Géométrie dans l'espace

Reconnaître l'équation cartésienne d'une droite dans l'espace

Il y a deux façons pour définir des formes dans l'espace. Nous parlerons des équations cartésiennes et des représentations paramétriques.

Considérons une droite dont un point est \((x_0, y_0, z_ 0)\) et dont un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\). Supposons que ce vecteur directeur ne contient aucun coefficient nul. Cette droite aura pour équation cartésienne : \[\frac{x - x_0}{u} = \frac{y - y_0}{v} = \frac{z - z_0}{w}\]

Si certains composants du vecteur directeur sont nuls, certains membres de l'équation seront constants.

L'équation d'une droite a une forme différente de celle d'un plan. Cela dit, l'équation d'un plan est quand même assez simple à comprendre.

Reconnaître l'équation d'un plan

Nous pouvons considérer l'équation cartésienne d'un plan, ou sa représentation paramétrique.

Une équation cartésienne d'un plan prend la forme \(ax +by + cz + d = 0 \), où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des réels. Dans ce contexte, \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan.

Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan ?

Un vecteur normal à un plan est un vecteur qui est perpendiculaire au plan. Il existe un nombre infini de vecteurs normaux à un plan. En effet, si nous multiplions un vecteur normal par un scalaire, le vecteur résultant obtenu est colinéaire, et est donc aussi perpendiculaire au plan.

Si nous connaissons un vecteur normal au plan et un point du plan, nous pouvons déterminer une équation du plan.

Nous avons vu qu'il est possible de déterminer une équation d'un plan en utilisant un vecteur normal et un point du plan. Or, nous pouvons également définir un plan à l'aide des points coplanaires.

Les propriétés des points coplanaires

Trois points quelconques appartiendront toujours à un même plan. En effet, si les trois points sont non colinéaires, alors ces points définissent un plan spécifique. En revanche, si deux points, ou tous les trois points, sont alignés, ces points ne définissent pas de plan spécifique. Ces trois points sont néanmoins dans le même plan. Pour cela, la coplanarité n'est évoquée que pour quatre points.

Des points appartiennent à un plan si leurs coordonnées satisfont l'équation du plan.

La coplanarité est un concept qui s'applique également aux droites.

Les propriétés des droites coplanaires

Deux droites coplanaires appartiennent à un même plan. Il faut garder à l'esprit que des droites coplanaires sont soit sécantes soit parallèles. La réciproque est aussi vraie : si des droites sont parallèles ou sécantes, il s'agit de droites coplanaires. Nous pouvons utiliser cette propriété pour démontrer que deux droites sont coplanaires.

Dans le plan, les droites ne sont que parallèles ou sécantes. Dans l'espace, la position relative des plans est un peu plus complexe.

Comment déterminer la position relative de deux plans

Il y a trois cas de figure à considérer quant à la position relative de deux plans. Le premier c'est le cas de deux plans confondus. Il s'agit de deux équations pour le même plan.

La deuxième situation est le cas de deux plans parallèles. Il y a deux théorèmes que nous pouvons utiliser pour démontrer que deux plans sont parallèles :

• deux plans sont parallèles si et seulement si un des plans contient deux droites sécantes et parallèles à l'autre plan ;

• si deux plans sont parallèles, tout plan ayant une intersection avec un des ces plans aura une intersection avec l’autre. De plus, ces intersections sont des droites parallèles.

Or, dans le contexte de géométrie analytique, ces approches ne sont pas très utiles. Si nous disposons des équations des plans, nous pouvons considérer leurs vecteurs normaux. En effet, deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont parallèles — et si les plans ne sont pas confondus.

Le dernier cas concerne l'intersection de deux plans.

L'intersection de deux plans

Deux droites ont un point d'intersection, mais deux plans peuvent avoir une droite d'intersection. Pour obtenir la droite d'intersection de deux plans, nous résolvons un système d'équations avec les équations des deux plans.

Pour déterminer l'intersection d'un plan et d'une droite, la méthode est similaire.

Comment déterminer l'intersection d'un plan et d'une droite

Il y a trois cas de figure lorsque nous considérons la position relative d'un plan et d'une droite. Le premier cas est lorsque le plan et la droite sont parallèles. Le deuxième cas est quand la droite se trouve dans le plan : tous les points de la droite sont également des points du plan. La troisième situation est lorsque l'intersection du plan et de la droite est un point. Voyons un exemple comment déterminer le point d'intersection d'un plan et d'une droite.