Systèmes de coordonnées: Mathématiques, Géométrie

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Les systèmes de coordonnées sont des systèmes utilisés pour décrire la position de points dans un espace défini à l'aide d'un ou de plusieurs nombres.

Signification des systèmes de coordonnées

Il existe de nombreux types de systèmes de coordonnées, certains te sont peut-être très familiers, comme les simples lignes de nombres, et d'autres moins, comme les systèmes de coordonnées polaires. Ce que tous les systèmes de coordonnées ont en commun, c'est qu'ils nous permettent de décrire la position d'un point dans l'espace par rapport à une certaine origine, c'est-à-dire le point zéro du système.

La droite numérique ci-dessous est un exemple très simple de système de coordonnées.

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La position d'un point sur la droite numérique peut être exprimée par un seul nombre. Ce nombre indique essentiellement la distance horizontale de ce point par rapport à l'origine, c'est-à-dire à l'endroit où le symbole $0$ est marqué. La position de tout point dans le système de coordonnées se fait en référence à l'origine.

Par exemple, le point $A$ sur la droite numérique ci-dessous se trouve à 3 unités de l'origine.

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Examinons maintenant de plus près certains des principaux systèmes de coordonnées que tu pourrais rencontrer.

Différents types de systèmes de coordonnées

Il existe deux principaux types de systèmes de coordonnées en mathématiques : le système de coordonnées cartésiennes et le système de coordonnées polaires. Le système de coordonnées cartésiennes est défini par les distances le long d'un ensemble de droites numériques perpendiculaires, tandis que le système de coordonnées polaires est défini par un angle et une distance radiale. Approfondissons chacun de ces systèmes pour mieux les comprendre.

Le système de coordonnées cartésiennes

En combinant une droite numérique verticale et une droite numérique horizontale, nous obtenons le système de coordonnées cartésiennes. Chacune de ces lignes numériques est appelée axe, et l'ensemble crée un plan appelé plan de coordonnées.

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Tout point du plan de coordonnées peut être décrit à l'aide de deux nombres, l'un décrivant la distance le long de l'axe horizontal, également appelé axe des x, et l'autre décrivant la distance vers le haut de l'axe vertical, également appelé axe des y. Chacun de ces nombres est appelé une coordonnée.

La notation des coordonnées d'un point dans le système de coordonnées cartésiennes est simplement une paire de nombres entre parenthèses, le premier représentant la distance d'un point par rapport à l'origine le long de l'axe des x, et l'autre représentant la distance d'un point par rapport à l'origine le long de l 'axe des y.

Par exemple, le point $B$ sur le système de coordonnées cartésiennes ci-dessous a pour coordonnées $(2, 3)$ car il se trouve à $2$ le long de l'axe $x$ -et $3$ s'élève le long de l'axe $y$ l'axe -.

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En prolongeant chaque axe, $x$ et $y$ pour inclure les nombres inférieurs à zéro, c'est-à-dire les nombres négatifs, nous pouvons révéler toute l'étendue du plan de coordonnées cartésiennes.

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Si le point est situé dans le quadrant supérieur droit, les deux coordonnées x et y seront positives.
Si le point est situé dans le quadrant supérieur gauche, la coordonnée x sera négative et la coordonnée y sera positive.
Si le point est situé dans le quadrant inférieur gauche, les deux coordonnées x et y seront négatives.
Enfin, si le point est situé dans le quadrant inférieur droit, la coordonnée x sera positive et la coordonnée Y sera négative.

(1)

Quelles sont les coordonnées du point C dans le système de coordonnées cartésiennes ci-dessous ?

Systèmes de coordonnées trouver les coordonnées, StudySmarter Coordonnées dans le quadrant supérieur gauche du plan de coordonnées cartésiennes, StudySmarter.

Solution :

En remarquant que le point C est situé dans le quadrant supérieur gauche, on peut affirmer qu'il doit avoir une coordonnée positive $y$ et une coordonnée négative $x$ négative.

A partir de l'observation, nous pouvons déduire que la coordonnée x est $3$ car la distance horizontale perpendiculaire entre le point C et l'axe des y est de 3 unités.

En revanche, la coordonnée y est $5$ , puisque la distance verticale perpendiculaire entre le point C et l'axe des x est de 5 unités.

Par conséquent, les coordonnées cartésiennes du point C sont les suivantes $(- 3, 5) .$

(2)

Quelles sont les coordonnées du point D dans le système de coordonnées cartésiennes ci-dessous ?

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Solution :

En remarquant que le point D est situé dans le quadrant inférieur gauche, nous pouvons affirmer qu'il doit avoir une coordonnée négative. $y$ et une coordonnée négative $x$ coordonnées.

À partir de l'observation, nous pouvons déduire que la coordonnée x est $3$ car la distance horizontale perpendiculaire entre le point D et l'axe des y est de $3$ unités.

D'autre part, la coordonnée y est $3,$ puisque la distance verticale perpendiculaire entre le point C et l'axe des x est de $3$ unités.

Par conséquent, les coordonnées cartésiennes du point C sont $(- 3, - 3) .$

Il convient de mentionner que deux cas particuliers se produisent lorsque le point est situé sur l'axe des x ou sur l'axe des y.

Ce concept peut être mieux expliqué par les deux exemples suivants :

(3)

Quelles sont les coordonnées du point E dans le système de coordonnées cartésiennes ci-dessous ?

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Solution :

Comme le point E se trouve en fait sur l'axe des ordonnées, la distance qui le sépare de l'origine sur l'axe des abscisses est en fait la suivante $0,$ Par conséquent, la coordonnée x est $0$ .

D'autre part, comme la distance verticale entre le point E et l'origine est de $2$ unités, il est clair que la coordonnée y est $2$ .

Nous pouvons donc conclure que les coordonnées cartésiennes de E sont $(0, 2) .$

(4)

Quelles sont les coordonnées du point F dans le système de coordonnées cartésiennes ci-dessous ?

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Solution :

Puisque le point F se trouve sur l'axe des x, la distance qui le sépare de l'origine le long de l'axe des y est de $0,$ Par conséquent, la coordonnée y est $0 .$

D'autre part, comme la distance horizontale entre le point F et l'origine est de $5$ unités, il est clair que la coordonnée x est $5 .$

Nous pouvons donc conclure que les coordonnées cartésiennes de E sont $(5, 0) .$

Après les deux exemples donnés précédemment, nous pouvons conclure ce qui suit :

Si un point est situé sur l'axe des y, alors la $x$ est $0 .$
Si un point est situé sur l'axe des x, la coordonnée est $y$ coordonnées est $0 .$

Système de coordonnées polaires

Le système de coordonnées polaires présente des similitudes avec le système de coordonnées cartésiennes en ce sens que la position de tout point peut être définie par deux nombres. Cependant, au lieu que ces deux nombres indiquent la distance le long d'axes perpendiculaires, dans le cas des coordonnées polaires, les deux nombres indiquent la distance radiale et la distance angulaire.

Qu'est-ce que cela signifie exactement ? Jetons un coup d'œil à un système de coordonnées polaires pour le découvrir !

Tu peux voir que le système de coordonnées polaires ci-dessous, au lieu d'être constitué de deux axes perpendiculaires, est en fait constitué de plusieurs cercles concentriques, dont les lignes radiales partant de leur centre commun indiquent les angles.

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On peut trouver n'importe quel point de ce système de coordonnées en se déplaçant d'abord le long de la droite numérique à $0 °$ de la valeur souhaitée, puis en effectuant une rotation circulaire. En fait, les deux coordonnées sont un rayon, id="5218688" role="math", et un angle id="5218688" role="math" $r$ et un angle id="5218689" role="math" $θ$ . Cela s'écrit comme suit $(r, θ) .$

Prenons l'exemple du point A ci-dessous. Pour atteindre le point A, il suffit de se déplacer sur la droite numérique id="5218691" role="math" $3$ puis d'effectuer une rotation de id="5218690" role="math" $30 ° .$

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Nous pourrions donc dire que les coordonnées polaires du point A sont les suivantes $(3, 30 °) .$ Cependant, dans les systèmes de coordonnées polaires, les coordonnées sont le plus souvent exprimées en radians plutôt qu'en degrés.

Pour convertir les degrés en radians, il suffit de multiplier par $\frac{π}{180} .$ Par conséquent, $30 °$ en radians est

$30 ° = 30 ° \times \frac{π}{180} = \frac{π}{6}$

Nos nouvelles coordonnées polaires pour le point A sont donc $(3, \frac{π}{6}) .$

Prenons un autre exemple pour nous assurer que nous avons bien compris !

Quelles sont les coordonnées polaires des points B et C dans le système de coordonnées polaires ci-dessous ? Les angles doivent être convertis en radians.

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Solution :

En commençant par le point B, nous pouvons voir qu'il peut être atteint en se déplaçant le long de $3$ unités le long de la ligne des nombres à $0 °,$ et en effectuant une rotation d'une distance angulaire de $90 ° .$ Par conséquent, les coordonnées polaires du point B sont $(3, 90 °) .$

Pour convertir $90 °$ en radians, il suffit de les multiplier par $\frac{π}{180}$ et donc

$90 ° = 90 \times \frac{π}{180}$

$= \frac{π}{2}$

Les coordonnées polaires du point B sont donc $(3, \frac{π}{2})$ .

Il suffit maintenant de faire la même chose pour le point C. Nous voyons qu'il peut être atteint en se déplaçant le long de $2$ unités le long de la ligne des nombres à $0 °,$ et en effectuant une rotation sur une distance angulaire de $240 ° .$ Les coordonnées polaires du point C sont donc $(2, 240 °)$ .

Mais attends ! une rotation de $240 °$ est la même chose qu'une rotation de $- 120 °$ . Par conséquent, les coordonnées polaires peuvent également être écrites comme suit $(2, - 120 °) .$ En multipliant chaque angle par $\frac{π}{180}$ nous obtenons que le point C a des coordonnées polaires $(2, \frac{4 π}{3})$ ou alternativement $(2, - \frac{2 π}{3}) .$

Mais comment convertir les coordonnées dans les systèmes de coordonnées cartésiennes et polaires ? Jetons un coup d'œil !

Conversion des systèmes de coordonnées

La conversion entre les deux systèmes de coordonnées est simple si nous utilisons certaines de nos connaissances en trigonométrie.

Considère le triangle rectangle suivant dans le plan de coordonnées cartésiennes. Sur ce triangle, les coordonnées cartésiennes et polaires du point A ont été marquées, $(x, y)$ et $(r, θ)$ respectivement.

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En utilisant la trigonométrie simple, nous pouvons constater que les équations suivantes sont vraies

id="5218709" role="math" $y = r \sin (θ)$ et id="5218708" role="math" $x = r \cos (θ)$

Ces équations nous permettent de convertir les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes.

En considérant le théorème de Pythagore, nous pouvons trouver l'équation suivante pour id="5218710" role="math". $r$

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Trouver la position angulaire, $θ$ est alors un simple cas d'utilisation de la trigonométrie une fois de plus

id="5218711" role="math" $θ = \sin^{- 1} (\frac{y}{r})$ ou $θ = \cos^{- 1} (\frac{x}{r})$

Prenons quelques exemples pour nous assurer que nous avons bien compris !

(1)

Convertis les coordonnées cartésiennes, $(2, 4)$ en coordonnées polaires.

Solution :

Pour trouver les coordonnées polaires, il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore. $r$ il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$r = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

$r = \sqrt{20} = 4.47$

Maintenant, pour trouver les coordonnées polaires, nous utilisons la trigonométrie. $θ$ coordonnées, nous utilisons la trigonométrie

$θ = \sin^{- 1} (\frac{y}{r})$

$θ = \sin^{- 1} (\frac{4}{4.47})$

$θ = \sin^{- 1} (0.89) = 1.01$

Les coordonnées polaires sont donc $(4.47, 1.01)$

Si tu as du mal à trouver la bonne coordonnée angulaire, n'oublie pas de régler ta calculatrice sur les radians !

(2)

Convertis les coordonnées polaires suivantes, $(3, 2)$ en coordonnées cartésiennes.

Solution :

Pour convertir les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes, nous utilisons les équations trigonométriques simples suivantes.

$x = r \sin (θ)$ et $y = r \cos (θ)$

En commençant par la $x$ coordonnées

$x = r \sin (θ)$

$x = 3 \sin (2) = 2.73$

Et ensuite la coordonnée $y$ coordonnées

$y = r \cos (θ)$

$y = 3 \cos (2) = - 1.25$

Les coordonnées cartésiennes sont donc $(2.73, - 1.25)$

Utilisation des systèmes de coordonnées

Les systèmes de coordonnées sont fréquemment utilisés pour représenter l'emplacement d'un point, mais ils peuvent également être utilisés pour spécifier l'emplacement de formes plus complexes comme les lignes, les plans, les cercles ou les sphères.

L'utilisation la plus importante et la plus ancienne des systèmes de coordonnées est peut-être celle des cartes. Les cartes du monde utilisent un système de coordonnées géographiques spécial qui présente des similitudes avec le système de coordonnées cartésiennes. Les positions sur les cartes du monde sont constituées d'une coordonnée de latitude et d'une coordonnée de longitude.

Comme nous l'avons mentionné plus haut dans l'explication, les écrans utilisent également des systèmes de coordonnées. Chaque pixel d'un écran possède une coordonnée qui spécifie sa place horizontalement et verticalement. Cela donne à chaque pixel un identifiant unique qui permet de le localiser et de le contrôler. Tout cela se passe en arrière-plan de l'appareil sur lequel tu lis ces lignes !

Une version modifiée des coordonnées polaires est utilisée dans de nombreuses formes de navigation. Les coordonnées polaires sont idéales pour la navigation car la position relative peut être définie par l'angle de mouvement souhaité et la distance entre les points. Le modèle de vitesse et de direction est un système de guidage utilisé dans les missiles qui interceptent une cible en mouvement, et il est basé sur l'idée des coordonnées polaires !

Systèmes de coordonnées - Points clés à retenir

Les systèmes de coordonnées sont utilisés pour localiser la position d'un point dans le plan.
Dans les systèmes de coordonnées à deux dimensions, chaque point est représenté par deux nombres entiers.
Les deux systèmes de coordonnées les plus courants sont le système cartésien et le système polaire.
Nous pouvons convertir les systèmes de coordonnées polaires et cartésiennes à l'aide d'un mélange de trigonométrie et du théorème de Pythagore.

Fiches dans Systèmes de coordonnées 4

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Si un point se trouve dans le troisième quadrant d'un plan, alors :

x et y seront négatifs

Si un point se trouve dans le quatrième quadrant d'un plan, alors :

x sera positif et y sera négatif.

Si un point se trouve sur l'axe des x vers la droite, alors :

x est positif et y=0

Si un point se trouve sur l'axe des ordonnées et sous le point central O, alors :

x=0 et y est négatif

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Questions fréquemment posées en Systèmes de coordonnées

Qu'est-ce qu'un système de coordonnées?

Un système de coordonnées est un système utilisé pour déterminer la position d'un point dans l'espace en utilisant des valeurs numériques, comme les coordonnées cartésiennes (x,y).

Comment utiliser les coordonnées polaires?

Les coordonnées polaires utilisent un rayon et un angle pour localiser un point. Ce point est défini par (r, θ), où r est la distance à l'origine et θ est l'angle par rapport à l'axe x.

Pourquoi utiliser des coordonnées cartésiennes?

Les coordonnées cartésiennes sont faciles à utiliser pour représenter la géométrie et les mouvements dans un plan. Elles utilisent deux axes perpendiculaires, généralement notés x et y.

Quelle est la différence entre coordonnées cartésiennes et polaires?

Les coordonnées cartésiennes utilisent des distances horizontales (x) et verticales (y), tandis que les coordonnées polaires utilisent une distance radiale (r) et un angle (θ) à partir de l'origine.

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