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Démonstration

Une démonstration est un argument structuré qui suit un ensemble d'étapes logiques. Elle vise à démontrer qu'un énoncé mathématique ou une conjecture est vrai en utilisant des faits mathématiques ou des théorèmes. Une fois qu'une conjecture a été démontrée, elle devient un théorème. Un exemple de théorème est que le carré d'un nombre pair est aussi pair.

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Une démonstration est un argument structuré qui suit un ensemble d'étapes logiques. Elle vise à démontrer qu'un énoncé mathématique ou une conjecture est vrai en utilisant des faits mathématiques ou des théorèmes. Une fois qu'une conjecture a été démontrée, elle devient un théorème. Un exemple de théorème est que le carré d'un nombre pair est aussi pair.

Les théorèmes sont basés sur des axiomes. Un axiome est un énoncé qui est accepté comme vrai sans qu'il soit nécessaire de le prouver. Voici quelques exemples d'axiomes :

  • Tous les multiples de 2 sont pairs.

  • L'addition est commutative : \(a + b = b + a\)

  • La multiplication est commutative : \(a \times b = b \times a\)

Que dois-tu faire dans une démonstration ?

Les éléments clés pour rédiger une démonstration complète sont les suivants :

  • Indique toute information que tu utilises.

  • Veille à ce que chaque étape s'enchaîne logiquement avec l'étape précédente.

  • Assure-toi que tous les cas possibles sont abordés, par exemple, si on te demande de démontrer pour tous les nombres et que tu n'as démontré que les nombres impairs, tu dois également démontrer les nombres pairs.

  • Termine la démonstration par une déclaration.

Quels sont les différents types de démonstrations ?

Les différents types de démonstrations sont définis en fonction de la méthode utilisée pour réaliser la démonstration. Les principales méthodes que l'on peut trouver sont :

Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est un outil puissant qui peut être utilisé pour prouver des énoncés mathématiques ou définir une fonction ou une suite en fonction d'elle-même. En général, elle se compose de trois étapes :

  • Initialisation : C'est le point de départ où nous définissons les premiers termes de la séquence (le rang \(0\))

  • Hérédité : C'est la partie où nous définissons comment chaque terme suivant est lié aux termes précédents. Autrement dit, si la propriété est vraie pour un certain rang \(k\), alors la propriété est vraie pour le rang suivant \(k+1\).

  • Conclusion : Comme la propriété est vraie pour le rang \(0\), \(k\) et \(k+1\), nous pouvons conclure par récurrence que la propriété est vraie pour tous les entiers \(n\).

Nous allons maintenant parcourir chacune de ces étapes à l'aide d'un exemple simple.

Démontrons que la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\).

Initialisation : On commence par montrer que l'énoncé est vrai pour le premier nombre impair, \(1\). En effet, \(1^2 = 1\)

Hérédité : Supposons maintenant que l’affirmation est vraie pour un nombre impair arbitraire \(m = 2k - 1\). \(n\) est le k-ième nombre impair, donc la somme de tous les nombres impairs jusqu’à \(m\) compris est \(k^2\). Il faut donc utiliser cette hypothèse pour démontrer que la somme des \(k+1\) premiers nombres impairs est \((k+1)^2\). Autrement dit, il faut démontrer que \(1 + 3 +\) … \(+ 2k + 1\) \(=(k+1)^2\). Or, nous avons supposé que \(1 + 3 +\) … \(+2k-1=k^2\). Donc, \(1 + 3 +\) … \(+ 2k -1 + 2k + 1 \) \(=k^2+2k+1\). Il s’agit d’une identité remarquable qui nous permet de déduire que \(1 + 3 +\) … \(+ 2k -1 + 2k + 1\) \(=(k+1)^2\).

Conclusion : Par récurrence, nous pouvons maintenant conclure que la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\) pour tous les nombres impairs.

Cette démonstration est un exemple classique de la manière dont la récurrence peut être utilisée pour prouver des énoncés mathématiques, mais elle peut aussi démontrer des propriétés plus complexes avec des fonctions et des suites par exemple.

Raisonnement déductif

Le raisonnement déductif est la méthode de démonstration la plus souvent utilisée. Elle consiste à commencer par des faits ou des théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes montrant le raisonnement qui permet d'atteindre une conclusion qui démontre la conjecture initiale.

L'équation \(kx^2 - 2kx + 4 = 0\) n'a pas de racines réelles. Démontre que \(k\) satisfait à l'inégalité \(0 \leq k < 4\)

Cela va impliquer l'utilisation du discriminant.

Quand une équation du second degré (\(ax^2+bx+c=0\)) n'a pas de racines réelles, \(b^2 - 4ac < 0\)

Remplaçons donc les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).

\(a=k, b=-2k, c=4\)

\((-2k)^2 - 4(k)(4) = 4k^2 - 16k\)

Comme il n'y a pas de racines réelles, la valeur du discriminant doit être inférieure à 0. Donc, \(4k^2 - 16k < 0\)

\(k(4k-16)<0\)

Alors, si on fait un croquis, on obtient :

Démonstration Exemple de raisonnement déductif StudySmarterFig. 1 - Exemple de raisonnement déductif

Tu peux voir sur le graphique que \(k(4k - 16) < 0\) lorsque la courbe est en dessous de l'axe des x. Cela se produit lorsque \(0 < k < 4\)

Cependant, lorsque \(k = 0\), la formule du discriminant n'est plus valable.

Si nous substituons \(k = 0\) dans l'équation originale

\(kx^2 - 2kx + 4 = 0\)\((0)x^2 - 2(0)x + 4 = 0\)\(4 = 0\)

Ce n'est pas possible, donc il n'y a pas de racines réelles.

Par conséquent, \(0 \leq k < 4\) comme requis.

Qu'en est-il des identités ?

Une identité est une expression mathématique qui est toujours vraie. Il s'agit d'une déclaration montrant que les deux côtés de l'expression sont identiques. Pour démontrer une identité, il suffit de manipuler algébriquement un côté de l'expression jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre côté. Un symbole que tu trouveras avec les identités est ≡, qui signifie " est toujours égal à ". Voici quelques exemples :

Démontre que \((2x + 3)(x + 4)(x -1 )\) ≡ \(2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

Distribue les parenthèses du côté gauche de l'identité et combine les termes semblables

\((2x + 3)(x + 4)(x - 1) = (2x + 3)(x^2 - x + 4x - 4)\)\(= (2x + 3)(x^2 + 3x - 4)\)

\(= 2x^3 + 6x^2 - 8x + 3x^2 + 9x - 12\)\(= 2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

Par conséquent, nous pouvons dire que \((2x + 3)(x + 4)\) \(2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

On peut également te demander de démontrer des identités trigonométriques :

Démontre que \(sin^2\theta + cos^2\theta\)

Considère le diagramme ci-dessous :

Démonstration Démonstration d'une identité trigonométrique StudySmarterFig. 2 - Démonstration d'une identité trigonométrique

Si nous écrivons des expressions trigonométriques pour a et b :

\(a = csin\theta\)\(b = ccos\theta\)

Par le théorème de Pythagore \(a^2 + b^2 = c^2\)

Donc, en substituant les expressions pour \(a\) et \(b\) :

\((csin\theta)^2 + (ccos\theta)^2\) \(c^2sin^2\theta + c^2cos^2\theta\)\(c^2(sin^2\theta + c^2(cos^2\theta)\) ≡ \(c^2\)

Factorisation de \(c^2\):

\(c^2(sin^2\theta + cos^2\theta)\) \(c^2\)

Divise les deux côtés par \(c^2\) (Nous pouvons le faire car \(c \neq 0 \))

Par conséquent, \(sin^2\theta + cos^2\theta = 1\)

Raisonnement par contre-exemple

Une affirmation mathématique peut être réfutée en trouvant un contre-exemple. Un contre-exemple est un exemple pour lequel une affirmation n'est pas vraie. Examinons l'exemple ci-dessous :

Démontre que l'affirmation ci-dessous n'est pas vraie.

La somme de deux nombres carrés est toujours un nombre carré.

Nous pouvons le démontrer par un contre-exemple, en trouvant un seul exemple qui démontre que l'affirmation est fausse. Nous devons donc trouver deux nombres carrés qui, lorsqu'ils sont additionnés, ne sont pas des nombres carrés. Essayons 4 et 9.

4 est un nombre carré ( \(2^2\) )

9 est un nombre carré ( \(3^2\) )

9 + 4 = 13

13 n'est pas un nombre carré.

L'affirmation n'est donc pas vraie.

Raisonnement par disjonction de cas

Le raisonnement par disjonction de cas se fait en considérant tous les exemples possibles et en vérifiant chaque cas séparément.

Démontre que la somme de deux nombres carrés consécutifs compris entre 1 et 81 est un nombre impair.

  • Les nombres carrés entre 1 et 81 sont :

4, 9, 16, 25, 36, 49 et 64.

  • Utilisons maintenant le raisonnement par disjonction de cas, et trouvons ces sommes.4 + 9 = 13 (impair)9 + 16 = 25 (impair)16 + 25 = 41 (impair)25 + 36 = 61 (impair)36 + 49 = 85 (impair)49 + 64 = 113 (impair)

Tous ces nombres sont impairs, donc l'affirmation est démontrée.

Raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par l'absurde fonctionne de manière légèrement différente. Dans ce cas, pour démontrer qu'un énoncé mathématique est vrai, tu supposeras que le contraire de l'énoncé doit être faux, et tu démontreras qu'il est effectivement faux.

Démontre qu'il n'existe pas d'entiers a et b pour lesquels \(5a + 10b = 1\)

  • Suppose le contraire : Supposons que nous puissions trouver deux entiers a et b qui rendent l'équation \(5a + 10b = 1\) vraie.
  • Si c'est le cas, nous pouvons alors diviser les deux côtés de l'équation par 5 :

55a+105b=15

a+2b=15

  • Si a et b sont des nombres entiers, alors le résultat de a + 2b doit également être un nombre entier. Par conséquent, a + 2b ne peut pas donner la fraction \(\frac{1}{5}\), comme le stipule l'équation. Nous avons ici une contradiction, ce qui rend notre hypothèse fausse.
  • Comme nous avons démontré que l'affirmation opposée est fausse, l'affirmation originale est démontrée vraie. Par conséquent, nous pouvons dire que l'affirmation "Il n'existe pas d'entiers a et b pour lesquels 5a + 10b = 1" est vraie.

Démonstration - Points à retenir

    • Une démonstration est une séquence d'étapes logiques utilisées pour démontrer un énoncé mathématique ou une conjecture.

    • Le raisonnement par récurrence est un outil puissant qui peut être utilisé pour prouver des énoncés mathématiques ou définir une fonction ou une suite en fonction d'elle-même. Elle se compose de trois étapes : Initialisation, Hérédité et Conclusion.

    • Le raisonnement déductif est la méthode de démonstration la plus souvent utilisée. Elle consiste à commencer par des faits ou des théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes pour parvenir à une conclusion qui démontre la conjecture initiale.

    • Pour démontrer les identités, on manipule algébriquement un côté de l'expression jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre côté.

    • Le raisonnement par contre-exemple consiste à utiliser un contre-exemple pour démontrer qu'une affirmation n'est pas vraie.

    • Le raisonnement par disjonction de cas se fait en considérant tous les cas possibles et en démontrant chaque cas séparément.

    • Le raisonnement par l'absurde permet de démontrer qu'un énoncé mathématique est vrai, en supposant que le contraire de l'énoncé doit être faux, et en démontrant qu'il est effectivement faux.

Questions fréquemment posées en Démonstration

Pour démontrer une affirmation, nous devons utiliser un raisonnement mathématique. Des exemples sont le raisonnement par récurrence, le raisonnement déductif, le raisonnement par contre-exemple, le raisonnement par disjonction de cas et le raisonnement par l'absurde. 

Une démonstration est une séquence d'étapes logiques utilisées pour démontrer un énoncé mathématique ou une conjecture.

Pour avoir un bon raisonnement mathématique nous devons d'abord comprendre l'affirmation. Ensuite, nous devons examiner les preuves et voir si elles soutiennent l'affirmation. Enfin, nous devons déterminer si l'affirmation est toujours vraie ou parfois vraie. Si l'affirmation est toujours vraie, alors nous avons un bon raisonnement mathématique. 

Il n'y a pas une seule réponse correcte à cette question, car la justification d'une démonstration mathématique peut varier en fonction de la situation. Cependant, certaines les méthodes de justification couramment utilisées comprennent l'appel à des axiomes ou à des résultats précédemment établis. Dans chaque cas, il est important de bien vérifier nos résultats étape par étape.

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Pour quelle proposition serait-il mieux d'appliquer un raisonnement par récurrence ? 

Quelle phrase pourrait conclure une démonstration par récurrence ? 

Pour quelle proposition serait-il mieux d'appliquer un raisonnement par récurrence ? 

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