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\[ \Nint \sqrt{x^2+9} \mathrm{d}x.\N]
Si cette intégrale était
\[ \int x\sqrt{x^2+9} \mathrm{d}x,\]
tu pourrais l'évaluer en utilisant la substitution \(u\). Tout ce que tu as à faire, c'est de définir \(u=x^2+9\) et \( \mathrm{d}u=2x dx\). Tu pourrais alors écrire
\[ \int x\sqrt{x^2+9} \mathrm{d}x=\int \dfrac{1}{2}\sqrt{u} \mathrm{d}u,\]
que nous savons intégrer. Cependant, sans le \(x\) à l'extérieur de la racine carrée, cette astuce ne fonctionne pas. Au lieu de cela, nous devrons utiliser la substitution trigonométrique, une technique utilisée pour les intégrales avec ces formes problématiques.
Définition de la substitution trigonométrique
Lasubstitution trigonométrique est une application de la règle de substitution inverse utilisée pour évaluer les intégrales contenant des expressions de la forme \[\sqrt{x^2+a^2},\quad \sqrt{a^2-x^2},\quad \text{and} \quad \sqrt{x^2-a^2}.\] Il s'agit de remplacer \(x\) par une fonction trigonométrique, ce qui permet de réécrire ces expressions problématiques à l'aide d'identités trigonométriques.
La substitution trigonométrique est une forme "inverse" de la substitution de \(u\) pour certains types d'intégrales. Lorsque nous effectuons la substitution \(u\)-, nous utilisons la règle de substitution.
La règle de substitution stipule que, compte tenu d'une fonction intégrable (f) et d'une fonction différentiable (g),
\[ \int f(g(x))g'(x) \mathrm{d}x=\left. \int f(u)\mathrm{d}u\right|_{u=g(x)},\]
où \n-(\n-) gauche. \int f(u)\mathrm{d}u\rright|_{u=g(x)}) signifie "évaluer l'intégrale \( \int f(u)\mathrm{d}u\r), puis remplacer \(u\r) par \r(g(x)\r).
Pour les intégrales définies, la règle de substitution est la suivante
\[ \int_a^b f(g(x)) \mathrm{d}x= \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\mathrm{d}u.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Lorsque nous utilisons la règle de substitution, nous remplaçons une expression en termes de \(x\N) par une variable \N(u=g(x)\N) afin de faciliter l'évaluation de notre intégrale. Pour plus d'informations sur la règle de substitution, consulte l'article Intégration par substitution.
La règle de substitution inverse est la règle de substitution "à l'envers".
La règle de substitution inverse stipule que, étant donné une fonction intégrable \N( f\N) et une fonction différentiable et univoque \N( g\N),
\[\Nint f(x)\Nmathrm{d}x=\Ngauche. \int f(g(\theta))g'(\theta)\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=g^{-1}(x)}.\]
Ici, \N( \Ngauche). \int f(g(\theta))g'(\theta)\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=g^{-1}(x)}\) signifie "intégrer \( \int f(g(\theta))g'(\theta)\mathrm{d}\theta\), puis remplacer \( \theta \) par \( g^{-1}(x)\)".
Pour les intégrales définies, la règle de substitution inverse est la suivante
\N[\Nint_a^b f(x)\Nmathrm{d}x=\Ngauche. \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(\theta))g'(\theta)\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=g^{-1}(x)}.\]
En d'autres termes, lorsque nous utilisons la règle de substitution inverse, au lieu de remplacer une expression en termes de \(x\N) par une variable \N(u\N), nous remplaçons \N(x\N) par une fonction \N(g(\Ntheta)\N).
Disons que nous travaillons avec l'intégrale
\[\Nint x\Nmathrm{d}x.\N]
Nous pouvons évaluer cette intégrale comme suit,
\[\Nint x\Nmathrm{d}x = \Ndfrac{1}{2}x^2+C\N].
Nous pourrions utiliser la règle de substitution inverse sur cette intégrale en fixant \(x=\theta^3\), \(\mathrm{d}x=3\theta^2\mathrm{d}\theta\), et \(\theta=\sqrt[3]{x}\). Cela nous donne l'intégrale
\[ \int x\mathrm{d}x = \left.\int \theta^3(3\theta^2)\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=\sqrt[3]{x}}=\left.\int 3\theta^5\mathrm{d}\theta\rright|_{\theta=\sqrt[3]{x}}.\]
En évaluant cette intégrale, on obtient
\[\left.\int 3\theta^5\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=\sqrt[3]{x}}=\left.\dfrac{3}{6}\theta^6+C\right|_{\theta=\sqrt[3]{x}}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}\right)^6+C=\dfrac{1}{2}x^2+C.\]
Bien sûr, dans ce cas, la substitution inverse n'est pas quelque chose que tu voudrais faire. Cependant, comme le montre cet exemple, la règle de substitution inverse donnera toujours la même solution que les autres méthodes d'intégration.
Cela peut sembler plutôt contre-intuitif ; après tout, remplacer \(x\) par une fonction semble rendre notre intégrale encore plus compliquée qu'elle ne l'est déjà.
Cependant, comme nous allons le voir avec la substitution trigonométrique, cette technique peut en fait simplifier radicalement certains types d'intégrales.
La substitution trigonométrique est la forme la plus courante de substitution inverse. Il s'agit simplement d'une substitution inverse où \(x\) est remplacé par une fonction trigonométrique.
Une chose importante à noter lors de l'application de la règle de substitution inverse est que la fonction \(g(\theta)\) doit être biunivoque. Cela signifie simplement que si \(g(a)=g(b)\), alors \(a=b\).
La fonction \(f(x)=x^2\) n'est pas biunivoque, puisque \(f(2)=2^2=4\) et \(f(-2)=(-2)^2=4\), mais \(2\neq-2\). Graphiquement, cela signifie que nous pouvons tracer une ligne horizontale qui coupe le graphique de \(f(x)\) en deux points différents.
Fig. 1. Exemple de fonction qui n'est pas biunivoque.
En revanche, la fonction \(g(x)=x^3\) est biunivoque, car si \(a^3=b^3\), alors \(a=b\). Graphiquement, cela signifie qu'il n'existe pas de ligne horizontale qui coupe le graphique de \(g(x)\) en deux points différents.
Fig. 2. Exemple de fonction univoque.
Il est essentiel de se souvenir de cette condition, en particulier pour les intégrales définies. Sinon, nous risquons de rencontrer des problèmes lorsque nous remplacerons \N(\Ntheta\N) par \N(g^{-1}(x)\N). Si \N-(g\N) n'est pas biunivoque, alors il existe \N-(a\N) et \N-(b\N) tels que \N-(g(a)=g(b)=c\N), mais \N-(a\Nneq b\N). En général, \N(g^{-1}(c)\N) est défini comme le nombre que nous ajoutons à \N(g\N) pour obtenir \N(c\N). Cependant, comme \N-(a\N) et \N-(b\N) peuvent être branchés sur \N-(g\N) pour obtenir \N-(c\N), nous devons choisir entre \N-(g^{-1}(c)=a\N et \N-(g^{-1}(c)=b\N). Si nous nous trompons, notre intégrale substituée peut ne pas être équivalente à notre intégrale d'origine.
Disons qu'une fois de plus, nous essayons d'évaluer l'intégrale
\[\Nint x\Nmathrm{d}x.\N]
Bien sûr, nous savons que cette intégrale est
\[\Nint x\Nmathrm{d}x = \dfrac{1}{2}x^2+C.\N]
Mais pour rendre notre intégrale aussi simple que possible, nous décidons de faire la substitution \(x=g(\theta)=0\), \(\mathrm{d}x=0\mathrm{d}\theta\). Cette fonction n'est nulle part univoque. Par exemple, elle fait correspondre \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{17}\) et \(3\) à \(0\), même si \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{17}\neq 3\).
\N- [\Nint x\Nmathrm{d}x = \Ngauche. \int 0\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=g^{-1}(x)} = \left. C\right|_{\theta=g^{-1}(x)}= C,\]
où C est une constante. Cette réponse est différente de celle que nous avons obtenue plus haut. Qu'est-ce qui ne va pas ?
Le problème avec cette substitution est que \N(g^{-1}(x)\N) n'existe pas en réalité, puisque \N(g\N) n'est pas biunivoque. Si \N- x\N n'est pas nul, alors il n'y a pas de nombre \N- c\N tel que la fonction \N- g\N- associe \N- c\Nà \N- x\N. Si \N-(x\N) est zéro, alors \N-(g\N) fait correspondre tous les nombres réels à \N-(x\N), et il n'y a pas de moyen clair de décider ce que \N-(g^{-1}(x)\Ndevrait être. Bien que nous puissions effectuer la substitution \(x=g(\theta)=0\), nous ne pouvons pas l'annuler. Pour que la règle de substitution fonctionne, nous devons pouvoir annuler la substitution. Sinon, comme dans cet exemple, nous risquons d'obtenir une intégrale différente de l'originale.
Tableau de substitution trigonométrique
Il existe trois cas généraux dans lesquels la substitution trigonométrique est utile, et il existe une formule donnant la substitution correcte dans chaque cas. En général, la substitution trigonométrique peut être utile lorsque l'intégrale contient une expression de la forme \(\sqrt{x^2+a^2}\), \(\sqrt{a^2-x^2}\), et \(\sqrt{x^2-a^2}\). Le tableau suivant résume tous les cas dans lesquels nous utilisons généralement la substitution trigonométrique.
| Terme de l'intégrale avant la substitution | Substitution pour \(x\) | Substitution pour \(dx\) | Intervalle \N(\Ntheta\N) | Terme de l'intégrale après substitution |
| \(\sqrt{a^2-x^2}\) | \N(x=a\Nsin(\Ntheta)\N) | \(\mathrm{d}x=a\cos(\theta)\mathrm{d}\theta\) | \(\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\) | \(|a\cos(\theta)|\N- \N- \N- \N- \N- \N(\N- \N) |
| \N- \N(\Nsqrt{x^2+a^2}\N)\N(\Nsqrt{x^2+a^2}\N) | \N(x=a\Ntan(\Ntheta)\N) | \(\mathrm{d}x=a\sec^2(\theta)\mathrm{d}\theta\) | \(\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\) | \N(|a\sec(\Ntheta)|\N) |
| \N- \N(\Nsqrt{x^2-a^2}\N)\N(\Nsqrt{x^2-a^2}\N) | \N- (x=a\sec(\theta)\N) | \(\mathrm{d}x=a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta\) | \(\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\), \(\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right]\), or \(\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right)\) | \N(|a\tan(\Ntheta)|\N) |
Parfois, ces substitutions sont utiles même lorsqu'il n'y a pas de racines carrées.
Tu te demandes peut-être à ce stade pourquoi nous sommes autorisés à substituer des fonctions trigonométriques à \(x\). Après tout, il ne s'agit pas typiquement de fonctions univoques.
Fig. 3. Une fonction trigonométrique qui n'est pas biunivoque.
C'est pourquoi, lorsque nous effectuons une substitution trigonométrique, nous contraignons les valeurs thêta que nous utilisons. Si les fonctions trigonométriques ne sont généralement pas biunivoques sur l'ensemble de la ligne réelle, elles le sont souvent sur des intervalles spécifiques. Nous énumérons les intervalles sur lesquels nos substitutions trigonométriques sont biunivoques dans la colonne "intervalle thêta" du tableau ci-dessus.
Tu t'interroges peut-être aussi sur les barres de valeur absolue dans la dernière colonne. Lorsque nous trouvons des intégrales indéfinies, nous pouvons toujours, en pratique, choisir nos intervalles thêta de façon à ce que nous puissions laisser tomber les barres de valeur absolue. Cependant, lorsque nous trouvons des intégrales définies et, en particulier, lorsque nous travaillons avec \(|a\tan(\theta)|\), nous devons être prudents. Dans certains cas, les barres de valeur absolue ne peuvent pas être supprimées du tout.
Au lieu ou en plus des cas énumérés dans le tableau ci-dessus, nous pouvons parfois utiliser les fonctions trigonométriques hyperboliques \(\sinh\), \(\cosh\), et \(\tanh\) pour les intégrales de cette forme. Ces fonctions satisfont aux équations suivantes,
\[ \begin{align} \cosh^2(x)-\sinh^2(x)&=1 \\circ;\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sinh(x)&=\cosh(x) \\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cosh(x)&=\sinh(x)\end{align}\]
En particulier, nous pouvons utiliser \(\sinh\) à la place de la tangente et \(\cosh\) à la place de la sécante dans les substitutions trigonométriques.
Résolution d'intégrales à l'aide de la substitution trigonométrique
Pour résoudre une intégrale à l'aide d'une substitution trigonométrique, les étapes suivantes peuvent être utiles.
- Identifie lesquels des trois termes du tableau ci-dessus apparaissent dans l'intégrale.
- Réécris l'équation si nécessaire pour lui donner la forme correcte.
- La complétion du carré et la substitution \(u\) peuvent toutes deux être utiles à cette étape.
- Remplace \(x\) et \(\mathrm{d}x\) par les substitutions trigonométriques correspondantes. Simplifie.
- Lorsque tu travailles avec des intégrales définies, fais attention aux signes de valeur absolue.
- Intégrer.
- Écris la solution.
- Si tu travailles avec une intégrale définie, évalue-la.
- Si tu travailles avec une intégrale indéfinie, écris la solution en termes de \(x\).
Examinons ce processus, en commençant par un examen plus approfondi des trois cas différents dans lesquels nous utilisons généralement la substitution trigonométrique.
Formules de substitution trigonométrique
Intégrales avec \(\sqrt{a^2-x^2}\)
Si une intégrale contient un terme de la forme \(\sqrt{a^2-x^2}\), nous utilisons généralement les substitutions \(x=a\sin(\theta)\) et \(\mathrm{d}x=a\cos(\theta)\mathrm{d}\theta\), où \(a\) est positif.
Ici, à moins que des limites d'intégration ne soient spécifiées, nous supposons que \(\theta\) est sur l'intervalle \(-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\). Nous utilisons ces limites car \(a\sin(\theta)\) est biunivoque sur \(\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N). Il est possible d'utiliser n'importe quel intervalle sur lequel \(\sin(\theta)\) est d'un seul tenant, mais, comme nous le verrons, cet intervalle a tendance à être particulièrement pratique.
Pourquoi cette substitution en particulier ? En remplaçant \(a\sin(\theta)\) par \(x\), \(\sqrt{a^2-x^2}\) devient
\[ \sqrt{a^2-(a\sin(\theta))^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{a^2(1-\sin^2(\theta))}.\]
En utilisant l'identité \(1-\sin^2(\theta)=\cos^2(\theta)\), cette expression devient
\[\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}=|a\cos(\theta)|.\]
Puisque \(a\) est supposé être positif et que \(\cos(\theta)\) est positif sur l'intervalle \(-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\) (c'est pourquoi cet intervalle est particulièrement pratique !), \(|a\cos(\theta)|=a\cos(\theta)\). Cette expression est souvent plus facile à intégrer que \(\sqrt{a^2-x^2}\).
Si tu fais une intégrale définie, vérifie bien que tes bornes d'intégration se trouvent dans cette plage de valeurs de thêta. Si ce n'est pas le cas, il se peut que tu ne puisses pas abandonner les barres de valeur absolue.
Réécrivons l'intégrale suivante à l'aide d'une substitution de la forme \(x=a\sin(\theta)\).
\[\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}\mathrm{d}x.\]
Cette intégrale contient une expression de la forme \(\sqrt{a^2-x^2}\) où \(a^2=9\). Puisque \N-(a\N) doit être positif, nous fixons \N-(a=3\N) et effectuons la substitution \N-(x=3\Nsin(\Ntheta)\N). Si \(x=3\sin(\theta)\), alors \(\mathrm{d}x=3\cos(\theta)\mathrm{d}\theta\), notre intégrale devient,
\[\begin{align} \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{(3\sin(\theta))^2}{\sqrt{9-(3\sin(\theta))^2}(3\cos(\theta))\mathrm{d}\theta &\Nous avons donc une intégrale.= \int \dfrac{27\sin^2(\theta)\cos(\theta)}{3\cos(\theta)}\mathrm{d}\theta \ &= \int 9\sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta\end{align}\]
Intégrales avec \(\sqrt{x^2+a^2}\)
Si une intégrale contient un terme de la forme \N(\Nsqrt{x^2+a^2}\N), nous utilisons généralement les substitutions \N(x=a\Ntan(\Ntheta)\Net \N(\Nmathrm{d}x=a\Nsec^2(\Ntheta)\Nmathrm{d}\Ntheta\N), où \(a\) est positif et \(-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\). En utilisant cette substitution, nous obtenons l'expression,
\[\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{(a\tan(\theta))^2+a^2}=\sqrt{a^2(\tan^2(\theta)+1)}.\]
Puisque \(\tan^2(\theta)+1=\sec^2(\theta)\), nous pouvons écrire
\[\sqrt{a^2(\tan^2(\theta)+1)}=\sqrt{a^2\sec^2(\theta)}=|a\sec(\theta)|.\]
Puisque \N(a\N)est positif et que \N(\Nsec(\Ntheta)\Nest également positif sur l'intervalle \N(-\tfrac{\pi}{2}\Nle\Ntheta\Nle\Ntfrac{\Npi}{2}\N), \N( |a\sec(\Ntheta)|=a\sec(\Ntheta)\N)\N). C'est souvent beaucoup plus facile à intégrer que notre expression originale.
Réécrivons l'intégrale \(\int \sqrt{x^2+9}\mathrm{d}x\) en utilisant une substitution de la forme \(x=a\tan(\theta)\).
Cette intégrale contient une expression de la forme \N(\Nsqrt{x^2+a^2}\N), où \N(a^2=9\N). Comme nous voulons que \(a\) soit positif, nous fixons \(a=3\). Les substitutions que nous voulons faire sont donc : \N(x=3\tan(\theta)\N), \N(\mathrm{d}x=3\sec^2(\theta)\Nmathrm{d}\theta\N). En introduisant ces substitutions dans l'intégrale, on obtient ,
\[\begin{align} \int \sqrt{x^2+9}\mathrm{d}x &= \int \sqrt{9\tan^2(\theta)+9}(3\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta &= 3\int \sqrt{9(\tan^2(\theta)+1)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta &= 9\int \sqrt{9(\tan^2(\theta)+1)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta & = 9\int \sqrt{9(\tan^2(\theta)+9}(\mathrm{d}\theta)= 9\int \sqrt{\sec^2(\theta)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta \\N &= 9\int \sec^3(\theta)\mathrm{d}\theta \Nend{align}\N]
Intégrales avec \(\sqrt{x^2-a^2}\)
Enfin, lorsqu'une intégrale contient une expression de la forme \(\sqrt{x^2-a^2}\), nous utilisons généralement les substitutions \(x=a\sec(\theta)\) et \(\mathrm{d}x=a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta\), où \(a\) est positif.
Il n'existe pas de conventions universelles concernant les valeurs de \(\theta\) à utiliser, mais chacun des intervalles suivants est couramment utilisé. Si nos bornes d'intégration sont toutes deux positives, nous pouvons laisser \(0\le\theta<\tfrac{\pi}{2}\). Cependant, si l'une de nos bornes d'intégration est négative, nous ne pouvons pas utiliser cet intervalle. En effet, la sécante est positive sur cet intervalle, donc si nous essayons de remplacer \(x\N) par la sécante, nous remplacerons une expression parfois négative par quelque chose qui ne peut être que positif. Cela ne fonctionne pas.
Fig. 4. Un intervalle thêta possible pour la sécante.
Pour résoudre ce problème, si nos bornes d'intégration sont toutes deux négatives, nous pouvons utiliser l'intervalle \(\tfrac{\pi}{2}<\theta\le\pi\), puisque la sécante est négative sur cette intégrale.
Fig. 5. Autre intervalle thêta possible pour la sécante.
Si l'une de nos bornes d'intégration est positive et l'autre négative, nous pouvons utiliser les valeurs \(\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\Ndroite)\cup\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\Ndroite)\N). Si nous travaillons avec une intégrale indéfinie et que nous n'avons donc pas de limites d'intégration, nous pouvons travailler avec n'importe lequel de ces ensembles de valeurs thêta.
Fig. 6. Un troisième intervalle thêta possible pour la sécante.
Par souci de simplicité, nous utiliserons par défaut \(\theta\in\gauche[0,\tfrac{\pi}{2}\droite)\cup\gauche[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\droite)\), en particulier pour les intégrales indéfinies. En pratique, tu peux utiliser n'importe lequel de ces ensembles de valeurs thêta avec lequel tu te sens le plus à l'aise. Si tu choisis de ne pas utiliser \N(\Ntheta\Nin\Nà gauche [0,\tfrac{\pi}{2}\Ndroite)\Ncup\Nà gauche [\pi,\tfrac{3\pi}{2}\Ndroite)\N), assure-toi simplement de vérifier tes limites d'intégration.
En utilisant cette substitution, nous obtenons l'expression
\[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{(a\sec(\theta))^2-a^2}=\sqrt{a^2(\sec^2(\theta)-1)}.\]
En utilisant l'identité \(\sec^2(\theta)-1=\tan^2(\theta)\), cela devient
\[\sqrt{a^2(\sec^2(\theta)-1)}=\sqrt{a^2\tan^2(\theta)}=|a\tan(\theta)|.\]
Si \(0\le\theta<)\tfrac{\pi}{2}\) or \(\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right)\), then, comme \N(a\N)est positif et que \N(\Ntan(\Ntheta)\Nest également positif sur ces deux ensembles, \N(|a\tan(\Ntheta)|=a\tan(\Ntheta)\N). Sinon, si \(\tfrac{\pi}{2}<\theta\le\pi\), alors \(|a\tan(\theta)|=-a\tan(\theta)\). Dans les deux cas, cette expression est souvent plus facile à intégrer que \(\sqrt{x^2-a^2}\).
Réécrivons l'intégrale suivante en utilisant une substitution de la forme \N(x=a\Sec(\Ntheta)\N).
\[\int \dfrac{\sqrt{x^2-25}}{x}\mathrm{d}x.\]
Dans ce cas, nous fixons \N(a=5\N) et effectuons la substitution \N(x=5\Nsec(\Ntheta)\N), \(\mathrm{d}x=5\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta\) over the range \(\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right)\):
\[\begin{align} \int \dfrac{\sqrt{x^2-25}}{x}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{\sqrt{(5\sec(\theta))^2-25}{5\sec(\theta)}5\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta &\nbsp;= \int \dfrac{\sqrt{(5\sec(\theta))^2-25}{5\sec(\theta)}5\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta &= \int \sqrt{25(\sec^2(\theta)-1)}\tan(\theta)\mathrm{d}\theta &= 5 \int |\tan(\theta)|\tan(\theta)\mathrm{d}\theta \rtan^2(\theta)\mathrm{d}\theta &= 5 \int \tan^2(\theta)\mathrm{d}\theta\end{align}\N-]
Exemples d'intégration avec substitution trigonométrique
Rassemblons toutes les étapes ci-dessus pour évaluer quelques intégrales à l'aide de la substitution trigonométrique.
Les intégrales dont les termes sont similaires, mais pas identiques à l'une des trois formes données ci-dessus, peuvent souvent être résolues à l'aide de la substitution trigonométrique. L'astuce consiste à utiliser la substitution \(u\) pour transformer l'intégrale en une forme familière. Prenons un exemple combinant la substitution \(u\)- et la substitution trigonométrique.
Évaluons l'intégrale suivante en utilisant la substitution trigonométrique,
\[\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-4x^2}}\mathrm{d}x.\]
Tout d'abord, nous devons décider de la substitution à utiliser. Bien que l'intégrale ne contienne rien qui ressemble exactement à l'une des trois formes générales énumérées ci-dessus, elle contient le terme \(\sqrt{9-4x^2}\), qui ressemble à la forme \(\sqrt{a^2-x^2}\). Essayons donc d'utiliser la substitution \(x=a\sin(\theta)\).
Notre première étape consiste à réécrire l'équation pour qu'elle ressemble davantage à \(\sqrt{a^2-x^2}\). Pour ce faire, nous commençons par faire une substitution de \N(u) pour nous débarrasser de \N(4) dans le terme \N(4x^2). En fixant \(u=2x\) de sorte que \(\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x\) et \(\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\mathrm{d}u\), nous obtenons l'intégrale suivante
\[\begin{align} \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-4x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{\left(\dfrac{u}{2}\right)^2}{\sqrt{9-4\left(\dfrac{u}{2}\right)^2}\dfrac{1}{2}\mathrm{d}u \\ &= \dfrac{1}{8}\int \dfrac{u^2}{\sqrt{9-u^2}\mathrm{d}u \end{align}\]
Maintenant que nous avons un terme de la forme \(\sqrt{a^2-u^2}\), nous pouvons faire la substitution \(u=a\sin(\theta)\) et \(\mathrm{d}u=a\cos(\theta)\mathrm{d}\theta\). Dans ce cas, nous voulons faire la substitution \N(u=3\sin(\theta)\Net \N(\mathrm{d}u=3\cos(\theta)\mathrm{d}\theta\N)et \N(\Mathrm{d}u=3\cos(\theta)\mathrm{d}\N). Nous avons trouvé la forme substituée de cette intégrale dans la section Intégrales avec \( a^2-x^2\). Il s'agit de :
\N- [\N- Début{alignement} \dfrac{1}{8}\int \dfrac{u^2}{\sqrt{9-u^2}\mathrm{d}u &= \dfrac{1}{8}\int 9\sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta \ &= \dfrac{9}{8}\int \sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta \end{align}\]
Pour calculer cette intégrale, nous la réécrivons d'abord en utilisant l'identité \(\sin^2(\theta)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta))\). (Cette identité peut être dérivée de la formule du double angle pour le cosinus). En procédant ainsi, on obtient l'expression
\[ \dfrac{9}{8}\int \sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta = \dfrac{9}{8}\int \dfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta))\mathrm{d}\theta = \dfrac{9}{16}\int 1-\cos(2\theta)\mathrm{d}\theta.\Nous devons utiliser un autre \(u) pour calculer le cosinus.
Nous devons utiliser une autre substitution \(u\)- pour nous débarrasser du terme \( 2\theta\). Puisque nous avons déjà utilisé la variable \N(u\N), mettons \N(v=2\Ntheta\N), \N(\Nmathrm{d}v=2\Nmathrm{d}\Ntheta\N). En substituant, on obtient
\[ \dfrac{9}{16}\int 1-\cos(2\theta)\mathrm{d}\theta = \dfrac{9}{16}\int (1-\cos(v))\dfrac{1}{2}\mathrm{d}v = \dfrac{9}{32}\int 1-\cos(v)\mathrm{d}v.\]
En évaluant cette intégrale, on obtient que
\[\dfrac{9}{32}\int 1-\cos(v)\mathrm{d}v = \dfrac{9}{32}(v-\sin(v))+C\]
Comme nous travaillons avec une intégrale indéfinie, notre dernière étape consiste à exprimer notre résultat en termes de \(x\). Nous avons fait pas mal de substitutions pour arriver à ce point ; pour résumer, nous avons :
- Fixe \(u=2x\),
- Fixons \N(u=3\sin(\theta)\N),
- Fixons \N(v=2\Ntheta\N).
Pour réécrire la solution en termes de \(x\), nous devons travailler à rebours à travers chacune de ces substitutions.
Tout d'abord, puisque nous avons fixé \(v=2\theta\), nous pouvons écrire
\[\dfrac{9}{32}(v-\sin(v))+C=\dfrac{9}{32}(2\theta-\sin(2\theta))+C,\]
en annulant la dernière étape de substitution.
Puisque nous avons remplacé \(u\) par \(\theta\), nous devons trouver comment remplacer \(\theta\) par \(u\). Rappelons que nous avons défini \(u=3\sin(\theta)\), il peut donc être utile de tout réécrire en termes de \(\theta\) en utilisant l'identité \(\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)\) :
\[\dfrac{9}{32}(2\theta-\sin(2\theta))+C=\dfrac{9}{32}(2\theta-2\sin(\theta)\cos(\theta))+C\]
Nous pouvons immédiatement réécrire les termes \(\theta\) et \(\sin(\theta)\) en termes de \( u\) :
\[\dfrac{9}{32}(2\theta-2\sin(\theta)\cos(\theta))+C=\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\cos(\theta)\right)+C\]
Notre seul problème est maintenant de réécrire \(\cos(\theta)\) en termes de \(u\). Pour ce faire, nous interprétons \N(\Ntheta\N) comme étant un angle d'un triangle droit. Rappelle-toi que \(\sin(\theta)\) peut être interprété comme la longueur du côté du triangle opposé à theta divisée par la longueur de l'hypoténuse. Puisque \(\sin(\theta)=\tfrac{u}{3}\), nous pouvons interpréter \(u\) comme la longueur du côté opposé du triangle et 3 comme la longueur de l'hypoténuse.
Fig. 7. Substitutions trigonométriques dans les triangles.
Avec cette interprétation, nous pouvons immédiatement écrire que \(\cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{9-u^2}}{3}.\) En introduisant ceci dans notre expression, nous obtenons que
\[\begin{align}&\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\cos(\theta)\right)+C \\&= \dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\dfrac{\sqrt{9-u^2}}{3}\right)+C.\[end{align}\]
En simplifiant, on obtient
\[ \begin{align}&\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\dfrac{\sqrt{9-u^2}}{3}\right)+C \\&= \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-\dfrac{1}{16}u\sqrt{9-u^2}+C\end{align}\]
Enfin, nous pouvons réécrire la solution en termes de \N(x\N), en utilisant le fait que \N(u=2x\N) :
\[ \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-\dfrac{1}{16}u\sqrt{9-u^2}+C = \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{2}{3}x\right)-\dfrac{1}{8}x\sqrt{9-4x^2}+C \].
Ainsi, \[\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-4x^2}\mathrm{d}x = \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{2}{3}x\nright)-\dfrac{1}{8}x\sqrt{9-4x^2}+C \N].
La difficulté que nous avons rencontrée dans cet exemple en exprimant \(\cos(\theta)\) en termes de \(u\) est assez courante. Lorsque tu rencontres un problème similaire, l'astuce qui consiste à utiliser des triangles est très utile. L'image ci-dessous montre les triangles utilisés pour chacune des trois substitutions trigonométriques les plus courantes.
Fig. 8. Triangles pour les substitutions trigonométriques, de gauche à droite : \(x=a\sin(\theta)\), \(x=a\tan(\theta)\) et \( x=a\sec(\theta)\).
Une autre technique souvent utile lorsqu'on travaille avec des substitutions trigonométriques consiste à compléter le carré.
Évaluons l'intégrale suivante à l'aide de la substitution trigonométrique
\[\int_0^1 \dfrac{e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\mathrm{d}x.\]
À première vue, il ne semble pas que cette intégrale puisse être évaluée en utilisant la substitution \(u\). Cependant, si nous effectuons la substitution \(u=e^x\), \(\mathrm{d}u=e^x\mathrm{d}x\), nous obtenons,
\[\int_0^1 \dfrac{e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\mathrm{d}x =\int_1^e \dfrac{1}{u^2+2u+2}\mathrm{d}u \].
En complétant le carré et en utilisant la substitution \(v=u+1\), \(\mathrm{d}v=\mathrm{d}u\), nous obtenons :
\[\begin{align} \int_1^e \dfrac{1}{u^2+2u+2}\mathrm{d}u &= \int_1^e \dfrac{1}{(u^2+2u+1)+1}\mathrm{d}u \int_1^e \dfrac{1}{(u+1)^2+1}\mathrm{d}u &= \int_2^{e+1} \dfrac{1}{v^2+1}\mathrm{d}v \end{align}\]
A ce stade, même s'il n'y a pas de signe de racine carrée, nous pouvons essayer d'utiliser la substitution \(v=\tan(\theta)\) et \(\mathrm{d}v=\sec^2(\theta)\mathrm{d}\theta\), sur l'intervalle \(-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\) pour obtenir :
\[\begin{align}\int_2^{e+1} \dfrac{1}{v^2+1}\mathrm{d}v &= \int_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} \dfrac{\sec^2(\theta)}{\tan^2(\theta)+1}\mathrm{d}\theta \ &= \int_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} \dfrac{\sec^2(\theta)}{\sec^2(\theta)}\mathrm{d}\theta \N &= \int_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} 1\mathrm{d}\theta \N &= \left.\theta \right|_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} \\N- &= \arctan(e+1)-\arctan(2) \N- &\Napprox 0.201 \Nend{align}\N]
Substitution trigonométrique - Principaux enseignements
- La substitution trigonométrique est une forme inverse de la substitution \N(u\N) qui peut être utilisée pour les intégrales avec des termes de la forme \N(\sqrt{x^2-a^2}\N), \N( \sqrt{x^2+a^2}\N), et \N( \sqrt{a^2-x^2}\N).
- Lorsque tu utilises la substitution trigonométrique, il est important de restreindre la plage des valeurs thêta pour que la substitution soit biunivoque.
- Pour annuler une substitution trigonométrique, utilise les identités du triangle droit.
- La complétion du carré peut être un outil utile pour mettre les intégrales dans la forme correcte pour utiliser la substitution trigonométrique.
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Questions fréquemment posées en Substitution trigonométrique
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