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Composantes d'une pyramide
L'expression surface est associée à des figures en trois dimensions. De tels objets sont appelés solides. La pyramide fait partie de cette catégorie d'objets.
Pour trouver la surface d'une pyramide, tu dois additionner les surfaces de tous ses côtés. La base d'une pyramide est constituée d'un polygone. Rappelle qu'un polygone est une figure plane fermée délimitée par des lignes droites reliées bout à bout. Tous les côtés d'une pyramide se rejoignent en un point appelé sommet.
Dans certains manuels, l'apex peut être appelé sommet.
La distance perpendiculaire entre le centre de la base de la pyramide et le sommet est appelée altitude (ou hauteur). Parallèlement, la distance oblique entre la base de la pyramide et son sommet est appelée hauteur oblique .
Les pyramides sont catégorisées explicitement par la forme de leur base. Par exemple, une pyramide peut avoir une base carrée, une base rectangulaire ou même une base triangulaire. Cependant, nous allons nous intéresser aux pyramides à base carrée pour mieux couvrir ce sujet. Comme la base le suggère, on les appelle les pyramides carrées. Voici un diagramme qui illustre tous les éléments mentionnés.
Fig. 1. Composants d'une pyramide à base carrée.
Maintenant, décomposons cette pyramide et observons chacune de ces surfaces. Essentiellement, nous ouvrons la pyramide afin d'étudier chacune de ses surfaces planes, aussi appelées faces. C'est ce qu'on appelle le filet d'une pyramide.
Le filet d'un solide est une forme bidimensionnelle qui peut être pliée pour former un solide tridimensionnel. Disposer les faces d'un solide permet de déterminer les polygones qui composent l'objet.
Le filet d'une pyramide à base carrée est composé d'un carré et de quatre triangles. C'est ce que montre la figure ci-dessous.
Fig. 2. Filet d'une pyramide.
Calculer la surface d'une pyramide signifie que nous devrons ajouter la surface de chaque face de la pyramide, comme nous l'avons vu ci-dessus.
Propriétés des pyramides
La forme des propriétés que nous allons étudier à ce niveau ne concerne que les pyramides régulières. Voici donc les propriétés des pyramides régulières.
Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier.
Sa base est un polygone régulier.
Toutes les arêtes latérales sont congruentes.
Toutes les faces latérales sont des triangles isocèles congruents.
Les altitudes rejoignent la base en son centre.
Formule de calcul de la surface d'une pyramide
Comme nous l'avons déjà mentionné, la surface totale d'une pyramide peut être calculée en additionnant les surfaces de toutes ses faces. Les surfaces des pyramides sont mesurées en unités carrées comme les mètres carrés, ou les centimètres carrés, selon les unités de mesures. Il existe des formules mathématiques spécifiques utilisées pour trouver la surface totale des pyramides, à condition que la forme soit régulière.
Nous classons généralement la surface d'une pyramide en deux catégories : la surface latérale et la surface totale. La surface latérale de la pyramide est la somme des faces latérales de la pyramide, sans tenir compte de la base, tandis que la surface totale de la pyramide est la surface latérale, y compris la surface de la base. Mathématiquement, elles s'expriment comme suit ;
Lasurface latérale d'une pyramide = La somme des surfaces des faces latérales de la pyramide
\[LSA=\frac{1}{2}\times P\times I\]
La surface totale (TSA) d'une pyramide = LSA de la pyramide + surface de la base
\[TSA=\frac{1}{2}\times P\times I+B\]
où
P = Périmètre de la pyramide ;
l = Hauteur de chaque face triangulaire ;
B = Surface de la base de la pyramide.
Trouver la surface d'une pyramide
Dans cette section, nous allons parler de la façon de trouver la surface d'une pyramide en fonction de la forme de sa base. Nous explorerons ici trois types différents de pyramides, à savoir
la pyramide à base triangulaire
la pyramide à base carrée ;
la pyramide à base hexagonale.
Chaque section explorera une formule générale utilisée pour trouver la surface de ces pyramides, suivie d'un exemple pour faciliter la représentation visuelle.
Pyramides à base triangulaire
Une pyramide à base triangulaire est une pyramide dont les faces sont uniquement constituées de triangles.
Elle est constituée d'une base triangulaire et de trois faces latérales triangulaires. Pour déduire la surface totale d'une telle pyramide, il suffit d'additionner les surfaces des quatre faces triangulaires.
Il existe trois types de pyramides à base triangulaire, à savoir
- Pyramide à base triangulaire régulière: Ces pyramides ont toutes leurs faces sous forme de triangles équilatéraux. Cette pyramide est également connue sous le nom de tétraèdre.
- Pyramide à base triangulaire droite : Ces pyramides ont leur base sous forme de triangles équilatéraux. Labase est un triangle équilatéral tandis que les autres faces sont des triangles isocèles.
- Pyramide à base triangulaire irrégulière - untriangle scalène ou isocèle forme la base.
La formule de la surface totale d'une pyramide à base triangulaire est donnée par la formule suivante
\[TSA=\frac{1}{2}(h\Nfois b)+\frac{3}{2}(b\Nfois s)\N]
où
\(\frac{1}{2}(h\times b)\) est la surface de base ;
\(\frac{3}{2}(b\times s)\) est le produit du périmètre et de la hauteur oblique de la pyramide ;
\N(h\N) est la hauteur perpendiculaire à la base ;
\N(b\N) est la longueur de la base ;
\(s\) est la hauteur oblique.
Voici une représentation graphique d'une pyramide à base triangulaire avec tous les composants mentionnés.
Fig. 3. Pyramide à base triangulaire.
Voyons maintenant un exemple concret qui illustre cette formule.
Étant donné que la longueur de la base d'une pyramide triangulaire est de 16 cm, que la hauteur perpendiculaire à partir de la base est de 21 cm et que la hauteur oblique est de 19 cm, détermine la surface totale.
Solution
Ici, \(b=16\), \(h=21\) et \(s=19\). En substituant ces valeurs à notre formule ci-dessus pour la surface totale d'une pyramide triangulaire, on obtient
\[TSA=\frac{1}{2}(21 fois 16)+\frac{3}{2}(16 fois 19)=\frac{1}{2}{2}\time 336+\frac{3}{2}\time 304}]
En simplifiant, on obtient
\[TSA=168+456=624\]
Ainsi, la surface totale de cette pyramide à base triangulaire est de 624 unités2.
Pyramides à base carrée
Une pyramide à base car rée est une pyramide composée d'une base carrée et de quatre faces latérales triangulaires.
Ces faces triangulaires sont isocèles et congruentes. De plus, la base de chaque triangle coïncide avec un côté de la base carrée. La surface totale d'une pyramide à base carrée est la somme de la surface de la base carrée et de la surface des quatre faces triangulaires.
Une pyramide à base carrée est parfois appelée pentaèdre, car elle a cinq faces.
La formule de la surface totale d'une pyramide carrée est donnée par la formule suivante
\N-[TSA=a^2+2al\N]
où
\(a^2\) est la surface de la base ;
\N(a\N) est la longueur de la base ;
\(l\) est la hauteur oblique.
Tu trouveras ci-dessous le schéma d'une pyramide à base carrée avec tous les éléments mentionnés.
Fig. 4. Pyramide à base carrée.
Nous allons maintenant examiner un exemple pratique qui utilise cette formule.
Calcule la hauteur oblique d'une pyramide à base carrée dont la surface totale est de 2200 unités2 et la longueur de la base de 22 unités.
Solution
D'après les informations données ci-dessus, nous avons \(a=22\) et \(TSA=2200\). Étant donné notre formule pour la surface totale d'une pyramide carrée, réarrangeons cette équation de sorte que \(l\) soit le sujet.
\[TSA=a^2+2al\implies 2al=TSA-a^2\]
En plaçant seulement \(l\) dans le côté gauche de cette équation, on obtient
\[l=\frac{TSA-a^2}{2a}\]
En substituant nos valeurs connues, nous obtenons
\[l=\frac{2200-22^2}{2(22)}=\frac{1716}{44}\]
En simplifiant, on obtient
\[l=39\]
La hauteur oblique de cette pyramide est donc de 39 unités.
Pyramides à base hexagonale
Comme son nom l'indique,
une pyramide à base hex agonale est une pyramide dont la base est de forme hexagonale.
Cette base particulière a six côtés et six faces latérales triangulaires. Une autre appellation pour ce type de pyramide est l'heptaèdre. La formule de la surface totale d'une pyramide hexagonale est donnée par la formule suivante
\[TSA=3ab+3bs\]
où
\(3ab\) est la surface de la base de la pyramide hexagonale ;
\N(a\N) est l'apothème de la pyramide ;
\(b\) est la longueur de la base ;
\(s\) est la hauteur oblique.
L' apothème d'un polygone régulier est défini par un segment de droite allant de son centre au milieu de l'un de ses côtés.
Voici une illustration d'une pyramide hexagonale qui indique toutes les composantes mentionnées.
Fig. 5. Pyramide à base hexagonale.
Voyons maintenant un exemple concret qui applique cette formule.
Trouve la surface de la base et la surface totale d'une pyramide hexagonale en tenant compte des dimensions suivantes.
Longueur de l'apothème = 12 unités
Longueur de la base = 17 unités
Hauteur oblique = 21 unités
Solution
Pour déterminer ces deux surfaces, il suffit d'utiliser la formule donnée ci-dessus et d'y substituer les nombres donnés. Les dimensions sont : \(a=12\), \(b=17\) et \(s=21\). Nous allons d'abord trouver la surface de base de cette pyramide.
\[B=3ab=3(12)(17)=612\]
La surface de base de cette pyramide hexagonale est donc de 612 unités2. Ensuite, nous allons identifier la surface totale.
\[TSA=3ab+3bs=612+3(17)(21)\]
En résolvant cette question, on obtient
\[TSA=612+1071=1683\]
La surface totale de cette pyramide hexagonale est donc de 1683 unités2.
Exemples de surfaces de pyramides
Dans cette section, nous allons voir comment trouver la surface latérale et la surface totale d'une pyramide. Prenons un exemple pour faciliter le processus.
Résous la surface latérale d'une pyramide carrée étant donné que la longueur du côté de la base est de 14 cm et que la hauteur oblique de la pyramide est de 20 cm.
Solution
Notons la formule pour trouver la surface latérale et voyons quelles sont les valeurs manquantes. Nous n'avons pas encore la valeur du périmètre. Cependant, nous pouvons le trouver en utilisant la longueur du côté de la base.
\N- [P=4a\N]
Où a = longueur du côté de la base. Alors
\[P=4(14)=56\]
La hauteur oblique de la pyramide est de \N(l = 20\N).
Nous allons maintenant remplacer ces valeurs par l'équation suivante
\[LSA=\frac{1}{2}\times 56\times 20\]
En simplifiant, nous obtenons
\[LSA=1\times 56\times 1=560\]
La surface latérale de cette pyramide est donc de 560 cm2.
Nous allons maintenant prendre un exemple pour trouver la surface totale d'une pyramide.
Quelle est la surface totale d'une pyramide si chaque arête de la base mesure 16 m, si la hauteur oblique d'un côté est de 17 m et si l'altitude est de 15 m ?
Solution
En notant d'abord la formule pour trouver la surface totale d'une pyramide, nous pouvons déterminer les valeurs dont nous ne disposons pas. Encore une fois, nous n'avons pas la valeur du périmètre, mais nous avons la valeur de la longueur du côté.
\N- [P=4a\N]
où a = longueur du côté de la base. Alors ,
\[P = 4(16)=64\]
La surface de la base est s2. Ainsi ,
\[B = 16^2= 256\]
De plus, on nous donne la hauteur oblique comme \N(l = 17\N). En substituant ces valeurs à notre formule, nous obtenons
\[TSA=\frac{1}{2}\times 64\times 17+256\]
En résolvant ce problème, on obtient
\[TSA=544+256=800\]
Par conséquent, la surface totale d'une pyramide est de 800m2.
Voici un autre exemple qui illustre l'utilisation des formules que nous avons données pour l'aire totale de la pyramide et l'aire latérale de la pyramide.
La surface latérale d'une pyramide mesure 706m2 tandis que la surface totale mesure 932m2. Étant donné ces surfaces, détermine la surface de la base de cette pyramide.
Solution
D'après les informations ci-dessus, nous savons que \(LSA=706\) et \(TSA=932\).
En utilisant la formule pour trouver la TSA, nous obtenons que
\[TSA=\frac{1}{2}\times P\times I+B\]
En introduisant l'équation LSA dans l'expression ci-dessus, on obtient
\[TSA=LSA+B\]
En faisant maintenant de \N(B\N) le sujet, nous obtenons
\N- [B=TSA-LSA\N]
Nous pouvons maintenant substituer nos valeurs données pour le TSA et le LSA dans l'expression ci-dessus.
\[B=932-706=226\]
Ainsi, la surface de la base de cette pyramide est de 226m2.
Nous terminerons cette discussion avec le dernier exemple suivant qui résume tout ce que nous avons appris tout au long de cette discussion.
Étant donné que la surface totale d'une pyramide triangulaire est de 74 unités2, détermine la hauteur oblique de cette pyramide. De plus, l'aire de la base et le périmètre de cette pyramide sont respectivement de 36 unités2 et de 45 unités.
Solution
La formule de la surface totale d'une pyramide triangulaire est donnée par la formule suivante
\[TSA=B+\frac{1}{2}(P\times I)\]
où
- B = surface de base de la pyramide ;
- P = périmètre de la pyramide ;
- I = hauteur oblique.
À partir de notre équation ci-dessus, réarrangeons-la pour que \(I\) soit le sujet.
\[TSA-B=\frac{1}{2}(P\times I)\implique P\times I=2(TSA-B)\]
Enfin,
\[I=\frac{2(TSA-B)}{P}\]
En substituant maintenant nos valeurs connues, nous trouvons que
\[I=\frac{2(74-36)}{45}=\frac{76}{45}=1.69\]
Par conséquent, la hauteur oblique de cette pyramide triangulaire est de 1,69 unité, avec une précision de deux décimales.
Surface des pyramides - Principaux enseignements
- Une pyramide est une figure tridimensionnelle dont la forme a une base comme un polygone et dont les côtés se rejoignent en un point appelé apex, également connu sous le nom de sommet.
- La distance perpendiculaire entre le centre de la base de la pyramide et le sommet est appelée altitude ou hauteur.
- La surface totale d'une pyramide peut être calculée en additionnant les surfaces de toutes ses faces.
- La formule pour calculer la surface latérale d'une pyramide est la suivante : [LSA=\frac{1}{2}\times P\times I\].
- La formule pour calculer la surface totale d'une pyramide est \[TSA=\frac{1}{2}\times P\times I+B\].
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