ s &= \frac{R\ell}{R-r}. \N-{align}\N]
Grâce à cela, il est possible d'écrire et de simplifier l'expression de l'aire d'un tronc d'arbre, de sorte que
\[ \begin{align} A_f &= \pi R s - \pi r (s-\ell) \\pi &= \pi (Rs-rs+r\ell). \n-{align} \]
Maintenant, remplace l'expression que tu viens de trouver par \N(s\N), c'est à dire
\[ \begin{align} A_f &= \pi \left( R\frac{R\ell}{R-r}-r\frac{R\ell}{R-r}+r\ell \right) \\\\N &= \pi \left( \frac{R^2\ell}{R-r}-\frac{Rr\ell}{R-r} +r\ellright) \N &= \pi\ell \left( \frac{R^2-Rr+Rr-r^2}{R-r}\right) \\\N &= \pi\ell \left( \frac{R^2-r^2}{R-r} \rright). \N- [end{align}\N]
L'expression peut être encore simplifiée en factorisant la différence des carrés, donc
\[ \begin{align} A_f &= \pi\ell\left( \frac{(R+r)\cancel{(R-r)}}{\cancel{R-r}}\right) \N &= \pi\ell(R+r). \N- [\N-]
Tu peux maintenant utiliser l'expression ci-dessus pour l'aire du tronc de cône et l'écrire en termes de quantités liées à \( f(x)\N), c'est-à-dire
\[ A_{f_i} = \pi\left[ f(x_{i-1})+f(x_i) \right] \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},\]
que tu peux réécrire comme
\[ A_{f_i} = \pi \left[ f(x_{i-1})+f(x_i) \right] \Delta x\sqrt{1+\left( \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)},\]
où l'indice \(i \) a été ajouté pour indiquer qu'il s'agit du \(i^{th}\) morceau de la surface entière. Tu peux maintenant utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour réécrire
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
en termes de dérivée de \( f\N), donc
\[ A_{f_i} = \pi \left[ f(x_{i-1})+f(x_i) \right] \Delta x \sqrt{1+\left(f'(x_i^*\right)^2},\]
où \N( x_i^*\N) est une valeur comprise entre \N(x_{i-1}\N) et \N(x_i\N).
En additionnant tous les troncs d'arbre, tu obtiens une approximation de l'aire de la surface de révolution, c'est-à-dire
\[ A \approx \sum_{i=1}^N \pi \left[ f(x_{i-1})+f(x_i) \right] \Delta x \sqrt{1+\left(f'(x_i^*\right)^2}. \]
Prends maintenant la limite lorsque \N( N \N) va à l'infini, ce qui va :
- Transforme la somme, \N( \NSigma \N), en une intégrale, \N( \Nint\N).
- Les valeurs \( x_{i-1}\), \( x_i\), et \( x_i^*\) s'additionnent, donc elles coïncident toutes, donc elles seront juste \(x\).
- Cela implique que \N f(x_{i-1}) + f(x_i) = 2f(x) \N).
- Transforme la longueur de l'intervalle, \N(\NDelta x\N), en une différentielle, \N( \Nmathrm{d}x\N).
- Tu obtiendras une correspondance exacte de la surface.
Tu obtiens ainsi la formule de l'aire d'une surface de révolution, qui est la suivante
\[ A = 2 \pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\i gauche(f'(x)\i droite)^2}\N,\rmathrm{d}x.\N]
Aire d'une surface de révolution Exemples
Voici quelques exemples pour trouver l'aire d'une surface de révolution.
Trouve l'aire de la surface de révolution obtenue en faisant tourner
\[ f(x) = \frac{1}{3}x^3 \quad \text{for} \quad 0\leq x \leq 1\]
autour de l'axe \(x-\).
Solution :
Tu dois commencer par trouver la dérivée de f(x) à l'aide de la règle de puissance, ce qui te donnera
\N[ f'(x)= x^2.\N]
Ensuite, tu devras élever au carré la dérivée ci-dessus, l'ajouter à \(1\), et prendre sa racine carrée. C'est-à-dire
\[ \begin{align} \sqrt{1+(f'(x))^2} &= \sqrt{1 + (x^2)^2} \\N- &= \sqrt{1+x^4}. \N- [end{align}\N]
L'aire de la surface de révolution est donnée par
\[ \begin{align} A &= 2\pi \int_0^1 \frac{1}{3}x^3\sqrt{1+x^4},\mathrm{d}x \\N &= \frac{2\pi}{3} \int_0^1 x^3 \sqrt{1+x^4}\,\mathrm{d}x. \N-END{align}\N-]
Puisque \( x^3\) est proportionnel à la dérivée de \(x^4\), tu peux utiliser l'intégration par substitution en laissant
\N[ u=x^4,\N]
donc
\N- [\Nmathrm{d}u = 4x^3 \Nmathrm{d}x.\N]
De cette façon, tu peux d'abord évaluer l'intégrale indéfinie
\[ \begin{align} \int x^3\sqrt{1+x^4}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{4} \int \sqrt{1+u}\\N- \mathrm{d}u \N- &= \frac{1}{4} \int (1+u)^{^1/_2} \N, \Nmathrm{d}u \Nend{align}\N]
à l'aide de la règle de puissance, en obtenant
\[ \begin{align} \int x^3\sqrt{1+x^4}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{4}\gauche(\frac{2}{3}(1+u)^{^3/_2}\droite) \n &= \frac{1}{6}(1+x^4)^{^3/_2}. \N- [end{align}\N]
Enfin, utilise le résultat ci-dessus pour évaluer l'intégrale définie et la simplifier, c'est-à-dire
\[ \begin{align} A &= 2\pi\left[\frac{1}{6}(1+(1)^4)^{^3/_2}-\frac{1}{6}(1+(0)^4)^{^3/_2} \right] \pi}{3}(2^{^3/_2}-1) \pi}{3}(2\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{3}, \end{align}\]
et tu peux utiliser une calculatrice pour trouver la valeur numérique de l'expression ci-dessus, qui est
\N[ A \Napprox 1.914724 \N, \N, \Ntext{square units.}\N]]
Parfois, tu auras besoin de l'aide d'un CAS pour évaluer les intégrales !
Trouve l'aire de la surface de révolution obtenue en tournant
\[ g(x) = x^2 \quad \text{for} \quad 1 \leq x \leq 3\]
autour de l'axe \(x-\).
Solution :
Tu pourrais penser qu'étant donné que la fonction est d'un degré inférieur, il sera plus facile de trouver la surface de révolution concernée. Malheureusement, ce n'est pas le cas. Comme d'habitude, commence par trouver la dérivée de la fonction, qui est
\N- g'(x)=2x.\N- g'(x)=2x.\N]
Tu dois maintenant l'élever au carré, l'ajouter à \(1\), et prendre sa racine carrée, ce qui te donne
\[ \begin{align} \sqrt{1+(g'(x))^2} &= \sqrt{1+(2x)^2} \\N- &= \sqrt{1+4x^2}. \N- [end{align}\N]
Cela signifie que l'aire de la surface de révolution est donnée par
\[ A = 2\pi\int_1^3 x^2\sqrt{1+4x^2}\N,\Nmathrm{d}x.\N]
L'évaluation de l'intégrale
\[ \Nint_1^3 x^2\Nsqrt{1+4x^2}\N,\Nmathrm{d}x]\N]
implique des fonctions hyperboliques inverses, il est donc préférable d'utiliser un système de calcul formel pour l'évaluer. Tu obtiendras ainsi
\N[ \Nint_1^3 x^2\Nsqrt{1+4x^2}\N,\Nmathrm{d}x \Napprox 40.984,\N]].
Tu peux donc introduire cette valeur dans l'aire de la surface de révolution et obtenir
\[ \begin{align} A &= 2\pi \int_1^3 x^2\sqrt{1+4x^2},\mathrm{d}x \\N &\Napprox 257.51\N, \Ntext{square units.} \N-END{align}\N-]
Surface de révolution - Principaux enseignements
- Une surface de révolution est une surface obtenue en faisant tourner une courbe autour d'un axe fixe.
- Les surfaces de révolution n'ont pas de volume, car elles sont complètement creuses.
- Un axe de révolution est l'axe autour duquel on fait tourner une fonction pour obtenir une surface ou un solide de révolution.
- Tu peux obtenir différentes surfaces de révolution à partir d'une même courbe en la faisant tourner autour de différents axes de révolution.
- La formule pour trouver l'aire d'une surface de révolution est donnée par\N[ S = 2\pi \Nint_a^b f(x)\Nsqrt{1+f'(x)^2}\N,\Nmathrm{d}x.\N].
- En général, l'intégrale définie impliquée dans ce calcul est assez complexe, c'est pourquoi l'utilisation d'un système de calcul formel est fortement conseillée.
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