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Définition de la réflexion en géométrie
En géométrie, la réflexion est une transformation où chaque point d'une forme est déplacé d'une distance égale sur une ligne donnée. Cette ligne est appelée ligne de réflexion.
Ce type de transformation crée une image miroir d'une forme, également connue sous le nom de retournement.
La forme originale reflétée s'appelle la pré-image, tandis que la forme reflétée s'appelle l'image reflétée. L'image réfléchie a la même taille et la même forme que la pré-image, sauf que cette fois-ci, elle est orientée dans la direction opposée.
Exemple de réflexion en géométrie
Voyons un exemple pour mieux comprendre les différents concepts impliqués dans la réflexion.
La figure 1 montre un triangle situé à droite de l'axe des y(pré-image), qui a été réfléchi sur l'axe des y(ligne de réflexion), créant ainsi une image miroir(image réfléchie).
Fig. 1. Exemple de réflexion d'une forme sur l'axe des ordonnées
Les étapes à suivre pour réfléchir une forme sur une ligne sont indiquées plus loin dans cet article. Lis la suite si tu veux en savoir plus !
Exemples réels de réflexion en géométrie
Réfléchissons aux endroits où nous pouvons trouver des réflexions dans notre vie quotidienne.
a) L'exemple le plus évident sera de te regarder dans le miroir, et de voir ta propre image s'y refléter, face à toi. La figure 2 montre un chat mignon qui se reflète dans un miroir.
Fig. 2. Exemple réel de réflexion - Un chat reflété dans un miroir
Tout ce qui se trouve devant le miroir ou toute personne qui s'y trouve sera reflété sur celui-ci.
b) Un autre exemple pourrait être le reflet que tu vois dans l'eau. Cependant, dans ce cas, l'image reflétée peut être légèrement déformée par rapport à l'image originale. Voir la figure 3.
Fig. 3. Exemple réel de reflet - Un arbre reflété dans l'eau
c) Tu peux aussi trouver des reflets sur des objets en verre, comme des vitrines, des tables en verre, etc. Voir la figure 4.
Fig. 4. Exemple réel de reflet - Des personnes se reflètent sur une vitre.
Plongeons-nous maintenant dans les règles que tu dois suivre pour effectuer des réflexions en géométrie.
Règles de réflexion en géométrie
Les formes géométriques sur le plan de coordonnées peuvent être réfléchies sur l'axe des x, sur l'axe des y ou sur une ligne sous la forme \(y = x\) ou \(y = -x\). Dans les sections suivantes, nous décrirons les règles que tu dois suivre dans chaque cas.
Réflexion sur l'axe des x
La règle de réflexion sur l'axe des x est indiquée dans le tableau ci-dessous.
| Type de réflexion | Règle de réflexion | Description de la règle |
| Réflexion sur l'axe des x | \[(x, y) \rightarrow (x, -y)\] |
|
Les étapes à suivre pour effectuer une réflexion sur l'axe des x sont les suivantes :
Étape 1 : En suivant la règle de réflexion pour ce cas, change le signe des coordonnées y de chaque sommet de la forme, en les multipliant par \(-1\). Le nouvel ensemble de sommets correspondra aux sommets de l'image réfléchie.
\N[(x, y) \Nrightarrow (x, -y)\N]
Étape 2 : Trace les sommets de l'image originale et de l'image réfléchie sur le plan de coordonnées.
Étape 3 : Dessine les deux formes en reliant les sommets correspondants par des lignes droites.
Voyons cela plus clairement à l'aide d'un exemple.
Un triangle a les sommets suivants : \N(A = (1, 3)\N), \N(B = (1, 1)\N) et \N(C = (3, 3)\N). Réfléchis-le sur l'axe des x.
Étape 1 : Change le signe des coordonnées y de chaque sommet du triangle original, pour obtenir les sommets de l'image réfléchie.
\[\begin{align}\textbf{Pre-image} &\rightarrow \textbf{Image réfléchie} \\N-(x, y) &\N-rightarrow (x, -y) \N-A= (1, 3) &\N-rightarrow A' = (1, -3) \N-B = (1, 1) &\N- B' = (1, 1) &\N-rightarrow B' = (1, -y) &\N- B' = (1, 3) &\N- \N-rightarrow B' = (1, -1) \N- \N-C = (3, 3) &\Nrightarrow C' = (3, -3)\N- end{align}\N]Étapes 2 et 3 : Trace les sommets de l'image originale et de l'image réfléchie sur le plan de coordonnées, et dessine les deux formes.
Fig. 5. Exemple de réflexion sur l'axe des x
Remarque que la distance entre chaque sommet de l'image originale et la ligne de réflexion (axe des x) est la même que la distance entre leur sommet correspondant sur l'image réfléchie et la ligne de réflexion. Par exemple, les sommets \(B = (1, 1)\) et \(B' = (1, -1)\) sont tous deux à 1 unité de l'axe des x.
Réflexion sur l'axe des ordonnées
La règle de réflexion sur l'axe des ordonnées est la suivante :
| Type de réflexion | Règle de réflexion | Description de la règle |
| Réflexion sur l'axe des ordonnées | \[(x, y) \rightarrow (-x, y)\] |
|
Les étapes à suivre pour effectuer une réflexion sur l'axe des y sont à peu près les mêmes que pour la réflexion sur l'axe des x, mais la différence est basée sur le changement de la règle de réflexion. Dans ce cas, les étapes sont les suivantes :
Étape 1 : En suivant la règle de réflexion pour ce cas, change le signe des coordonnées x de chaque sommet de la forme, en les multipliant par \(-1\). Le nouvel ensemble de sommets correspondra aux sommets de l'image réfléchie.
\N[(x, y) \Nrightarrow (-x, y)\N]
Étape 2 : Trace les sommets de l'image originale et de l'image réfléchie sur le plan de coordonnées.
Étape 3 : Dessine les deux formes en reliant les sommets correspondants par des lignes droites.
Prenons un exemple.
Un carré a les sommets suivants : \N(D = (1, 3)\N), \N(E = (1, 1)\N), \N(F = (3, 1)\N) et \N(G = (3, 3)\N). Réfléchis-le sur l'axe des ordonnées.
Étape 1 : Change le signe des coordonnées x de chaque sommet du carré original, pour obtenir les sommets de l'image réfléchie.
\[\begin{align}\textbf{Pre-image} &\rightarrow \textbf{Image réfléchie} \\N-(x, y) &\N-rightarrow (-x, y) \N-D= (1, 3) &\N-rightarrow D' = (-1, 3) \N-E = (1, 1) &\N-rightarrow E' = (-1, 2) &\N- E = (1, 1) &\N-rightarrow E' = (-1, 2) \N- \N-rightarrow E' = (-1, 1) \N- \N-F = (3, 1) &\N-rightarrow F' = (-3, 1) \N- \N-G = (3, 3) &\N-rightarrow G' = (-3, 3)\N- end{align}\N- \N-Étapes 2 et 3 : Reporte les sommets de l'image originale et de l'image réfléchie sur le plan de coordonnées et dessine les deux formes.
Fig. 6. Exemple de réflexion sur l'axe des y
Réflexion sur les droites y = x ou y = -x
Les règles de réflexion sur les droites \(y = x\) ou \(y = -x\) sont indiquées dans le tableau ci-dessous :
| Type de réflexion | Règle de réflexion | Règle Description |
| Réflexion sur la ligne \(y = x\) | \N-[(x, y) \N-rightarrow (y, x)\N] (x, y) \N- \N- \N- \N- \N] | Les coordonnées x et les coordonnées y des sommets qui font partie de la forme échangent leurs places. |
| Réflexion sur la ligne \(y = -x\) | \N-[(x, y) \N-{rightarrow (-y, -x)\N] | Dans ce cas, les coordonnées x et les coordonnées y n 'échangent pas seulement leurs places, elles changent aussi de signe. |
Les étapes à suivre pour effectuer une réflexion sur les lignes \(y = x\) et \(y = -x\) sont les suivantes :
Étape 1 : Lors de la réflexion sur la ligne \(y = x\), échange les coordonnées x et les coordonnées y des sommets de la forme originale.
\N-[(x, y) \N- (y, x)\N]
Lorsque tu réfléchis sur la droite \N(y = -x\N), en plus d'échanger les places des coordonnées x et des coordonnées y des sommets de la forme originale, tu dois également changer leur signe, en les multipliant par \N(-1\N).
\N-[(x, y) \N-{rightarrow (-y, -x)\N-]
Le nouvel ensemble de sommets correspondra aux sommets de l'image réfléchie.
Étape 2 : Trace les sommets de l'image originale et de l'image réfléchie sur le plan de coordonnées.
Étape 3 : Dessine les deux formes en reliant les sommets correspondants à l'aide de lignes droites.
Voici quelques exemples pour te montrer comment ces règles fonctionnent. Tout d'abord, effectuons une réflexion sur la droite \(y = x\).
Un triangle a les sommets suivants : \N(A = (-2, 1)\N), \N(B = (0, 3)\N et \N(C = (-4, 4)\N). Réfléchis-la sur la droite \(y = x).
Étape 1: La réflexion se fait sur la ligne \N(y = x\N), tu dois donc intervertir les coordonnées x et les coordonnées y des sommets de la forme originale, pour obtenir les sommets de l'image réfléchie.
\[\begin{align}\textbf{Pre-image} &\rightarrow \textbf{Image réfléchie} \\N-(x, y) &\N-rightarrow (y, x) \N-A= (-2, 1) &\N-rightarrow A' = (1, -2) \N-B = (0, 3) &\N-rightarrow B' = (0, 3) &\N-rightarrow A' = (1, 2) \N- \N-rightarrow B' = (3, 0) \N- \N-C = (-4, 4) &\Nrightarrow C' = (4, -4)\N- end{align}\N]Étapes 2 et 3: Reporte les sommets de l'image originale et de l'image réfléchie sur le plan de coordonnées, et dessine les deux formes.
Fig. 7. Exemple de réflexion sur la droite \(y = x\)
Voyons maintenant un exemple de réflexion sur la droite \N(y = -x\N).
Un rectangle a les sommets suivants : \N(A = (1, 3)\N), \N(B = (3, 1)\N), \N(C = (4, 2)\N), et \N(D = (2, 4)\N). Réfléchis-le sur la ligne \(y = -x\).
Étape 1 : La réflexion se fait sur la ligne \(y = -x\), tu dois donc intervertir les coordonnées x et les coordonnées y des sommets de la forme originale, et changer leur signe, pour obtenir les sommets de l'image réfléchie.
\[\begin{align}\textbf{Pre-image} &\rightarrow \textbf{Image réfléchie} \\N-(x, y) &\N-rightarrow (-y, -x) \N-A= (1, 3) &\N-rightarrow A' = (-3, -1) \N-B = (3, 1) &\N-rightarrow B' = (-y, -x) \N- A= (1, 3) &\N-rightarrow A' = (-3, -1) \N- \N-rightarrow B' = (-1, -3) \N- \N-C = (4, 2) &\N-rightarrow C' = (-2, -4) \N- \N-D = (2, 4) &\N-rightarrow D' = (-4, -2)\N- end{align}\N- \N-Étapes 2 et 3 : Reporte les sommets de l'image originale et de l'image réfléchie sur le plan de coordonnées et dessine les deux formes.
Fig. 8. Exemple de réflexion sur la droite \(y = -x\)
Formules de réflexion en géométrie des coordonnées
Maintenant que nous avons exploré chaque cas de réflexion séparément, résumons les formules des règles que tu dois garder à l'esprit lorsque tu réfléchis des formes sur le plan de coordonnées :
| Type de réflexion | Règle de réflexion |
| Réflexion sur l'axe des x | \[(x, y) \rightarrow (x, -y)\] |
| Réflexion sur l'axe des y | \[(x, y) \N-rightarrow (-x, y)\N] |
| Réflexion sur la droite \N(y = x) | \N[(x, y) \Nflèche droite (y, x)\N] |
| Réflexion sur la droite \N(y = -x\N) | \[(x, y) \N-rightarrow (-y, -x)\N] |
Réflexion en géométrie - Principaux enseignements
- En géométrie, la réflexion est une transformation où chaque point d'une forme est déplacé d'une distance égale sur une ligne donnée. Cette ligne est appelée ligne de réflexion.
- La forme originale réfléchie est appelée l'image préalable, tandis que la forme réfléchie est appelée l'image réfléchie.
- Lors de la réflexion d'une forme sur l'axe des x, change le signe des coordonnées y de chaque sommet de la forme originale pour obtenir les sommets de l'image réfléchie.
- Lorsque tu réfléchis une forme sur l'axe des y, change le signe des coordonnées x de chaque sommet de la forme originale, pour obtenir les sommets de l'image réfléchie.
- Lors de la réflexion d'une forme sur la droite \(y = x\), échange les places des coordonnées x et des coordonnées y des sommets de la forme originale, pour obtenir les sommets de l'image réfléchie.
- Lors de la réflexion d'une forme sur la ligne \(y = -x\), permute les places des coordonnées x et des coordonnées y des sommets de la forme originale, et change leur signe, pour obtenir les sommets de l'image réfléchie.
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