Tu connais sûrement le théorème de Pythagore qui ne s'applique qu'aux triangles rectangles, mais savais-tu qu'il existe une généralisation valable pour les triangles quelconques ? Cette formule s'appelle la loi des cosinus.
Dans ce résumé de cours, nous présenterons d'abord le lien entre le cosinus et la loi des cosinus. Nous préciserons ensuite la loi des cosinus, aussi appelée le théorème d'Al-Kashi. Par la suite, nous expliquerons pourquoi cette loi est également appelée le théorème de Pythagore généralisé. Nous détaillerons après comment la loi des cosinus peut être utilisée pour calculer des longueurs ou des angles inconnus. À la fin, tu verras quelques formules utiles pour déterminer le cosinus d'un angle.
Quelle est la différence entre le cosinus et la loi des cosinus ?
Le cosinus d'un angle peut être défini à partir des côtés d'un triangle rectangle ou du cercle trigonométrique. Dans de nombreux contextes, nous déterminons le cosinus à l'aide d'une calculatrice. De plus, pour les angles entre \(0\) ° et \(360\) °, chaque angle peut être déterminé à partir de son cosinus avec la fonction arc cosinus, notée arccos ou cos-1.
La loi des cosinus est un théorème géométrique permettant de calculer des longueurs ou des angles inconnus dans un triangle quelconque. Certes, cette formule intègre le cosinus d'un angle dans son expression. Voyons comment s'exprime la loi des cosinus.
Le théorème d'Al-Kashi
La loi des cosinus est également appelée le théorème d'Al-Kashi. Le théorème d'Al-Kashi est une formule qui porte sur les longueurs et les angles d'un triangle quelconque. Considère un triangle dont les longueurs sont \(a\), \(b\), \(c\) et dont la mesure de l'angle opposé du côté de longueur \(a\) est \(A\). Le théorème d'Al-Kashi s'écrit donc \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\]
Fig. 1 - Les côtés et les angles d'un triangle quelconque
Tu constates peut-être que cette formule est un peu similaire au théorème de Pythagore. Voyons donc pourquoi ce théorème s'appelle également le théorème de Pythagore généralisé.
Le théorème de Pythagore généralisé
La loi des cosinus est également appelée le théorème de Pythagore généralisé. Rappelons-nous brièvement du théorème de Pythagore. Pour un triangle rectangle d'hypoténuse \(a\), nous avons \(a^2 = b^2 + c^2\), où \(b\) et \(c\) sont les autres longueurs du triangle.
Nous pouvons retrouver le théorème de Pythagore en utilisant la loi des cosinus : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). En effet, si la longueur \(a\) est l'hypoténuse, alors l'angle \(A = 90 °\). Nous avons donc \(\cos A = 0\). En remplaçant cette valeur de cosinus dans la loi des cosinus, nous obtenons \(a^2 = b^2 + c^2\) le théorème de Pythagore.
La loi des cosinus est donc considérée comme un théorème de Pythagore généralisé, car elle donne une relation similaire à celle donnée par le théorème de Pythagore. En revanche, la loi des cosinus s'applique à n'importe quel type de triangle.
Ce théorème de Pythagore généralisé s'utilise dans deux cas principaux : pour calculer des longueurs ou pour calculer des angles.
Comment calculer une longueur d'un triangle avec la loi des cosinus ?
Entre autres, la loi des cosinus sert à calculer une longueur dans un triangle quelconque. Dans un premier temps, nous devons remplacer les longueurs connues du triangle, ainsi que l'angle connu, dans la loi des cosinus. Il faut ensuite déterminer le cosinus de l'angle et simplifier l'expression. La dernière étape est de prendre la racine carrée du membre de droite.
Pour résumer les étapes dans le calcul d'une longueur avec la loi des cosinus, nous devons :
remplacer les valeurs connues dans la formule ;
calculer le cosinus de l'angle ;
évaluer la racine carrée de l'expression obtenue.
Regarde un exemple de comment utiliser cette approche.
Peux-tu déterminer la longueur \(x\) dans ce triangle ?
Fig. 2 - Comment calculer une longueur inconnue avec la loi des cosinus
D'abord, remplaçons les valeurs connues dans la loi des cosinus : \(x^2 = 8^2 + 5^2 - 2(8)(5) \cos 30 °\).
Ensuite, à l'aide d'une calculatrice, nous calculons le cosinus : \(x^2 = 8^2 + 5^2 - 2(8)(5) \frac{\sqrt{3}}{2} = 19{,}718\).
Enfin, nous déterminons la racine carrée du membre de gauche : \(x = \sqrt{19{,}718} = 4{,}44\)
La loi de cosinus sert également à calculer des angles inconnus.
Comment calculer un angle dans un triangle quelconque avec la loi des cosinus ?
Nous pouvons utiliser la loi des cosinus, ou théorème d'Al-Kashi, pour calculer un angle dans un triangle. Il faut d'abord remplacer toutes les longueurs du triangle dans la loi des cosinus. Avec quelques manipulations algébriques, nous obtiendrons ensuite le cosinus de l'angle que nous souhaitons déterminer. Pour enfin déterminer l'angle, il faut utiliser la fonction arc cosinus.
Pour résumer les étapes dans le calcul d'un angle avec la loi des cosinus, nous devons :
remplacer les longueurs dans la formule ;
calculer le cosinus de l'angle ;
déterminer l'angle avec la fonction arc cosinus.
Certes, cette procédure est bien plus claire avec un exemple.
Peux-tu déterminer l'angle \(A\) dans ce triangle ?
Fig. 3 - Comment calculer la mesure d'un angle avec la loi des cosinus
D'abord, nous remplaçons les longueurs dans la loi des cosinus : \(5^2 = 7^2 + 6^2 - 2(7)(6) \cos A\).
Ensuite, calculons le cosinus de l'angle :
\(5^2 - 7^2 - 6^2 = - 2(7)(6) \cos A\)
\(\cos A = \frac{5^2 - 7^2 - 6^2}{- 2(7)(6)} = \frac{5}{7}\)
Enfin, déterminons l'angle : \(A = \arccos(\frac{5}{7}) = 44{,}1 °\)
Il est possible que nous ne disposons pas de toutes les informations nécessaires pour résoudre un problème avec la loi des cosinus seulement. Dans ce cas, il faut souvent employer d'autres formules en lien avec le cosinus.
Formules pour déterminer le cosinus
Voici un résumé de quelques formules impliquant le cosinus d'un angle. Ces formules nous peuvent être utilisées conjointement à la loi des cosinus pour résoudre des problèmes plus complexes.
| Formule | Commentaires |
| \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) | Cette identité trigonométrique découle du théorème de Pythagore. |
| \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) | Cette égalité résulte des définitions du sinus, du cosinus et de la tangente. |
| \(\text{cosinus} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) | Il s'agit de la définition du cosinus pour un angle dans un triangle rectangle. |
| \(\cos x = \sin(90 °- x)\) | En d'autres termes, le cosinus et le sinus d'angles complémentaires sont égaux. |
Pour plus de formules utiles, consulte notre résumé de cours sur les formules trigonométriques.
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