La trigonométrie est l'étude des longueurs et des angles des triangles. En particulier, nous développons les concepts du sinus et du cosinus d'un angle dans un triangle rectangle. Grâce au cercle trigonométrique, nous pouvons élargir ces concepts, afin de les appliquer aux angles de n'importe quelle mesure. En outre, il y a un grand nombre de formules trigonométriques qui nous permettent de simplifier des expressions qui contiennent des fonctions trigonométriques. Nous terminons cette explication avec des détails sur comment résoudre des équations trigonométriques.
Sinus
Considérons un triangle rectangle. Le sinus de l'angle \(\theta\) est \( \sin (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{hypot\acute{e}nuse} \).
Fig. 1 - La trigonométrie d'un triangle rectangle
Pourquoi définir une telle valeur ? En fait, les scientifiques de l'antiquité ont observé que ce rapport est toujours le même pour le même angle, peu importe les côtés du triangle rectangle. Cela nous permet, entre autres, de déterminer des longueurs ou des angles inconnus dans un triangle, par exemple grâce à loi des sinus. Le sinus n'est néanmoins pas le seul rapport entre les côtés d'un triangle rectangle ayant cette propriété. Il y a également le cosinus d'un angle.
Cosinus d'un angle
En considérant le même schéma de la section précédente, le cosinus d'un angle \( \theta \) est \( \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} {hypot\acute{e}nuse} \). Le cosinus dispose de sa propre loi qui nous permet de calculer des longueurs ou des angles inconnus : la loi des cosinus, plus couramment appelée le théorème d'Al-Kashi.
Nous pouvons également définir la tangente d'un angle. La tangente est égale à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent : \( \tan (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} \)
Même s'il est possible de définir le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle à partir d'un triangle rectangle, il y a d'autres définitions possibles, notamment à partir du cercle trigonométrique.
Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\) dont le centre est l'origine. Ce cercle nous permet de définir le sinus, le cosinus et la tangente pour des angles négatifs et les angles de plus de \(90 °\). Le cercle trigonométrique montre également comment un angle peut avoir plusieurs mesures. De plus, le cercle trigonométrique nous amène également à définir une nouvelle unité de mesure pour les angles : le radian.
Pour convertir des radians aux degrés — et vice-versa, nous utilisons la relation \( \pi = 180 °\)
Fig. 2 - Le cercle trigonométrique
Formules trigonométriques
Il existe de nombreuses formules qui permettent de simplifier des expressions trigonométriques. Les deux formules trigonométriques plus importantes sont probablement les suivantes : \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\] \[\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\] Il y a aussi les formules d'addition, pour une somme d'angles, ainsi que les formules de duplication. De plus, nous pouvons dériver des formules à partir de la parité et de la périodicité des fonctions trigonométriques. Enfin, il y a des formules plus avancées sur qui relient les fonctions trigonométriques et les nombres complexes.
Équations trigonométriques
Les équations trigonométriques contiennent des fonctions trigonométriques, notamment le sinus, le cosinus ou la tangente. Pour résoudre une équation trigonométrique, il est nécessaire d'exploiter les fonctions circulaires réciproques, aussi appelées fonctions trigonométriques inverses. À partir du sinus, du cosinus ou de la tangente, la fonction trigonométrique inverse nous donne l'angle associé.
La fonction arc sinus, notée \(\arcsin(x)\), associe à chaque nombre \(x\) dans l'intervalle \([-1,1]\) l'angle dans l'intervalle \([\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) dont le sinus est égal à \(x\). Similairement, arc cosinus est notée \(\arccos(x)\) et donne l'angle dans l'intervalle \([\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) dont le cosinus est égal à \(x\).
La fonction arc tangente, \(\arctan(x)\), fait la même chose, mais cette fonction est définie sur l'ensemble des nombres réels, \( \mathbb{R}\).
Nous pouvons également noter les fonctions trigonométriques inverses de la façon suivante : \( \sin^{-1}(x)\), \( \cos^{-1}(x)\) et \( \tan^{-1}(x)\).
Illustrons comment appliquer ces fonctions à la résolution des équations trigonométriques avec un exemple.
Déterminons tous les \(x\) qui vérifient l'équation \(\sin(2x - 1) = \frac{1}{2}\).
Appliquons la fonction arcsinus aux deux membres de l'équation : \(\arcsin(\sin(2x - 1)) = arcsin(\frac{1}{2})\)
À l'aide d'une calculatrice, il en résulte que : \(2x - 1 = \frac{\pi}{6}\)
Or, si nous souhaitons toutes les valeurs de \(x\) qui vérifient cette équation, il faut se rappeler que la fonction sinus est périodique. Il y a donc une infinité de valeurs qui vérifient cette relation. Ainsi, pour tout nombre entier \(k\), nous avons : \(2x - 1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)
Nous pouvons maintenant procéder aux étapes habituelles dans la résolution des équations : \(x = 1 + \frac{\pi}{12} + k\pi\).
En simplifiant encore une fois, nous obtenons enfin que : \(x = 1 + \frac{13k\pi}{12} \).
Trigonométrie - Points clés
- Le sinus de l'angle \(\theta\) est \( \sin (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{hypot\acute{e}nuse} \) et son cosinus est \( \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} {hypot\acute{e}nuse} \).
- Nous étudions ces valeurs car elles sont toujours le même pour le même angle, peu importe les côtés du triangle rectangle.
- Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\) dont le centre est l'origine qui permet de prolonger les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente pour des angles négatifs et les angles de plus de \(90 °\).
- Les deux formules trigonométriques plus couramment utilisées sont \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) et \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\).
- Pour résoudre une équation trigonométrique, il faut appliquer les fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente, en gardant à l'esprit la périodicité des fonctions trigonométriques.
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