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Géométrie

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La géométrie est l'étude des formes, des droites, des points... tout ce genre de choses. Un domaine fondamental des mathématiques, elle a de nombreuses applications, par exemple dans l'architecture. Or, pour comprendre ces applications, il faut d'abord savoir un peu sur les formes géométriques, en particulier les nombreuses propriétés des triangles. Nous pouvons ensuite apprendre la trigonométrie, des concepts importants sur les vecteurs et comment résoudre des problèmes de géométrie dans l'espace.

Forme géométrique

La géométrie est l'étude des formes, mais il y a certaines formes que nous préférons étudier en géométrie. Les formes géométriques sont celles qui sont bien définies. Par exemple, la définition d'un carré est bien définie : il s'agit d'une forme avec quatre côtés de longueur égale. Si nous savons la longueur d'un des côtés, nous pouvons le reproduire en suivant certaines étapes. Par contre, pour la forme ci-dessous, nous ne pouvons pas avoir de définition unique. De plus, il n'y a pas de règle spécifique pour la reproduire.

Géométrie Forme non-géométrique StudySmarterFig. 1 - Une forme non-géométrique

Nous étudions les formes géométriques car elles présentent certaines propriétés intéressantes. Néanmoins, certaines formes ont plus de propriétés connues. C'est notamment le cas des triangles !

Propriétés des triangles

Les triangles sont peut-être la forme géométrique la plus étudiée. La raison est claire : les propriétés des triangles sont nombreuses. Équilatère, isocèle, rectangle ou autre : il y a des propriétés communes à tous les triangles. Il y a aussi certaines propriétés et définitions qui prennent en compte les relations entre deux triangles, par exemple les triangles semblables ou le théorème de Thalès.

Géométrie Types de triangles StudySmarterFig. 2 - Différents types de triangles

Certaines propriétés ne concernent que certains types de triangles. Les triangles rectangles en particulier possèdent de nombreuses propriétés spéciales. Notamment, nous pouvons leur appliquer le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes géométriques. Ces triangles ont même donné naissance à un sous-domaine de mathématiques à part : la trigonométrie.

Trigonométrie

La trigonométrie est concernée par les rapports trigonométriques, notamment le sinus, le cosinus et la tangente. Ces rapports sont définis à partir d'un triangle rectangle. Dans la vie réelle, nous pouvons utiliser le sinus, le cosinus et la tangente afin de savoir comment sont distribuées les forces qui s'appliquent à un objet. Cela nous permettrait, par exemple, de bien construire un pont.

Géométrie Fonctions sinus et cosinus StudySmarterFig. 3 - Les fonctions sinus et cosinus

Nous pouvons étendre la définition de ces rapports à tout angle dans n'importe quelle forme. De plus, le concept de fonctions trigonométriques a été formalisé. Ces fonctions trouvent de nombreuses applications, notamment dans la génération et la transmission de l'électricité. Même si la trigonométrie est un outil puissant, il y a certains problèmes qui requièrent également l'utilisation des vecteurs.

Vecteurs

Les vecteurs représentent le déplacement d'un point à un autre. En physique, les vecteurs sont utilisés pour modéliser certaines grandeurs telles que les forces. Nous utilisons des vecteurs pour ces grandeurs car les vecteurs disposent d'une valeur (ou longueur), ainsi que d'une direction et d'un sens.

Géométrie Vecteur exemple StudySmarterFig. 4 - Exemple d'un vecteur

Dans cette image, la flèche verte symbolise un vecteur qui lui-même représente un déplacement de 9 unités vers la droite et de 6 unités vers le haut.

Pour pouvoir manipuler les vecteurs, il faut savoir les règles du calcul vectoriel, ainsi que certaines des propriétés importantes des vecteurs, comme la colinéarité et la relation de Chasles. Souvent, nous manipulons des vecteurs afin de résoudre des problèmes de géométrie dans le plan, mais nous pouvons aussi les appliquer à la géométrie dans l'espace.

Géométrie dans l'espace

La géométrie dans l'espace est similaire à la géométrie dans le plan : il y a juste une dimension en plus. Or, avoir trois dimensions au lieu de deux change pas mal de choses. D'abord, trouver l'équation d'une droite est un peu plus compliqué. De plus, il est aussi important de savoir trouver des équations de plans, ainsi que les intersections entre droites et plans. C'est un peu différent, mais avec un peu de pratique, tu trouveras que c'est une thématique assez intéressante !

Géométrie Problème géométrie dans l'espace StudySmarterFig. 5 - Exemple d'un problème de géométrie dans l'espace

Géométrie - Points clés

  • En géométrie, nous étudions les formes géométriques, qui sont clairement définies et qui ont des propriétés intéressantes.
  • Parmi les formes géométriques, les triangles présentent une multitude de propriétés intéressantes.
  • La trigonométrie est l'étude des fonctions trigonométriques, telles que le sinus, le cosinus et la tangente.
  • Les vecteurs, très utiles en physique, disposent d'une valeur, d'une direction et d'un sens.
  • Aborder des problèmes de géométrie dans l'espace requiert une couche supplémentaire de connaissances.

Questions fréquemment posées en Géométrie

Il y a plusieurs types de géométrie, mais souvent nous distinguons entre la géométrie synthétique (ou pure), où nous n'étudions que la forme en elle-même et la géométrie analytique, où nous utilisons des coordonnées.

Euclide est souvent considéré le père de la géométrie car il a écrit un des premiers ouvrages sur la géométrie, Éléments.

En géométrie, nous étudions des formes. Même si elle a de nombreuses applications importantes, elle n'a pas forcément un but précis.

La géométrie peut être appliquée à la construction de diverses structures, à la transmission de l'électricité, ainsi que dans le domaine aérospatial.

Questionnaire final de Géométrie

Question

Qui a créé la géométrie analytique ?

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Réponse

René Descartes

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Question

Quelles sont les informations importantes pour déterminer l'équation réduite d'une droite ?

Montrer la réponse

Réponse

la pente

Montrer la question

Question

Lequel n'est pas une définition d'un vecteur ?

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Réponse

un objet mathématique qui contient plusieurs valeurs

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Question

Quelle est la formule pour les coordonnées du milieu de deux points 

Montrer la réponse

Réponse

((x+ xB)/2 ; (yA + yB)/2)

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Question

Laquelle est l'équation réduite d'une droite du plan ?

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Réponse

y = 3x + 5

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Question

Laquelle est une équation cartésienne d'une droite du plan ?

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Réponse

3x + 6y + 9 = 0

Montrer la question

Question

Laquelle est l'équation d'un cercle ?

Montrer la réponse

Réponse

3x + 6y + 9 = 0

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Question

Calcule le produit scalaire des vecteurs (2 ; 4) et (1 ; 5).

Montrer la réponse

Réponse

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on fait les produits des coordonnées correspondantes (2*1 = 2 et 4*5 = 20) et on calcule leur somme (2 + 20 = 22). Donc, le produit scalaire des deux vecteurs est 22.

Montrer la question

Question

Si la pente d'un vecteur est 3 est son ordonnée à l'origine est 5, quelle son équation réduite ?

Montrer la réponse

Réponse

y = 3x + 5

Montrer la question

Question

Pour déterminer l'équation d'un cercle, il faut:

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Réponse

son rayon

Montrer la question

Question

Déterminer le milieu des points (2 ; 5) et (4 ; -1).

Montrer la réponse

Réponse

Pour l'abscisse du milieu : (2 + 4) / 2 = 3

Pour l'ordonnée : (5 + (-1)) / 2 = 2

Donc, le milieu est (3 ; 2)

Montrer la question

Question

L'équation d'un cercle est (x-1)2 + y2 = 16. Quels sont les coordonnées de son centre ?

Montrer la réponse

Réponse

Le centre de cercle est (1 ; 0)

Montrer la question

Question

Quelle est la pente de la droite y = 3x + 2 ?

Montrer la réponse

Réponse

Sa pente est 3.

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Question

L'équation d'un cercle est (x-9)2 + y2 = 1. Quel est son rayon ?

Montrer la réponse

Réponse

Son rayon est 1.

Montrer la question

Question

Si une équation cartésienne d'une droite est 3x + 6y - 12 = 0, quelle est sont équation réduite ?

Montrer la réponse

Réponse

Son équation réduite est y = 2 - 0,5x.


3x + 6y - 12 = 0

6y = 12 - 3x

y = 2 - 0,5x




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Question

Quel est le diamètre d'un cercle ?

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Réponse

La distance d'un côté du cercle à un autre passant par le centre.

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Question

Quelle est la circonférence d'un cercle ?

Montrer la réponse

Réponse

Le périmètre total d'un cercle.

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Question

Quel est le rayon d'un cercle ?

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Réponse

La distance entre le centre du cercle et la circonférence.

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Question

Qu'est-ce qu'un secteur circulaire ?

Montrer la réponse

Réponse

Une zone délimitée par deux rayons.

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Question

Qu'est-ce qu'une corde ?

Montrer la réponse

Réponse

Une ligne qui va d'un côté de la circonférence à l'autre sans passer par le centre.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'un segment circulaire ?

Montrer la réponse

Réponse

Une zone délimitée par une corde ou une circonférence.

Montrer la question

Question

 Qu'est-ce qu'une tangente ?

Montrer la réponse

Réponse

 Une ligne extérieure au cercle qui touche la circonférence du cercle en un point.

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Question

Qu'est-ce qu'un arc ?

Montrer la réponse

Réponse

Une section de la circonférence.

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Question

Quelles sont les 2 formules permettant de calculer l'aire des triangles ?

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Réponse

1/2 * a * b * sin(c) 

et 

1/2 * base * hauteur

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Question

Quelles unités utiliserais-tu pour mesurer l'aire d'une surface ?

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Réponse

unités carrées

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Question

Si nous avons un triangle avec une base de 9 cm et une hauteur de 6 cm, calcule l'aire

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Réponse

A = 1/2 * 9 * 6 = 27 cm^2

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Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 10 cm, 4 cm et x cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur x est 100°. Quelle est la valeur de x ?

Montrer la réponse

Réponse

11,4 cm

Montrer la question

Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 2 cm, 8 cm et z cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur z est 18°. Quelle est la valeur de z ?

Montrer la réponse

Réponse

6,13 cm

Montrer la question

Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 10 cm, x cm et y cm. Les mesures des angles opposés sont respectivement 30°, 85° et 65°. Détermine x et y. 

Montrer la réponse

Réponse

x = 19,9 et y = 16,1

Montrer la question

Question

Deux côtés d'un triangle sont de longueur 6 cm et 7 cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur 7 cm est 72°. Quelle est la mesure de l'angle opposé du côté de 6 cm ? 

Montrer la réponse

Réponse

54,6° 

Montrer la question

Question

Deux angles d'un triangle sont de mesure 67° et 33°. La mesure du côté opposé de l'angle de 67° est 9 cm. Quelle est la longueur du côté opposé de l'angle de mesure 33° ?

Montrer la réponse

Réponse

5,33 cm

Montrer la question

Question

Deux côtés d'un triangle sont de longueur 13 cm et 7 cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur 13 cm est 144°. Quelle est la mesure de l'angle opposé du côté de 7 cm ?

Montrer la réponse

Réponse

18,5°

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Question

Deux angles d'un triangle sont de mesure 58° et 23°. La longueur du côté opposé de l'angle de mesure 58° est 15 cm. Quelle est la longueur du côté opposé de l'angle de mesure 23° ?

Montrer la réponse

Réponse

6,91 cm

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Question

La loi des sinus ne s'applique qu'aux triangles rectangles.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

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Question

La loi des sinus dit que la proportion entre le sinus d'un angle et la longeur du côté opposé est la même pour tous les angles dans un triangle.

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Réponse

Vrai

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Question

Il y a certaines propriétés qui ne sont valables que pour certains triangles.

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Réponse

Vrai

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Question

Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles.

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Réponse

Vrai

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Question

Le théoème de _____ peut s'appliquer à certains triangles.

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Réponse

Chasles

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Question

Le théorème de _____ s'applique aux vecteurs.

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Réponse

Chasles

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Question

Quels sont les principaux rapports trigonométriques ?

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Réponse

Le sinus, le cosinus et la tangente

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Question

Les fonctions trigonométriques ne s'appliquent qu'aux angles aigus.

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Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Les vecteurs disposent d'une valeur, ainsi que ... ?

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Réponse

D'une direction et d'un sens

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Question

Dans les problèmes de géométrie dans l'espace, il faut aussi savoir comment trouver l'équation d'un plan.

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Réponse

Vrai

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Question

D'un point de vue mathématique, les triangles peuvent être :

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Réponse

rectangles

Montrer la question

Question

Les rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) peuvent être définis à partir de quel type de triangle ?

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Réponse

Un triangle rectangle

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