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Trigonométrie

La trigonométrie est l'étude des longueurs et des angles des triangles. En particulier, nous développons les concepts du sinus et du cosinus d'un angle dans un triangle rectangle. Grâce au cercle trigonométrique, nous pouvons élargir ces concepts, afin de les appliquer aux angles de n'importe quelle mesure. En outre, il y a un grand nombre de formules trigonométriques qui nous permettent de simplifier des expressions qui contiennent des fonctions trigonométriques. Nous terminons cette explication avec des détails sur comment résoudre des équations trigonométriques.

Sinus

Considérons un triangle rectangle. Le sinus de l'angle \(\theta\) est \( \sin (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{hypot\acute{e}nuse} \).

Trigonométrie Triangle rectangle StudySmarterFig. 1 - La trigonométrie d'un triangle rectangle

Pourquoi définir une telle valeur ? En fait, les scientifiques de l'antiquité ont observé que ce rapport est toujours le même pour le même angle, peu importe les côtés du triangle rectangle. Cela nous permet, entre autres, de déterminer des longueurs ou des angles inconnus dans un triangle, par exemple grâce à loi des sinus. Le sinus n'est néanmoins pas le seul rapport entre les côtés d'un triangle rectangle ayant cette propriété. Il y a également le cosinus d'un angle.

Cosinus d'un angle

En considérant le même schéma de la section précédente, le cosinus d'un angle \( \theta \) est \( \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} {hypot\acute{e}nuse} \). Le cosinus dispose de sa propre loi qui nous permet de calculer des longueurs ou des angles inconnus : la loi des cosinus, plus couramment appelée le théorème d'Al-Kashi.

Nous pouvons également définir la tangente d'un angle. La tangente est égale à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent : \( \tan (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} \)

Même s'il est possible de définir le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle à partir d'un triangle rectangle, il y a d'autres définitions possibles, notamment à partir du cercle trigonométrique.

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\) dont le centre est l'origine. Ce cercle nous permet de définir le sinus, le cosinus et la tangente pour des angles négatifs et les angles de plus de \(90 °\). Le cercle trigonométrique montre également comment un angle peut avoir plusieurs mesures. De plus, le cercle trigonométrique nous amène également à définir une nouvelle unité de mesure pour les angles : le radian.

Pour convertir des radians aux degrés — et vice-versa, nous utilisons la relation \( \pi = 180 °\)

Trigonométrie Cercle trigonométrique StudySmarterFig. 2 - Le cercle trigonométrique

Formules trigonométriques

Il existe de nombreuses formules qui permettent de simplifier des expressions trigonométriques. Les deux formules trigonométriques plus importantes sont probablement les suivantes : \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\] \[\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\] Il y a aussi les formules d'addition, pour une somme d'angles, ainsi que les formules de duplication. De plus, nous pouvons dériver des formules à partir de la parité et de la périodicité des fonctions trigonométriques. Enfin, il y a des formules plus avancées sur qui relient les fonctions trigonométriques et les nombres complexes.

Équations trigonométriques

Les équations trigonométriques contiennent des fonctions trigonométriques, notamment le sinus, le cosinus ou la tangente. Pour résoudre une équation trigonométrique, il est nécessaire d'exploiter les fonctions circulaires réciproques, aussi appelées fonctions trigonométriques inverses. À partir du sinus, du cosinus ou de la tangente, la fonction trigonométrique inverse nous donne l'angle associé.

La fonction arc sinus, notée \(\arcsin(x)\), associe à chaque nombre \(x\) dans l'intervalle \([-1,1]\) l'angle dans l'intervalle \([\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) dont le sinus est égal à \(x\). Similairement, arc cosinus est notée \(\arccos(x)\) et donne l'angle dans l'intervalle \([\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) dont le cosinus est égal à \(x\).

La fonction arc tangente, \(\arctan(x)\), fait la même chose, mais cette fonction est définie sur l'ensemble des nombres réels, \( \mathbb{R}\).

Nous pouvons également noter les fonctions trigonométriques inverses de la façon suivante : \( \sin^{-1}(x)\), \( \cos^{-1}(x)\) et \( \tan^{-1}(x)\).

Illustrons comment appliquer ces fonctions à la résolution des équations trigonométriques avec un exemple.

Déterminons tous les \(x\) qui vérifient l'équation \(\sin(2x - 1) = \frac{1}{2}\).

Appliquons la fonction arcsinus aux deux membres de l'équation : \(\arcsin(\sin(2x - 1)) = arcsin(\frac{1}{2})\)

À l'aide d'une calculatrice, il en résulte que : \(2x - 1 = \frac{\pi}{6}\)

Or, si nous souhaitons toutes les valeurs de \(x\) qui vérifient cette équation, il faut se rappeler que la fonction sinus est périodique. Il y a donc une infinité de valeurs qui vérifient cette relation. Ainsi, pour tout nombre entier \(k\), nous avons : \(2x - 1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)

Nous pouvons maintenant procéder aux étapes habituelles dans la résolution des équations : \(x = 1 + \frac{\pi}{12} + k\pi\).

En simplifiant encore une fois, nous obtenons enfin que : \(x = 1 + \frac{13k\pi}{12} \).

Trigonométrie - Points clés

  • Le sinus de l'angle \(\theta\) est \( \sin (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{hypot\acute{e}nuse} \) et son cosinus est \( \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} {hypot\acute{e}nuse} \).
  • Nous étudions ces valeurs car elles sont toujours le même pour le même angle, peu importe les côtés du triangle rectangle.
  • Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\) dont le centre est l'origine qui permet de prolonger les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente pour des angles négatifs et les angles de plus de \(90 °\).
  • Les deux formules trigonométriques plus couramment utilisées sont \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) et \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\).
  • Pour résoudre une équation trigonométrique, il faut appliquer les fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente, en gardant à l'esprit la périodicité des fonctions trigonométriques.

Questions fréquemment posées en Trigonométrie

Il y a plusieurs formules de trigonométrie. Les plus couramment utilisées sont tan(x) = sin(x) et cos2(x) + sin2(x) = 1. 

Il faut d'abord remplacer les valeurs connues dans une formule pour le sinus, le cosinus ou la tangente. Une fois le sinus, le cosinus ou la tangente calculés, il faut appliquer l'arc sinus, l'arc cosinus ou l'arc tangente.

Il faut d'abord remplacer une longueur connue dans une formule pour le sinus, le cosinus ou la tangente. Détermine ensuite le sinus, le cosinus ou la tangente de l'angle à l'aide d'une calculatrice et résous l'équation pour la longueur inconnue. 

Pour calculer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle dans un triangle rectangle, nous utilisons les formules suivantes :


  • sinus = côté opposé/hypoténuse ;
  • cosinus = côté adjacent/hypoténuse ;
  • tangente = côté opposé/côté adjacent.


Nous pouvons utiliser SOHCAHTOA pour se souvenir de ces formules. 

Évaluation finale de Trigonométrie

Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 10 cm, 4 cm et x cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur x est 100°. Quelle est la valeur de x ?

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Réponse

11,4 cm

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Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 2 cm, 8 cm et z cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur z est 18°. Quelle est la valeur de z ?

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Réponse

6,13 cm

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Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 10 cm, x cm et y cm. Les mesures des angles opposés sont respectivement 30°, 85° et 65°. Détermine x et y. 

Montrer la réponse

Réponse

x = 19,9 et y = 16,1

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Question

Deux côtés d'un triangle sont de longueur 6 cm et 7 cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur 7 cm est 72°. Quelle est la mesure de l'angle opposé du côté de 6 cm ? 

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Réponse

54,6° 

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Question

Deux angles d'un triangle sont de mesure 67° et 33°. La mesure du côté opposé de l'angle de 67° est 9 cm. Quelle est la longueur du côté opposé de l'angle de mesure 33° ?

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Réponse

5,33 cm

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Question

Deux côtés d'un triangle sont de longueur 13 cm et 7 cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur 13 cm est 144°. Quelle est la mesure de l'angle opposé du côté de 7 cm ?

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Réponse

18,5°

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Question

Deux angles d'un triangle sont de mesure 58° et 23°. La longueur du côté opposé de l'angle de mesure 58° est 15 cm. Quelle est la longueur du côté opposé de l'angle de mesure 23° ?

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Réponse

6,91 cm

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Question

La loi des sinus ne s'applique qu'aux triangles rectangles.

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Réponse

Vrai

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Question

La loi des sinus dit que la proportion entre le sinus d'un angle et la longeur du côté opposé est la même pour tous les angles dans un triangle.

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Réponse

Vrai

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Question

Quelle est la formule pour le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle ?

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Réponse

cosinus = côté adjacent/hypoténuse

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Question

Quelle est la formule pour le sinus d'un angle dans un triangle rectangle ?

Montrer la réponse

Réponse

sinus = côté opposé/hypoténuse

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Question

Quelle est la formule pour la tangente d'un angle dans un triangle rectangle ?

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Réponse

tangente = côté opposé/côté adjacent

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Question

Quel lien y-a-t-il entre le cosinus, le sinus et la tangente ?

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Réponse

\( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

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Question

Est-il vrai que \(\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}\) ?

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Réponse

Oui

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Question

Simplifie \(\sin(x+ \pi) \)

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Réponse

\(\sin(x+ \pi) = \sin x \cos \pi + \sin \pi \cos x \)

\(\sin(x+ \pi) = \sin x \times -1 + 0 \times \cos x \)

\(\sin(x+ \pi) = -\sin x \)

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Question

Sachant que \(\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \), démontre que \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\)

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Réponse

Nous devons d'abord remplacer \(y\) par \(x\).


\(\cos 2x = \cos x \cos x - \sin x \sin x \)

\(\cos 2x = \cos^x - \sin^x \)

\(\cos 2x = \cos^x - (1 - \sin^2 x) \)

\(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\)

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Question

La fonction cosinus est paire. 

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Réponse

Vrai

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Question

Pour tout \(x\) réel, \(\sin(-x) = \sin x \).

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Réponse

Vrai

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Question

La période de la fonction tangente est \(2 \pi\).

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Réponse

Vrai

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Question

Simplifie \( \cos(\theta + 7 \pi) \).

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Réponse

\( \cos(\theta + 8 \pi) = \cos(\theta + \pi + 6 \pi) \)

\( \cos(\theta + 8 \pi) = \cos(\theta) + pi) \)

\( \cos(\theta + 8 \pi) = \cos \theta \cos \pi - \sin \theta \sin \pi\)

\( \cos(\theta + 8 \pi) = \cos \theta \times -1 - \sin \theta \times 0\)

\( \cos(\theta + 8 \pi) = -\cos \theta \)


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Question

Quelle est la formule d'Euler ?

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Réponse

\(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)

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Question

Quelles sont les formules d'Euler pour le cosinus et le sinus ?

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Réponse

\(\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\) 

\(\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\)

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Question

Quelle est la formule de Moivre ?

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Réponse

\((\cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta \)

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Question

Démontre que \( \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \) en utilisant la formule d'Euler. 

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Réponse

La formule d'Euler s'écrit \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)


Si nous remplaçons \(\theta\) avec \(-\theta\) dans cette équation, nous obtenons \(e^{-i\theta} = \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \)


Grâce aux parités des fonctions sinus et cosinus, nous pouvons simplifier : \(e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta \)


En faisant la somme de cette égalité avec la formule d'Euler, nous obtenons \(e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta \)


Enfin, \( \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \) 

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Question

Qu'est-ce qu'un radian ?

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Réponse

La mesure d'un angle vaut \(1 \ \text{radian}\) si l'arc du cercle correspondant est égal à son rayon. 


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Question

Quelle relation y-a-t-il entre les degrés et les radians ?

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Réponse

\[\pi \ \text{radians} = 180 °\] 

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Question

Que vaut \(45 °\) en radians ?

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Réponse

\(\frac{\pi}{4}\)

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Question

Que vaut \(3 \pi\) en degrés ?

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Réponse

\(540 °\)

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Question

Que veut dire « sens direct » ?

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Réponse

Le sens direct de rotation est le sens opposé des aiguilles d'une montre.

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Question

Quel est la différence entre un angle positif et un angle négatif ?

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Réponse

Un angle est positif s'il est mesuré dans le sens direct à partir de l'axe des abscisses, alors qu'un angle est négatif s'il est mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre. 

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Question

Qu'est-ce que la mesure principale de \(300 °\) ?

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Réponse

\(-60 °\)

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Question

Qu'est-ce que la mesure principale de \(10 \pi\) ?

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Réponse

0

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Question

Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle correspond à son ordonnée.

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Réponse

Vrai

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Question

Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un angle correspond à son abscisse.

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Réponse

Vrai

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Question

Le sinus et le cosinus d'angles complémentaires sont égaux.

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Réponse

Vrai

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Question

\( \cos(60 °) = \) ?

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Réponse

\(\frac{1}{2}\)

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Question

\( \cos(45 °) = \) ?

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Réponse

\(\frac{1}{2}\)

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Question

\( \cos(30 °) = \) ?

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Réponse

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

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Question

\( \cos( \pi) = \) ?

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Réponse

-1

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Question

Pourquoi étudions-nous le sinus et le cosinus ?

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Réponse

Nous étudions ces valeurs car elles sont toujours le même pour le même angle, peu importe les côtés du triangle rectangle

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Question

Quelle est la formule pour le sinus d'un angle ? 

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Réponse

\( \sin (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{hypot\acute{e}nuse} \)

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Question

Quelle est la formule pour le sinus d'un angle ? 

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Réponse

\(\cos (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} {hypot\acute{e}nuse} \)

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Question

Quelle est la formule pour la tangente d'un angle ?

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Réponse

\( \tan (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} \)

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Question

La loi des cosinus est également appelée ____.

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Réponse

le théorème d'Al-Kashi

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Question

Quelle est l'utilité du cercle trigonométrique ? 

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Réponse

Le cercle trigonométrique nous permet de définir le sinus, le cosinus et la tangente pour des angles négatifs et les angles de plus de \(90 °\).

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Question

Qu'est-ce que le radian ? 

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Réponse

C'est une autre unité pour mesurer des angles. 

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Question

Un angle peut avoir plusieurs mesures.

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Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

L'arc sinus est une fonction ____.

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Réponse

circulaire réciproque/trigonométrique inverse

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Question

Quelle formule contient le sinus, le cosinus et la tangente ?

Montrer la réponse

Réponse

\[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\] 

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Question

Il y a un lien entre les fonctions trigonométriques et les nombres complexes. 

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Réponse

Vrai

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