Composition, Rédaction

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Signification de la composition

En mathématiques, nous pouvons générer une fonction singulière, plus complexe, à partir de plusieurs fonctions simples. Ce processus est connu sous le nom de composition, où l'on considère la sortie d'une fonction comme l'entrée d'une autre fonction.

Une composition de fonctions est un processus mathématique dans lequel deux fonctions sont combinées pour générer une fonction composite. La sortie d'une fonction est utilisée comme entrée d'une autre.

Les fonctions composées peuvent être désignées par $f \circ g$ ou $T \circ S$ où f et g sont des fonctions et T et S des transformations. La composition peut également être désignée par $f (g (x)) .$ La composition de deux fonctions f et g donne une nouvelle fonction h. Il est important de connaître l'ordre des fonctions, car cela affecte la production de la nouvelle fonction composite. Par exemple, utiliser la sortie de la fonction f comme entrée de la fonction g pour obtenir la fonction composite h n'est pas la même chose qu'utiliser la fonction g comme entrée de la fonction f.

Nous pouvons également utiliser le concept de composition en géométrie, appelé composition de transformations, qui se produit sur des formes (ou figures) plutôt que sur des fonctions. En géométrie, les transformations comprennent les translations, les réflexions, les rotations, etc.

Une composition de transformations est un processus dans lequel une combinaison de transformations est effectuée sur une forme ou une figure de façon consécutive, la forme transformée résultant d'une transformation étant utilisée comme point de départ dans la transformation suivante.

Dans cet article, nous explorons la composition à la fois en termes de transformations et de fonctions.

Composition de transformations

Considérons une transformation T qui relie le point A au point B ainsi qu'une autre transformation S qui relie le point B au point C. À partir de ces transformations T et S, nous pouvons produire une nouvelle transformation composite qui peut relier directement le point A au point C, appelée la transformation composite de S et T. Nous la désignons par $S \circ T$ et nous l'appelons "S de T".

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Ici, nous appliquons d'abord la transformation T, puis nous appliquons la transformation S. Nous pouvons donc représenter cette composition par : $C = S (B) = S (T (A)) = (S \circ T) (A)$

Un exemple de composition de transformations est une réflexion de glissement. C'est la composition d'une réflexion et d'une translation.

Déclarations concernant la composition des transformations

Jetons un coup d'œil à quelques théorèmes concernant la composition des transformations.

Théorème 1: Théorème de composition

Une composition de deux isométries est une isométrie.

Théorème2: Théorème des réflexions sur les lignes parallèles

Une composition de réflexions sur deux lignes parallèles est une translation. C'est-à-dire que pour deux droites parallèles l et m, la réflexion dans l puis la réflexion dans m est la même chose qu'une translation.

Théorème3: Théorème de la réflexion sur des lignes sécantes

Une composition de réflexions dans deux droites sécantes est une rotation autour du point d'intersection de ces deux droites. En d'autres termes, si l et m sont deux droites qui se coupent au point O, la réflexion dans l puis la réflexion dans m est la même chose qu'une rotation autour du point O.

Théorème 4: Réflexion sur des droites perpendiculaires

Une composition de réflexions dans des droites perpendiculaires est un demi-tour autour du point d'intersection des droites.

Théorème 5: Composition d'une rotation

La composition pour deux rotations par rapport à un même point est à nouveau une rotation.

Théorème 6: Composition d'une traduction

La composition de deux traductions est également une traduction.

Exemples de composition de traductions

Voyons un exemple travaillé concernant la composition de translations.

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Trouve la composition dans la rotation donnée.

Solution : Ici, le degré de rotation de l'arc PP' est donné comme suit $90 °$ et le degré de rotation de l'arc P'P'' est donné comme suit $45 ° .$ Ensuite, pour le degré de rotation de l'arc PP'', nous utilisons la composition de la rotation. Cela signifie simplement que nous additionnons les degrés de rotation des deux rotations pour obtenir notre composition de rotation.

$\Rightarrow (R C, 90 ° \circ R C, 45 °) = (R C, 135 °)$

Composition de fonctions

Si deux fonctions $f (x)$ et $g (x)$ sont données, nous pouvons les combiner pour créer une nouvelle fonction composite. Cela signifie que nous prenons la fonction g et que nous l'utilisons comme entrée pour l'autre fonction f. La composition de ces fonctions est alors notée $f (g (x))$ ou $(f \circ g) (x) .$ Nous l'appelons "f de g de x".

Nous pouvons également former une fonction composite en utilisant un ordre inverse, où nous considérons la fonction f comme l'entrée de la fonction g. Dans ce cas, nous représentons la fonction composite par $g (f (x))$ ou $(g \circ f) (x) .$

Note que $g (f (x))$ et $f (g (x))$ donneront des fonctions différentes à moins qu'elles ne soient parfaitement inverses (opposées) l'une à l'autre, auquel cas $f (g (x)) = g (f (x)) = x .$

Ordre de composition des fonctions

Lorsqu'il s'agit de composition, l'ordre des fonctions f et g est important à noter et doit être gardé à l'esprit. Un exemple est présenté ici pour mieux comprendre ce concept.

Considérons deux fonctions $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 2 .$ Nous allons maintenant trouver les compositions $f \circ g$ et $g \circ f$ et vérifier si elles donnent les mêmes réponses ou des réponses différentes.

$f \circ g (x) = f (g (x)) = f (x + 2) = {(x + 2)}^{2} = x^{2} + 2 x + 4$

Dans l'équation ci-dessus, nous utilisons la fonction g comme entrée pour la fonction f. Maintenant, considérons une fonction composée dans laquelle nous utilisons la fonction f comme entrée pour la fonction g.

$g \circ f (x) = g (f (x)) = g (x^{2}) = x^{2} + 2$

Nous pouvons voir la différence entre les deux compositions. En d'autres termes , $f \circ g (x) d o e s n o t e q u a l g \circ f (x)$ .

Domaine des fonctions composites

Toutes les valeurs acceptées par une fonction particulière sont appelées le domaine de cette fonction. Cependant, pour une composition de fonctions, nous avons affaire à deux fonctions différentes. Il est donc nécessaire de prendre en compte les deux fonctions lorsqu'il s'agit du domaine d'une fonction composite.

Il arrive que nous ne puissions pas composer certaines fonctions particulières pour toutes les valeurs de x. Dans ce cas, nous restreindrons certaines valeurs de x afin d'utiliser la composition. Ces valeurs restreintes deviennent le domaine de cette fonction. Dans les compositions, le domaine de la deuxième fonction peut être le même que celui de la première fonction ou se situer à l'intérieur de celui-ci.

Nous considérons deux fonctions $f (x) = 4 x - 6, g (x) = x .$ Trouvons ici le domaine de la composition. $g (f (x)) .$

Comme la fonction g est la racine carrée, nous ne pouvons considérer que des valeurs supérieures ou égales à zéro pour x.

Maintenant, pour la fonction f, elle deviendra l'entrée de la fonction g. Donc f doit avoir des valeurs supérieures ou égales à zéro.

Ainsi, la fonction f ne sera possible que si la valeur x est supérieure ou égale à zéro. $f (x) \geq 0$ ne sera possible que si l'on considère la valeur x comme $x \geq \frac{3}{2}$ est considérée.

Ici, la valeur de x est obtenue comme :

$f (x) \geq 0 \Rightarrow 4 x - 6 \geq 0 \Rightarrow 4 x \geq 6 \Rightarrow x \geq \frac{6}{4} \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}$

Par conséquent, la fonction de composition $g (f (x))$ a un domaine de $x \geq \frac{3}{2} .$

Domaine des fonctions composées

L'étendue d'une fonction concerne les valeurs de sortie de cette fonction. Nous pouvons calculer l'étendue de la fonction composite comme nous le faisons pour l'étendue de n'importe quelle autre fonction. L'étendue de la fonction composite peut être la même que la deuxième fonction (c'est-à-dire la fonction extérieure) ou se situer à l'intérieur de celle-ci.

Laisse $f (x) = x - 8, g (x) = x^{2} .$ Nous trouverons la composition $g (f (x)) .$ Ici, la fonction f peut prendre n'importe quelle valeur. Mais la deuxième fonction g est sous forme de carré. Les valeurs seront donc supérieures ou égales à zéro. Maintenant pour la composition $g (f (x))$ nous avons :

$g (f (x)) = g (x - 8) = {(x - 8)}^{2} = x^{2} - 16 x + 64$

Comme f peut être n'importe quoi et qu'on lui applique g, où g peut être supérieur ou égal à zéro, l'étendue de la composition $g (f (x))$ sera supérieur ou égal à zéro.

Exemples de composition de fonctions

Comprenons mieux la composition de fonctions à l'aide de quelques exemples pratiques.

Deux fonctions $f (x) = 3 x$ et $g (x) = 2 x^{2} - 5$ sont données. Trouve la composition $(g \circ f) (x) .$

Solution : Ici, nous devons trouver $g \circ f .$ Nous allons donc d'abord considérer la fonction et nous l'utiliserons ensuite comme entrée pour la fonction g. Nous pouvons donc l'écrire comme suit :

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (3 x) = 2 {(3 x)}^{2} + 5 = 2 (9 x^{2}) + 5 = 18 x^{2} + 5$

Trouve $f (g (- 1))$ pour les fonctions $f (x) = x^{2} - 2 x$ et $g (x) = x - 5 .$

Solution : On nous demande de calculer la composition de f et g lorsque la valeur de x est donnée comme suit. $(- 1) .$ Tout d'abord, nous utilisons la fonction g comme entrée pour la fonction f. Pour ce faire, nous remplaçons la variable x dans la fonction f par la fonction entière de g, c'est-à-dire id="5226030" role="math" $g (x) = x - 5$ .

Remarque: la fonction d'entrée entre dans chaque valeur de x et pas seulement dans la première valeur.

$f (x - 5) = {(x - 5)}^{2} - 2 (x - 5) = x^{2} - 10 x + 25 - 2 x + 10 = x^{2} - 12 x + 35$

Pour la dernière étape, nous entrons simplement la valeur de x, -1, dans l'équation composée ci-dessus.

$f (g (x)) = x^{2} - 12 x + 35 ∴ f (g (- 1)) = {(- 1)}^{2} - 12 (- 1) + 35 = 48$

Nous pouvons également utiliser l'approche suivante pour résoudre la composition. Tout d'abord, nous évaluons $g (x)$ :

$\Rightarrow g (x) = x - 5 ∴ g (- 1) = - 1 - 5 = - 6$

Ensuite, nous poursuivons en utilisant la valeur calculée ci-dessus comme entrée pour la fonction f.

$f (g (- 1)) = f (- 6) = x^{2} - 2 x = {(- 6)}^{2} - 2 (- 6) = 36 + 12 = 48$

$∴ f (g (- 1)) = 48$

Composition - Points clés

Une composition de fonctions est un processus mathématique dans lequel deux fonctions sont combinées pour générer une fonction composite. La sortie d'une fonction est utilisée comme entrée d'une autre.
Une composition de transformations est un processus dans lequel une combinaison de transformations (translations, rotations, réflexions, etc.) est effectuée sur une forme ou une figure de façon consécutive, la forme transformée résultant d'une transformation étant utilisée comme point de départ de la transformation suivante.
Lorsqu'il s'agit de composition, l'ordre des fonctions f et g est important.
Dans la composition, le domaine de la deuxième fonction peut être le même que celui de la première fonction ou se situer à l'intérieur de celui-ci.
L'étendue de la fonction composite peut être la même que la deuxième fonction (c'est-à-dire la fonction extérieure) ou se situer à l'intérieur de celle-ci.

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Questions fréquemment posées en Composition

Qu'est-ce qu'une composition en mathématiques?

Une composition en mathématiques est l'application successive de deux fonctions, notée (f∘g)(x) = f(g(x)).

Comment calculer une composition de fonctions?

Pour calculer une composition de fonctions, on applique d'abord la deuxième fonction à la variable, puis la première au résultat obtenu.

Pourquoi la composition de fonctions est-elle importante?

La composition de fonctions est importante car elle permet de simplifier des expressions complexes et de modéliser des processus en plusieurs étapes.

Quelle est la différence entre la composition et la composition inverse?

La composition inverse consiste à retrouver la valeur originale avant l'application des fonctions, alors que la composition applique les fonctions successivement.

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