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Démonstration

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Une démonstration est un argument structuré qui suit un ensemble d'étapes logiques. Elle vise à démontrer qu'un énoncé mathématique ou une conjecture est vrai en utilisant des faits mathématiques ou des théorèmes. Une fois qu'une conjecture a été démontrée, elle devient un théorème. Un exemple de théorème est que le carré d'un nombre pair est aussi pair.

Les théorèmes sont basés sur des axiomes. Un axiome est un énoncé qui est accepté comme vrai sans qu'il soit nécessaire de le prouver. Voici quelques exemples d'axiomes :

  • Tous les multiples de 2 sont pairs.

  • L'addition est commutative : \(a + b = b + a\)

  • La multiplication est commutative : \(a \times b = b \times a\)

Que dois-tu faire dans une démonstration ?

Les éléments clés pour rédiger une démonstration complète sont les suivants :

  • Indique toute information que tu utilises.

  • Veille à ce que chaque étape s'enchaîne logiquement avec l'étape précédente.

  • Assure-toi que tous les cas possibles sont abordés, par exemple, si on te demande de démontrer pour tous les nombres et que tu n'as démontré que les nombres impairs, tu dois également démontrer les nombres pairs.

  • Termine la démonstration par une déclaration.

Quels sont les différents types de démonstrations ?

Les différents types de démonstrations sont définis en fonction de la méthode utilisée pour réaliser la démonstration. Les principales méthodes que l'on peut trouver sont :

  • Raisonnement par récurrence

  • Raisonnement déductif

  • Raisonnement par contre-exemple

  • Raisonnement par disjonction de cas

  • Raisonnement par l'absurde

Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est un outil puissant qui peut être utilisé pour prouver des énoncés mathématiques ou définir une fonction ou une suite en fonction d'elle-même. En général, elle se compose de trois étapes :

  • Initialisation : C'est le point de départ où nous définissons les premiers termes de la séquence (le rang \(0\))

  • Hérédité : C'est la partie où nous définissons comment chaque terme suivant est lié aux termes précédents. Autrement dit, si la propriété est vraie pour un certain rang \(k\), alors la propriété est vraie pour le rang suivant \(k+1\).

  • Conclusion : Comme la propriété est vraie pour le rang \(0\), \(k\) et \(k+1\), nous pouvons conclure par récurrence que la propriété est vraie pour tous les entiers \(n\).

Nous allons maintenant parcourir chacune de ces étapes à l'aide d'un exemple simple.

Démontrons que la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\).

Initialisation : On commence par montrer que l'énoncé est vrai pour le premier nombre impair, \(1\). En effet, \(1^2 = 1\)

Hérédité : Supposons maintenant que l’affirmation est vraie pour un nombre impair arbitraire \(m = 2k - 1\). \(n\) est le k-ième nombre impair, donc la somme de tous les nombres impairs jusqu’à \(m\) compris est \(k^2\). Il faut donc utiliser cette hypothèse pour démontrer que la somme des \(k+1\) premiers nombres impairs est \((k+1)^2\). Autrement dit, il faut démontrer que \(1 + 3 +\) … \(+ 2k + 1\) \(=(k+1)^2\). Or, nous avons supposé que \(1 + 3 +\) … \(+2k-1=k^2\). Donc, \(1 + 3 +\) … \(+ 2k -1 + 2k + 1 \) \(=k^2+2k+1\). Il s’agit d’une identité remarquable qui nous permet de déduire que \(1 + 3 +\) … \(+ 2k -1 + 2k + 1\) \(=(k+1)^2\).

Conclusion : Par récurrence, nous pouvons maintenant conclure que la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\) pour tous les nombres impairs.

Cette démonstration est un exemple classique de la manière dont la récurrence peut être utilisée pour prouver des énoncés mathématiques, mais elle peut aussi démontrer des propriétés plus complexes avec des fonctions et des suites par exemple.

Raisonnement déductif

Le raisonnement déductif est la méthode de démonstration la plus souvent utilisée. Elle consiste à commencer par des faits ou des théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes montrant le raisonnement qui permet d'atteindre une conclusion qui démontre la conjecture initiale.

L'équation \(kx^2 - 2kx + 4 = 0\) n'a pas de racines réelles. Démontre que \(k\) satisfait à l'inégalité \(0 \leq k < 4\)

Cela va impliquer l'utilisation du discriminant.

Quand une équation du second degré (\(ax^2+bx+c=0\)) n'a pas de racines réelles, \(b^2 - 4ac < 0\)

Remplaçons donc les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).

\(a=k, b=-2k, c=4\)

\((-2k)^2 - 4(k)(4) = 4k^2 - 16k\)

Comme il n'y a pas de racines réelles, la valeur du discriminant doit être inférieure à 0. Donc, \(4k^2 - 16k < 0\)

\(k(4k-16)<0\)

Alors, si on fait un croquis, on obtient :

Démonstration Exemple de raisonnement déductif StudySmarterFig. 1 - Exemple de raisonnement déductif

Tu peux voir sur le graphique que \(k(4k - 16) < 0\) lorsque la courbe est en dessous de l'axe des x. Cela se produit lorsque \(0 < k < 4\)

Cependant, lorsque \(k = 0\), la formule du discriminant n'est plus valable.

Si nous substituons \(k = 0\) dans l'équation originale

\(kx^2 - 2kx + 4 = 0\)\((0)x^2 - 2(0)x + 4 = 0\)\(4 = 0\)

Ce n'est pas possible, donc il n'y a pas de racines réelles.

Par conséquent, \(0 \leq k < 4\) comme requis.

Qu'en est-il des identités ?

Une identité est une expression mathématique qui est toujours vraie. Il s'agit d'une déclaration montrant que les deux côtés de l'expression sont identiques. Pour démontrer une identité, il suffit de manipuler algébriquement un côté de l'expression jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre côté. Un symbole que tu trouveras avec les identités est ≡, qui signifie " est toujours égal à ". Voici quelques exemples :

Démontre que \((2x + 3)(x + 4)(x -1 )\) ≡ \(2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

Distribue les parenthèses du côté gauche de l'identité et combine les termes semblables

\((2x + 3)(x + 4)(x - 1) = (2x + 3)(x^2 - x + 4x - 4)\)\(= (2x + 3)(x^2 + 3x - 4)\)

\(= 2x^3 + 6x^2 - 8x + 3x^2 + 9x - 12\)\(= 2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

Par conséquent, nous pouvons dire que \((2x + 3)(x + 4)\) \(2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

On peut également te demander de démontrer des identités trigonométriques :

Démontre que \(sin^2\theta + cos^2\theta\)

Considère le diagramme ci-dessous :

Démonstration Démonstration d'une identité trigonométrique StudySmarterFig. 2 - Démonstration d'une identité trigonométrique

Si nous écrivons des expressions trigonométriques pour a et b :

\(a = csin\theta\)\(b = ccos\theta\)

Par le théorème de Pythagore \(a^2 + b^2 = c^2\)

Donc, en substituant les expressions pour \(a\) et \(b\) :

\((csin\theta)^2 + (ccos\theta)^2\) \(c^2sin^2\theta + c^2cos^2\theta\)\(c^2(sin^2\theta + c^2(cos^2\theta)\) ≡ \(c^2\)

Factorisation de \(c^2\):

\(c^2(sin^2\theta + cos^2\theta)\) \(c^2\)

Divise les deux côtés par \(c^2\) (Nous pouvons le faire car \(c \neq 0 \))

Par conséquent, \(sin^2\theta + cos^2\theta = 1\)

Raisonnement par contre-exemple

Une affirmation mathématique peut être réfutée en trouvant un contre-exemple. Un contre-exemple est un exemple pour lequel une affirmation n'est pas vraie. Examinons l'exemple ci-dessous :

Démontre que l'affirmation ci-dessous n'est pas vraie.

La somme de deux nombres carrés est toujours un nombre carré.

Nous pouvons le démontrer par un contre-exemple, en trouvant un seul exemple qui démontre que l'affirmation est fausse. Nous devons donc trouver deux nombres carrés qui, lorsqu'ils sont additionnés, ne sont pas des nombres carrés. Essayons 4 et 9.

4 est un nombre carré ( \(2^2\) )

9 est un nombre carré ( \(3^2\) )

9 + 4 = 13

13 n'est pas un nombre carré.

L'affirmation n'est donc pas vraie.

Raisonnement par disjonction de cas

Le raisonnement par disjonction de cas se fait en considérant tous les exemples possibles et en vérifiant chaque cas séparément.

Démontre que la somme de deux nombres carrés consécutifs compris entre 1 et 81 est un nombre impair.

  • Les nombres carrés entre 1 et 81 sont :

4, 9, 16, 25, 36, 49 et 64.

  • Utilisons maintenant le raisonnement par disjonction de cas, et trouvons ces sommes.4 + 9 = 13 (impair)9 + 16 = 25 (impair)16 + 25 = 41 (impair)25 + 36 = 61 (impair)36 + 49 = 85 (impair)49 + 64 = 113 (impair)

Tous ces nombres sont impairs, donc l'affirmation est démontrée.

Raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par l'absurde fonctionne de manière légèrement différente. Dans ce cas, pour démontrer qu'un énoncé mathématique est vrai, tu supposeras que le contraire de l'énoncé doit être faux, et tu démontreras qu'il est effectivement faux.

Démontre qu'il n'existe pas d'entiers a et b pour lesquels \(5a + 10b = 1\)

  • Suppose le contraire : Supposons que nous puissions trouver deux entiers a et b qui rendent l'équation \(5a + 10b = 1\) vraie.
  • Si c'est le cas, nous pouvons alors diviser les deux côtés de l'équation par 5 :

  • Si a et b sont des nombres entiers, alors le résultat de a + 2b doit également être un nombre entier. Par conséquent, a + 2b ne peut pas donner la fraction \(\frac{1}{5}\), comme le stipule l'équation. Nous avons ici une contradiction, ce qui rend notre hypothèse fausse.
  • Comme nous avons démontré que l'affirmation opposée est fausse, l'affirmation originale est démontrée vraie. Par conséquent, nous pouvons dire que l'affirmation "Il n'existe pas d'entiers a et b pour lesquels 5a + 10b = 1" est vraie.

Démonstration - Points à retenir

    • Une démonstration est une séquence d'étapes logiques utilisées pour démontrer un énoncé mathématique ou une conjecture.

    • Le raisonnement par récurrence est un outil puissant qui peut être utilisé pour prouver des énoncés mathématiques ou définir une fonction ou une suite en fonction d'elle-même. Elle se compose de trois étapes : Initialisation, Hérédité et Conclusion.

    • Le raisonnement déductif est la méthode de démonstration la plus souvent utilisée. Elle consiste à commencer par des faits ou des théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes pour parvenir à une conclusion qui démontre la conjecture initiale.

    • Pour démontrer les identités, on manipule algébriquement un côté de l'expression jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre côté.

    • Le raisonnement par contre-exemple consiste à utiliser un contre-exemple pour démontrer qu'une affirmation n'est pas vraie.

    • Le raisonnement par disjonction de cas se fait en considérant tous les cas possibles et en démontrant chaque cas séparément.

    • Le raisonnement par l'absurde permet de démontrer qu'un énoncé mathématique est vrai, en supposant que le contraire de l'énoncé doit être faux, et en démontrant qu'il est effectivement faux.

Questions fréquemment posées en Démonstration

Pour démontrer une affirmation, nous devons utiliser un raisonnement mathématique. Des exemples sont le raisonnement par récurrence, le raisonnement déductif, le raisonnement par contre-exemple, le raisonnement par disjonction de cas et le raisonnement par l'absurde. 

Une démonstration est une séquence d'étapes logiques utilisées pour démontrer un énoncé mathématique ou une conjecture.

Pour avoir un bon raisonnement mathématique nous devons d'abord comprendre l'affirmation. Ensuite, nous devons examiner les preuves et voir si elles soutiennent l'affirmation. Enfin, nous devons déterminer si l'affirmation est toujours vraie ou parfois vraie. Si l'affirmation est toujours vraie, alors nous avons un bon raisonnement mathématique. 

Il n'y a pas une seule réponse correcte à cette question, car la justification d'une démonstration mathématique peut varier en fonction de la situation. Cependant, certaines les méthodes de justification couramment utilisées comprennent l'appel à des axiomes ou à des résultats précédemment établis. Dans chaque cas, il est important de bien vérifier nos résultats étape par étape.

Questionnaire final de Démonstration

Question

Qu'est-ce que le raisonnement déductif ?

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Réponse

Le raisonnement déductif est une forme de raisonnement logique qui applique les principes de la logique pour arriver à un résultat sur la base d'un ensemble de prémisses données.

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Question

Quels sont les principes de la logique ?

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Réponse

Les principes de la logique sont les règles qui gouvernent le processus de déduction.

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Question

Quelle est la différence entre le raisonnement déductif et le raisonnement inductif ?

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Réponse

Le raisonnement déductif est une forme de raisonnement logique qui applique les principes de la logique pour parvenir à un résultat sur la base d'un ensemble donné de prémisses. Le raisonnement inductif est une forme de raisonnement logique qui influe sur les résultats en faisant des généralisations basées sur des observations.

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Question

Comment fonctionne la déduction ?

Montrer la réponse

Réponse

La déduction fonctionne en appliquant les principes de la logique à une question ou un problème afin d'arriver à une conclusion.

Montrer la question

Question

Quelles sont les étapes de la déduction ?

Montrer la réponse

Réponse

Les étapes de la déduction sont les suivantes : les prémisses sont données, le principe de la logique est appliqué et une conclusion est tirée.

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Question

Dans la phrase ""Si aujourd'hui c'est le week-end, alors demain doit être un jour de la semaine" quelle est l'affirmation A ?

Montrer la réponse

Réponse

"si aujourd'hui c'est le week-end"

Montrer la question

Question

Dans la phrase 

"Si aujourd'hui c'est le week-end, alors demain doit être un jour de la semaine", quelle est l'affirmation B ?

Montrer la réponse

Réponse

"demain doit être un jour de la semaine"

Montrer la question

Question

Quelles sont les étapes pour résoudre une question de raisonnement déductif ?

Montrer la réponse

Réponse

  • considérer la logique de la conjecture ;

  • exprimer l'axiome sous forme d'expression mathématique lorsque cela est possible ;

  • résoudre pour voir si la logique s'applique à la conjecture ;

  • faire une déclaration finale sur la véracité de la conjoncture.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'un axiome ?

Montrer la réponse

Réponse

Un axiome est un énoncé qui est accepté comme vrai sans qu'il soit nécessaire de le prouver. 

Montrer la question

Question

Comment représente-t-on des nombres consécutifs ?

Montrer la réponse

Réponse

Tu peux commencer par n (ou tout autre point de départ) et ajouter 1 à chaque fois pour obtenir n + 1, n + 2, etc.

Montrer la question

Question

Représente la liste des nombres pairs consécutifs.

Montrer la réponse

Réponse

2n, 2n+2, 2n+4

Montrer la question

Question

Représente la liste des nombres impairs consécutifs.

Montrer la réponse

Réponse

2n+1, 2n+3, 2n+5...

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que le raisonnement inductif ?

Montrer la réponse

Réponse

Le raisonnement inductif est une méthode permettant de tirer des conclusions à partir d'observations.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que le raisonnement hypothético-déductif  ?

Montrer la réponse

Réponse

Le raisonnement hypothético-déductif est une méthode de raisonnement qui consiste à proposer d'abord une hypothèse, puis à la tester par déduction.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'un contre-exemple ?

Montrer la réponse

Réponse

Un contre-exemple est un cas spécifique qui contredit une affirmation plus générale.

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Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tous les nombres premiers sont impairs »

Montrer la réponse

Réponse

2

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Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « toute équation du second degré a deux racines »

Montrer la réponse

Réponse

x2 = 0 n'a que 0 comme racine

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tout nombre de la forme 2n + 1, où n est un entier, est un nombre premier »

Montrer la réponse

Réponse

15 = 2*7 +1, pourtant 15 n'est pas premier

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Question

Si n est un entier naturel, alors n2 > n. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

Si n = 1, alors n2 = n et cette affirmation n'est donc pas vraie.

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Question

Si p et q sont des entiers naturels, alors pq > p et pq > q. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, en effet si p = 1 et q et n'importe quel entier naturel, alors ce n'est pas vrai.

Montrer la question

Question

Les entiers qui se terminent par un 7 sont premiers. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

27 = 3*9 et donc n'est pas premier

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Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « la somme de 2 et tout autre nombre premier est aussi un nombre premier »

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Réponse

2+7 = 9

2 et 7 sont premiers, mais 9 ne l'est pas.

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Question

La somme de deux nombres irrationels est toujours irrationnel. Vrai ou faux ?

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Réponse

C'est faux car pi et -pi sont tous les deux des nombres irrationnels. Or, pi + (-pi) = 0, qui est rationnel.

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Question

Est-ce vrai que la somme deux nombres est toujours plus grand que chacun des nombres ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, par exemple, -1 + 1 = 0, mais 0 > -1

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Question

Est-ce vrai que toutes les droites dans le plan ont une intersection ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, les droites parallèles, par exemple y = x et y =x +2, n'ont pas d'intersection. 

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Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « si p est un nombre rationnel, alors la racine carrée de p est un nombre irrationnel. » 

Montrer la réponse

Réponse

Tout carré est un contre-exemple, par exemple la racine carrée de 9 est 3, qui n'est pas irrationnel. 

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tout nombre réel est un nombre rationnel. »

Montrer la réponse

Réponse

pi et la racine carrée de 2 sont des nombres réels, pourtant ils ne sont pas rationnels. 

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « le produit de deux nombres positifs est toujours supérieur à chacun des deux nombres »

Montrer la réponse

Réponse

0,5 et 0,2 sont deux nombres positifs, pourtant leur produit est 0,1 plus petit que 0,5 et 0,1

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Question

Trouve un x qui ne vérifie pas x2 - 9 > 0.

Montrer la réponse

Réponse

Tout nombre réel entre -3 et 3 est un contre-exemple à cette inégalité.

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