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Géométrie dans l'espace

Tu peux facilement reconnaître que \(y = 3x + 5\) est une équation d'une droite dans le plan. Alors, sais-tu à quoi ressemble l'équation d'une droite dans l'espace ? Dans ce résumé de cours, nous présenterons d'abord les équations des droites et des plans dans l'espace. Par la suite, nous discuterons les aspects importants des points coplanaires et des droites coplanaires. Après, nous nous pencherons sur la position relative de deux plans, y compris l'intersection de deux plans.

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Tu peux facilement reconnaître que \(y = 3x + 5\) est une équation d'une droite dans le plan. Alors, sais-tu à quoi ressemble l'équation d'une droite dans l'espace ? Dans ce résumé de cours, nous présenterons d'abord les équations des droites et des plans dans l'espace. Par la suite, nous discuterons les aspects importants des points coplanaires et des droites coplanaires. Après, nous nous pencherons sur la position relative de deux plans, y compris l'intersection de deux plans.

Reconnaître l'équation cartésienne d'une droite dans l'espace

Il y a deux façons pour définir des formes dans l'espace. Nous parlerons des équations cartésiennes et des représentations paramétriques.

Nous ne présenterons que les équations cartésiennes dans ce résumé de cours. Pour développer pleinement tes connaissances sur la géométrie dans l'espace, consulte notre résumé sur la représentation paramétrique.

Considérons une droite dont un point est \((x_0, y_0, z_ 0)\) et dont un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\). Supposons que ce vecteur directeur ne contient aucun coefficient nul. Cette droite aura pour équation cartésienne : \[\frac{x - x_0}{u} = \frac{y - y_0}{v} = \frac{z - z_0}{w}\]

Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une droite. En effet, si nous multiplions une équation cartésienne par un nombre réel, nous obtenons une autre équation cartésienne.

\(\frac{x + 2}{-2} = y = 2(z -1)\) est une équation cartésienne de la droite qui passe par le point \((-2, 0, 1)\) avec vecteur directeur \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\).

Si certains composants du vecteur directeur sont nuls, certains membres de l'équation seront constants.

Considérons une droite qui passe par le point \((-2, 0, 1)\) et dont un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Une équation cartésienne de la droite sera donc \(\begin{cases} \frac{x + 2}{-2} = y \\ z = 1 \end{cases}\).

L'équation d'une droite a une forme différente de celle d'un plan. Cela dit, l'équation d'un plan est quand même assez simple à comprendre.

Reconnaître l'équation d'un plan

Nous pouvons considérer l'équation cartésienne d'un plan, ou sa représentation paramétrique.

Nous ne présenterons que l'équation cartésienne d'un plan dans cette section. N'hésite pas à consulter notre résumé de cours sur la représentation paramétrique pour plus d'informations.

Une équation cartésienne d'un plan prend la forme \(ax +by + cz + d = 0 \), où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des réels. Dans ce contexte, \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan.

Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan ?

Un vecteur normal à un plan est un vecteur qui est perpendiculaire au plan. Il existe un nombre infini de vecteurs normaux à un plan. En effet, si nous multiplions un vecteur normal par un scalaire, le vecteur résultant obtenu est colinéaire, et est donc aussi perpendiculaire au plan.

Considérons un plan dont une équation cartésienne est \(x - 2y + \frac{1}{2}z = -5 \). Nous pouvons en déduire de la forme de l'équation que \(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan.

Si nous connaissons un vecteur normal au plan et un point du plan, nous pouvons déterminer une équation du plan.

Considère un plan dont un vecteur normal est \(\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Si \((0, -2, 1)\) est un point du plan, sais-tu comment déterminer une équation du plan ?

Comme \(\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal, le plan aura pour équation \(-x - 2y + 2z + d = 0 \).

Nous devrons alors déterminer la constante \(d\). Pour cela, nous pouvons exploiter les coordonnées du point donné au début.

Comme \((0, -2, 1)\) est un point du plan, ses coordonnées satisfont l'équation du plan :

\(-(0) - 2(-2) + 2(1) + d = 0 \)

\(6 + d = 0 \)

\(d = -6 \)

Enfin, une équation du plan est \(-x - 2y + 2z -6 = 0 \).

Nous avons vu qu'il est possible de déterminer une équation d'un plan en utilisant un vecteur normal et un point du plan. Or, nous pouvons également définir un plan à l'aide des points coplanaires.

Les propriétés des points coplanaires

Trois points quelconques appartiendront toujours à un même plan. En effet, si les trois points sont non colinéaires, alors ces points définissent un plan spécifique. En revanche, si deux points, ou tous les trois points, sont alignés, ces points ne définissent pas de plan spécifique. Ces trois points sont néanmoins dans le même plan. Pour cela, la coplanarité n'est évoquée que pour quatre points.

Quatre points sont des points coplanaires s'ils appartiennent au même plan.

Des points appartiennent à un plan si leurs coordonnées satisfont l'équation du plan.

Est-ce que le point \((0,1,1)\) se trouve sur le plan \(x + 2y + z = 3\) ?

\((0) + 2(1) + (1) = 3\), donc ce point est sur le plan d'équation \(x + 2y + z = 3\).

La coplanarité est un concept qui s'applique également aux droites.

Les propriétés des droites coplanaires

Deux droites coplanaires appartiennent à un même plan. Il faut garder à l'esprit que des droites coplanaires sont soit sécantes soit parallèles. La réciproque est aussi vraie : si des droites sont parallèles ou sécantes, il s'agit de droites coplanaires. Nous pouvons utiliser cette propriété pour démontrer que deux droites sont coplanaires.

Nous rappelons que deux droites sont sécantes si elles ont un point d'intersection, c'est-à-dire, un point vérifié par les deux équations. De plus, deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Les droites \(\frac{x - 1}{2} = y - 2 = \frac{z - 3}{-3}\) et \(3x = 6y + 1 = -2z\) sont parallèles. Vois-tu pourquoi ?

En effet, nous pouvons observer qu'un vecteur directeur de la première droite est \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) et un vecteur directeur de la seconde droite est \(\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\).

Comme ces vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles.

Dans le plan, les droites ne sont que parallèles ou sécantes. Dans l'espace, la position relative des plans est un peu plus complexe.

Comment déterminer la position relative de deux plans

Il y a trois cas de figure à considérer quant à la position relative de deux plans. Le premier c'est le cas de deux plans confondus. Il s'agit de deux équations pour le même plan.

Les plans représentés par les équations \(x - 2y + \frac{1}{2}z = -5 \) et \(-2x + 4y -z = 10 \) sont confondus.

La deuxième situation est le cas de deux plans parallèles. Il y a deux théorèmes que nous pouvons utiliser pour démontrer que deux plans sont parallèles :

  • deux plans sont parallèles si et seulement si un des plans contient deux droites sécantes et parallèles à l'autre plan ;

  • si deux plans sont parallèles, tout plan ayant une intersection avec un des ces plans aura une intersection avec l’autre. De plus, ces intersections sont des droites parallèles.

Or, dans le contexte de géométrie analytique, ces approches ne sont pas très utiles. Si nous disposons des équations des plans, nous pouvons considérer leurs vecteurs normaux. En effet, deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont parallèles — et si les plans ne sont pas confondus.

Les plans représentés par les équations \(x - 2y + \frac{1}{2}z = -1 \) et \(-2x + 4y -z = 10 \) sont parallèles et distincts.

Le dernier cas concerne l'intersection de deux plans.

L'intersection de deux plans

Deux droites ont un point d'intersection, mais deux plans peuvent avoir une droite d'intersection. Pour obtenir la droite d'intersection de deux plans, nous résolvons un système d'équations avec les équations des deux plans.

Est-ce que tu peux déterminer la droite d'intersection des plans \(x - y + z = 1 \) et \(x + y -z = 2 \) ?

Nous pouvons utiliser des approches classiques pour résoudre ces systèmes d'équations, à savoir la substitution et la combinaison linéaire. Procédons par combinaison linéaire.

Additionnons les deux équations :

\(x - y + z + x + y -z = 1 +2 \)

\(2x = 3 \)

\(x = \frac{3}{2}\)

Substituons cette valeur de \(x\) dans une des équations des plans.

\(\frac{3}{2} + y -z = 2 \)

\(y -z = \frac{1}{2} \)

Nous pouvons obtenir la même équation si nous substituons la valeur de \(x\) dans l'équation de l'autre plan.

\(\frac{3}{2} - y + z = 1\)

\(- y + z = - \frac{1}{2} \)

\(y - z = \frac{1}{2} \)

La droite d'intersection des deux plans est donc donnée par les équations \(\begin{cases} y -z = \frac{1}{2} \\ x = \frac{3}{2} \end{cases}\).

Pour déterminer l'intersection d'un plan et d'une droite, la méthode est similaire.

Comment déterminer l'intersection d'un plan et d'une droite

Il y a trois cas de figure lorsque nous considérons la position relative d'un plan et d'une droite. Le premier cas est lorsque le plan et la droite sont parallèles. Le deuxième cas est quand la droite se trouve dans le plan : tous les points de la droite sont également des points du plan. La troisième situation est lorsque l'intersection du plan et de la droite est un point. Voyons un exemple comment déterminer le point d'intersection d'un plan et d'une droite.

Est-ce que tu peux déterminer le point d'intersection du plan \(x - y + z = 1 \) et de la droite \(x = 1 -y = 2 - z\) ?

Résolvons le système d'équations par substitution.

D'après l'équation de la droite, nous pouvons remplacer \(x\) avec \(1- y\) dans l'équation du plan.

\(1 - y - y + z = 1\)

\(-2y + z = 0 \)

Pour obtenir \(y\) ou \(z\), nous devons faire une autre substitution. Remplaçons \(z\) avec \(1 + y\).

\(-2y + 1 + y = 0\)

\(1 - y = 0 \)

\(y = 1\)

Substituons cette valeur de \(y\) dans l'équation de la droite pour obtenir les autres coordonnées du point d'intersection.

\(x = 1 - 1 = 0\)

\(1 -1 = 2 - z\)

\(z = 2\)

Enfin, le point d'intersection de la droite et du plan est \((0,1,2)\)

Géométrie dans l'espace - Points clés

  • Une équation cartésienne d'une droite dont un point est \((x_0, y_0, z_ 0)\) et dont un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\) est \[\frac{x - x_0}{u} = \frac{y - y_0}{v} = \frac{z - z_0}{w}\]
  • Une équation cartésienne d'un plan dont un vecteur normal est \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) est \[ax +by + cz + d = 0 \] où \(d\) est un réel.
  • Nous pouvons vérifier que quatre points sont coplanaires si leurs coordonnées vérifient l'équation du plan.
  • Deux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.
  • Il y a trois cas à considérer quant à la position relative de deux plans : des plans confondus, des plans parallèles et distincts, et des plans qui se coupent en une droite. Pour déterminer la droite d'intersection de deux plans, nous résolvons un système formé des équations des deux plans.

Questions fréquemment posées en Géométrie dans l'espace

Pour résoudre plus facilement des problèmes de géométrie, il faut d'abord bien connaître les différents théorèmes et propriétés géométriques. Par contre, cela ne suffit pas, il faut beaucoup s'entraîner avec des exercices d'application. 

Deux droites coplanaires appartiennent à un même plan. Il faut garder à l'esprit que des droites coplanaires sont soit sécantes soit parallèles. La réciproque est aussi vrai.

Si les droites sont parallèles ou sécantes, alors il s'agit de droites coplanaires. Deux droites sont sécantes si elles ont un point d'intersection. De plus, deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Une équation cartésienne d'un plan prend la forme ax +by + cz + d = 0, ou (a b c) est un vecteur normal au plan et d est un réel. Nous pouvons également utiliser la représentation paramétrique pour définir un plan dans l'espace. 

Deux plans sont sécants s'ils ne sont pas parallèles. Il suffit donc de justifier que les vecteurs normaux des plans ne sont pas colinéaires. 

Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

Quelle équation est l'équation cartésienne d'un plan ?

Quelle équation est l'équation cartésienne d'une droite ? 

Une représentation paramétrique prend la forme d'un système d'équations.

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