La géométrie est l'étude des formes, des droites, des points... tout ce genre de choses. Un domaine fondamental des mathématiques, elle a de nombreuses applications, par exemple dans l'architecture. Or, pour comprendre ces applications, il faut d'abord savoir un peu sur les formes géométriques, en particulier les nombreuses propriétés des triangles. Nous pouvons ensuite apprendre la trigonométrie, des concepts importants sur les vecteurs et comment résoudre des problèmes de géométrie dans l'espace.
Forme géométrique
La géométrie est l'étude des formes, mais il y a certaines formes que nous préférons étudier en géométrie. Les formes géométriques sont celles qui sont bien définies. Par exemple, la définition d'un carré est bien définie : il s'agit d'une forme avec quatre côtés de longueur égale. Si nous savons la longueur d'un des côtés, nous pouvons le reproduire en suivant certaines étapes. Par contre, pour la forme ci-dessous, nous ne pouvons pas avoir de définition unique. De plus, il n'y a pas de règle spécifique pour la reproduire.
Fig. 1 - Une forme non-géométrique
Nous étudions les formes géométriques car elles présentent certaines propriétés intéressantes. Néanmoins, certaines formes ont plus de propriétés connues. C'est notamment le cas des triangles !
Propriétés des triangles
Les triangles sont peut-être la forme géométrique la plus étudiée. La raison est claire : les propriétés des triangles sont nombreuses. Équilatère, isocèle, rectangle ou autre : il y a des propriétés communes à tous les triangles. Il y a aussi certaines propriétés et définitions qui prennent en compte les relations entre deux triangles, par exemple les triangles semblables ou le théorème de Thalès.
Fig. 2 - Différents types de triangles
Certaines propriétés ne concernent que certains types de triangles. Les triangles rectangles en particulier possèdent de nombreuses propriétés spéciales. Notamment, nous pouvons leur appliquer le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes géométriques. Ces triangles ont même donné naissance à un sous-domaine de mathématiques à part : la trigonométrie.
Trigonométrie
La trigonométrie est concernée par les rapports trigonométriques, notamment le sinus, le cosinus et la tangente. Ces rapports sont définis à partir d'un triangle rectangle. Dans la vie réelle, nous pouvons utiliser le sinus, le cosinus et la tangente afin de savoir comment sont distribuées les forces qui s'appliquent à un objet. Cela nous permettrait, par exemple, de bien construire un pont.
Fig. 3 - Les fonctions sinus et cosinus
Nous pouvons étendre la définition de ces rapports à tout angle dans n'importe quelle forme. De plus, le concept de fonctions trigonométriques a été formalisé. Ces fonctions trouvent de nombreuses applications, notamment dans la génération et la transmission de l'électricité. Même si la trigonométrie est un outil puissant, il y a certains problèmes qui requièrent également l'utilisation des vecteurs.
Vecteurs
Les vecteurs représentent le déplacement d'un point à un autre. En physique, les vecteurs sont utilisés pour modéliser certaines grandeurs telles que les forces. Nous utilisons des vecteurs pour ces grandeurs car les vecteurs disposent d'une valeur (ou longueur), ainsi que d'une direction et d'un sens.
Fig. 4 - Exemple d'un vecteur
Dans cette image, la flèche verte symbolise un vecteur qui lui-même représente un déplacement de 9 unités vers la droite et de 6 unités vers le haut.
Pour pouvoir manipuler les vecteurs, il faut savoir les règles du calcul vectoriel, ainsi que certaines des propriétés importantes des vecteurs, comme la colinéarité et la relation de Chasles. Souvent, nous manipulons des vecteurs afin de résoudre des problèmes de géométrie dans le plan, mais nous pouvons aussi les appliquer à la géométrie dans l'espace.
Géométrie dans l'espace
La géométrie dans l'espace est similaire à la géométrie dans le plan : il y a juste une dimension en plus. Or, avoir trois dimensions au lieu de deux change pas mal de choses. D'abord, trouver l'équation d'une droite est un peu plus compliqué. De plus, il est aussi important de savoir trouver des équations de plans, ainsi que les intersections entre droites et plans. C'est un peu différent, mais avec un peu de pratique, tu trouveras que c'est une thématique assez intéressante !
Fig. 5 - Exemple d'un problème de géométrie dans l'espace
Géométrie - Points clés
- En géométrie, nous étudions les formes géométriques, qui sont clairement définies et qui ont des propriétés intéressantes.
- Parmi les formes géométriques, les triangles présentent une multitude de propriétés intéressantes.
- La trigonométrie est l'étude des fonctions trigonométriques, telles que le sinus, le cosinus et la tangente.
- Les vecteurs, très utiles en physique, disposent d'une valeur, d'une direction et d'un sens.
- Aborder des problèmes de géométrie dans l'espace requiert une couche supplémentaire de connaissances.
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