Aire et Volume

Signification de l'aire en géométrie

Il existe de nombreuses formules de calcul de l'aire pour déterminer l'aire de diverses formes bidimensionnelles. Nous pouvons également déterminer l'aire d'une forme en comptant le nombre de carrés unitaires qui couvrent toute la surface de l'objet. Cette méthode nous aide à apprendre et à comprendre le concept de surface. Vois l'image ci-dessous qui présente le concept de l'unité carrée. Tu verras que les formules d'aire sont cependant plus faciles et plus rapides à utiliser. L'unité de surface est toujours mesurée en unités carrées comme les centimètres carrés, les mètres carrés, les pouces carrés, etc.

Surface d'une figure en 2D, splashlearn.com

Voici quelques faits concernant la superficie à garder à l'esprit :

• La surface et le périmètre des formes sont des calculs différents et peuvent souvent être confondus l'un avec l'autre.
• La surface d'une figure est généralement calculée à partir de termes tels que côté, longueur, base, hauteur et rayon.
• La surface de deux figures congruentes (identiques) sera la même, mais parfois deux figures non congruentes (non identiques) peuvent avoir la même surface.

Formules d'aire pour les figures simples (2D)

Jetons un coup d'œil à quelques-unes des différentes formules pour l'aire des figures géométriques de base et courantes, notamment :

• Surface d'un rectangle
• Surface du carré
• Surface du triangle
• Surface du cercle
• Surface du parallélogramme

Surface d'un rectangle

Nous pouvons calculer la surface d'un rectangle de largeur w et de hauteur h comme suit :

Surface du rectangle$\mathbf{=}\mathit{w}\mathbf{\times }\mathit{h}$

Surface d'un rectangle - StudySmarter Originals

Surface d'un carré

Les carrés ont quatre côtés qui sont tous de même longueur. Nous pouvons donc calculer l'aire du carré avec la formule suivante :

Surface d'un carré$\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}$

où a est la longueur du côté

Surface du carré - StudySmarter Originals

Surface d'un triangle

Nous pouvons calculer la surface du triangle à l'aide de son altitude h et de sa base b.

Surface du triangle$\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{h}$

Aire du triangle - StudySmarter Originals

Surface du cercle

L'espace occupé par le cercle peut être calculé en fonction de son rayon.

Surface du cercle$\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{\times }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$

où r est le rayon du cercle

Aire du cercle - StudySmarter Originals

Surface d'un parallélogramme

Un parallélogramme est une figure dont les côtés opposés sont une paire de lignes parallèles.

Surface du parallélogramme$\mathbf{=}\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{h}$

où b est la base et h la hauteur du parallélogramme

Aire du parallélogramme - StudySmarter Originals

Signification de la surface en géométrie

Le terme surface est associé aux figures et objets tridimensionnels. Cependant, son concept est essentiellement le même que celui de la surface en ce sens qu'il mesure la taille de la surface à l'aide d'unités carrées comme les pouces au carré (ⁱⁿ²). Les formules de calcul des surfaces diffèrent selon le type d'objet tridimensionnel.

Surface - StudySmarter Originals

En d'autres termes, la surface occupée par toutes les faces et tous les côtés d'un objet tridimensionnel est sa surface. Pour toute figure, la surface peut être classée en trois types :

1. Surface latérale
2. Surface courbe
3. Surface totale

Types de surface

Les trois types de surface (latérale, courbe et totale) sont expliqués ici.

Surface latérale et courbe

Parfois, la surface latérale et la surface courbe se réfèrent en fait à la même partie de la forme 3D. C'est le cas des formes à surface courbe comme les cylindres et les cônes, par exemple. Les formes comme les cubes, en revanche, n'ont pas de surface courbe, et ce terme ne s'applique pas.

Surface totale

En d'autres termes, nous incluons toutes les surfaces d'un objet dans le calcul de la surface totale, par opposition à la surface latérale. En général, nous appelons simplement la surface totale la surface de l'objet.

Formules de calcul de la surface

Jetons un coup d'œil à certaines formules de calcul de la surface de figures tridimensionnelles courantes.

Surface d'un cube

Un cube est une figure tridimensionnelle composée de six faces carrées. La surface d'un cube peut être obtenue en trouvant la surface des six faces et en les additionnant. Pour la surface latérale du cube, nous ne prenons en compte que quatre faces, en éliminant les côtés supérieur et inférieur.

Surface d'un cube - StudySmarter Originals

La formule pour calculer la surface d'un cube est la suivante :

Surface totale du cube$\mathbf{=}\mathbf{6}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}$

Surface latérale du cube$\mathbf{=}\mathbf{4}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}$

où a est la longueur de tous les côtés

Surface du cuboïde

Un cuboïde est une figure tridimensionnelle dont les six faces sont rectangulaires. La surface totale et la surface latérale du cuboïde peuvent être calculées de la même manière que pour un cube. Cependant, pour un cuboïde, au lieu d'utiliser la même mesure pour les six faces, nous considérons et mesurons les différentes faces séparément. Par conséquent, nous calculons la surface du cuboïde en fonction de la longueur l, de la largeur w et de la hauteur h.

Surface d'un cuboïde - StudySmarter Originals

La formule de la surface d'un cuboïde est la suivante :

Surface totale du cuboïde$\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{l}\mathit{w}\mathbf{+}\mathit{w}\mathit{h}\mathbf{+}\mathit{l}\mathit{h}\mathbf{)}$

Surface latérale du cuboïde$\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{h}\mathbf{(}\mathit{l}\mathbf{+}\mathit{w}\mathbf{)}$

Surface d'un cylindre

Un cylindre est une forme en 3D avec deux faces circulaires plates, l'une en haut et l'autre en bas, attachées aux extrémités opposées d'une face incurvée. Un exemple simple est un tuyau dont les deux extrémités sont scellées ou fermées. La surface d'un cylindre est la somme des surfaces des deux bases circulaires et de la surface courbe. Lorsque l'on détermine uniquement la surface latérale ou incurvée, seule la surface incurvée du cylindre est prise en compte.

Surface d'un cylindre - StudySmarter Originals

La formule pour calculer la surface d'un cylindre est la suivante :

Surface totale du cylindre$\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{\pi }\mathit{r}\mathbf{(}\mathit{r}\mathbf{+}\mathit{h}\mathbf{)}$

Surface latérale du cylindre$\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{\pi }\mathit{r}\mathit{h}$

où r est le rayon de la base circulaire et h la hauteur du cylindre.

Surface d'une sphère

Une sphère est la représentation tridimensionnelle d'un cercle. Comme les sphères n'ont qu'une seule surface globale et aucune autre face, discuter de sa surface latérale n'a pas de sens, car elle serait la même que sa surface totale. Par conséquent, nous ne calculons que la surface totale des sphères.

Surface d'une sphère - StudySmarter Originals

La formule pour calculer la surface d'un parallélépipède est la suivante :

Surface totale de la sphère$\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$

où r est le rayon de la sphère

Signification du volume en géométrie

Tout objet tridimensionnel dans la nature occupe de l'espace. L'espace occupé par cet objet est donc appelé son volume.

Pour mesurer le volume, nous divisons l'espace occupé en unités cubiques égales et nous calculons le total des unités cubiques occupées, L'unité de volume peut être le centimètre cube, le mètre cube, le pouce cube, etc.

Volume de la visualisation d'objets en 3D, tasks.illustrativemathematics.org

Formules de volume

Comprenons quelques formules de volume pour des objets et des formes 3D familiers.

Volume d'un cube

Comme tous les côtés du cube sont de même longueur, nous pouvons calculer le volume d'un cube à l'aide de la formule ci-dessous :

Volume d'un cube$\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{3}}$

où a est la longueur des côtés pour toutes les faces

Volume du cube - StudySmarter Originals

Volume d'un cuboïde

Contrairement à un cube, un cuboïde a des côtés de mesures différentes. Nous calculons donc le volume en fonction de la longueur l, de la largeur w et de la hauteur h. La formule du volume d'un cuboïde est la suivante :

Volume d'un cub oïde$\mathbf{=}\mathit{l}\mathbf{\times }\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{h}$

Volume d'un cuboïde - StudySmarter Originals

Volume d'un cylindre

Comme le cylindre est formé de ses bases circulaires et de la distance qui les sépare, nous considérons le rayon r de la base circulaire et la hauteur h du cylindre pour calculer son volume. La formule est la suivante :

Volume du cylindre$\mathbf{=}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}\mathit{h}$

Volume d'un cylindre - StudySmarter Originals

Volume de la sphère

Comme elle peut être utilisée dans certaines applications pour approximer la forme de la Terre, nous nous intéressons particulièrement à la sphère, la représentation tridimensionnelle d'un cercle. Le volume d'une sphère peut être calculé à l'aide de multiples méthodes, dont la formule d'Archimède et le principe de Cavalieri, par exemple. Pour l'instant, nous nous contenterons de jeter un bref coup d'œil à la formule de volume communément admise :

Volume de la sphère$\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{3}}$

où r est le rayon de la sphère

Volume de la sphère - StudySmarter Originals