CCC et CAC

Deux triangles équilatéraux sont positionnés l'un à côté de l'autre. Si tu ne sais pas ce qu'est un triangle équilatéral, cela signifie simplement un triangle dont tous les côtés sont égaux.

Ces deux triangles sont-ils congruents ?

Deux triangles équilatéraux - StudySmarter Original

Ainsi, par simple observation, on peut voir que les deux équilatéraux sont effectivement identiques (égaux) à la fois en longueur et en angle.

C'est un cas idéal pour appliquer le théorème SSS afin de prouver la congruence. Donc, côté-côté-côté - les trois côtés respectifs sont égaux entre ces triangles. Tu peux regarder l'image ci-dessus pour mieux comprendre. Nous pouvons dire que le premier triangle est congruent au deuxième triangle :

Triangle_1 ≅ Triangle_2

Voici deux triangles positionnés différemment l'un de l'autre - un triangle est tourné par rapport à l'autre. Ces triangles sont-ils congruents ?

Triangles orientés différemment - StudySmarter Original

En regardant les longueurs des côtés des deux triangles, il est évident que les triangles donnés sont congruents étant donné le théorème SSS :

ABC ≅ DEF

Dans cet exemple, l'ordre des lettres montre également que les côtés d'un triangle sont égaux aux côtés respectifs de l'autre triangle. ABC et DEF sont rangés par ordre alphabétique et les côtés respectifs AB, BC, CA sont égaux en longueur à DE, EF, FD consécutivement. Ce n'est pourtant pas si évident en regardant l'image ci-dessus. S'il n'y avait pas de lettres pour nommer les triangles, tu devrais d'abord comprendre que les triangles sont tournés l'un par rapport à l'autre.

Dans la figure ci-dessous, la ligne XY est équidistante de la ligne MN. Le triangle YMX est-il congruent avec le triangle YNX ?

Image 1 des triangles congruents formés à partir de lignes équidistantes - StudySmarter Original

Solution

La ligne XY étant équidistante de la ligne MN, cela signifie qu'elle coupe MN en son milieu. Cela implique que ;

$\overline{MX}=\overline{XN}\overline{MY}=\overline{YN}$

Maintenant, les deux triangles YMX et YNX ont le même troisième côté XY.

Par conséquent ;

$△YMX\cong △YNX$

Deux triangles sont donnés l'un à côté de l'autre. Le premier triangle a un angle de 60º et les deux côtés qui le forment ont tous deux une longueur de 6. Même cas pour le deuxième triangle. Ces triangles sont-ils congruents ?

Triangles à angles égaux et côtés respectifs - StudySmarter Original

Tu penses peut-être que c'est assez facile, hein ? Plutôt banal peut-être ?

C'est vrai ! Rien qu'en regardant l'image, tu peux dire qu'il s'agit du même cas que le premier exemple de SSS, sauf que les côtés sont de longueurs différentes. Dans ce cas, cependant, les informations données sur les triangles ne concernent que les longueurs de deux côtés et l'angle entre les deux. Si tu connais déjà bien les triangles équilatéraux, tu peux dire immédiatement qu'ils sont tous les deux congruents, même sans l'image.

Si l'on ne tient compte que des informations données, les triangles de cet exemple sont congruents étant donné la condition SAS :

Triangle_1 ≅ Triangle_2

Trois triangles sont positionnés différemment les uns des autres. Vois l'image ci-dessous.

Triangles positionnés différemment - StudySmarter Original

Ces triangles sont-ils congruents ?

Tu peux voir que les triangles sont tous tournés les uns par rapport aux autres. En regardant les valeurs données sur les triangles, nous pouvons voir que ABC n'est pas congruent à DEF parce que les angles entre les côtés égaux correspondants AB, BC et DE, FE ne sont pas égaux. Cependant, ABC et XYZ sont congruents en raison du théorème SAS, car ils ont tous deux des côtés respectifs égaux et l'angle formé par eux est également le même :

ABC ≅ XYZ

Une image montrant trois diagrammes qui illustrent les théorèmes SSS et SAS - StudySmarter Original

La figure ci-dessous est composée de trois diagrammes étiquetés I, II et III. Détermine les points suivants :

a) Sont-ils tous congruents ?

b) Lequel (lesquels) est (sont) congru(s) SSS ?

c) Lequel (lesquels) est (sont) congru(s) en SAS ?

d) Si l'aire du ΔMON est de ^60m2, que ∠PRQ est de 60° et que la ligne PR mesure 10m, trouve QR.

Solution

a) D'après la figure ci-dessus, le diagramme I a les deux triangles réunis ont deux de leurs côtés et un angle égaux. Ainsi, par rapport au théorème SAS, on peut dire que les deux triangles en I sont congruents.

Dans le diagramme II, les trois côtés des deux angles sont identiques ; ainsi, en accord avec le théorème SSS, les deux triangles du diagramme II sont congruents.

Dans le diagramme III, les deux triangles ont deux de leurs côtés et un angle égaux. Ainsi, conformément au théorème SAS, nous pouvons dire que les deux triangles du diagramme III sont congruents.

b) En se basant sur la solution précédente de la question a), on peut dire que seul le diagramme II est SSS congruent.

c) En se basant sur la solution précédente de la question a), on peut dire que les deux diagrammes I et III sont congruents SAS.

d) Puisque les triangles MON et PQR sont congruents SAS, c'est-à-dire ;

$△MON\cong △PQR$

Alors ;

$Areaof△MON=60m^{2}Areaof△PQR=60m^2$

Pour trouver la ligne QR lorsque PR est donné, nous savons que ;

$Areaof△PQR==\overline{PR}\times \overline{QR}\times \cos (\angle PRQ)60m^2=10m\times \overline{QR}\times \cos 60°$

Fais de la droite QR le sujet de la formule en divisant les deux côtés de l'équation par le produit de 10m et cos60° pour obtenir ;

$\overline{QR}=\frac{60m^2}{10m\times \cos 60°}$

Rappelle-toi que

$\cos 60°=0.5$

Par conséquent ,

$\overline{QR}=\frac{60m^2}{10m\times 0.5}\overline{QR}=\frac{60m^2}{5m}\overline{QR}=\frac{{\cancel{60}}^m\cancel{m^2}}{\cancel{5^1}\cancel{m}}\overline{QR}=12m$