Figures 3D

Qu'est-ce qu'une figure en trois dimensions ?

Comme tu l'as peut-être observé avec la boîte, ces formes tridimensionnelles ont un volume. En mathématiques, nous définissons le volume comme la quantité d'espace à l'intérieur d'une surface fermée.

Si tu reprends la boîte et que tu l'ouvres maintenant, le volume sera la quantité d'espace à l'intérieur de la boîte. Nous apprendrons plus tard comment calculer ce volume.

Ces formes géométriques ont généralement, sauf exceptions que nous utiliserons, des faces qui sont les surfaces d'une certaine superficie qui délimitent la figure. Ces faces se rejoignent en sommets, qui sont des points d'union.

Enfin, les lignes qui délimitent ces surfaces et le contour de la figure géométrique sont nommées arêtes. On les comparerait aux côtés des formes à 2 dimensions.

Exemples de figures en trois dimensions

En détournant le regard de cet article et en regardant autour de toi, tu identifieras probablement un grand nombre de figures tridimensionnelles avec des structures différentes. Du lit à la chaise, à la table ou même aux livres que tu utilises pour étudier. Tous ces objets sont des formes tridimensionnelles car ils ont les trois dimensions que nous avons mentionnées précédemment : longueur, largeur et profondeur, et aussi parce qu'ils ont un volume.

On distingue les formes tridimensionnelles régulières et irrégulières. Nous nous concentrerons sur les figures tridimensionnelles régulières, car elles sont plus courantes en mathématiques.

Cône

Un cône est une figure tridimensionnelle que l'on obtient si l'on fait tourner un triangle droit (dont l'un des angles est égal à 90º) dont l'un des côtés est fixe, ce qui donne une forme en 3D. Cette figure a normalement une base circulaire et un sommet où la surface latérale du cône se rétrécit .

La base ne doit pas nécessairement être un cercle, elle peut aussi être une autre figure circulaire bidimensionnelle comme un ovale. Tu peux observer cette forme dans le monde réel lorsque tu regardes les cônes de signalisation.

Pyramide

Cette figure est similaire au cône, mais dans ce cas, la base n'a pas de forme circulaire. La base est une figure bidimensionnelle avec trois côtés ou plus, comme un triangle, un carré, un rectangle, etc.

Comme la forme géométrique de la base peut varier, elle change aussi le nombre de ses arêtes. Toutes ses surfaces, quel que soit leur nombre, se rétrécissent jusqu'à un sommet.

Les célèbres pyramides d'Égypte sont un exemple de ces formes géométriques, dans ce cas, elles ont une base carrée.

Cube

Cette figure géométrique se compose de six faces de surface égale se rencontrant trois d'entre elles en un seul sommet, avec un total de huit sommets et un total de douze arêtes.

Un dé est un exemple de cube. Si tu l'observes, toutes les faces d'un dé régulier ont la même surface et chacun de ses sommets fonctionne comme une union pour trois faces différentes.

Prisme rectangulaire

Il est similaire au cube, car il a également huit sommets, douze arêtes et six faces, mais dans ce cas, toutes les faces ne sont pas égales. Chaque face est égale à son opposée, nous avons donc des paires de faces égales.

Un exemple de prisme rectangulaire pourrait être un tiroir ou même une boîte, bien qu'ils aient parfois la forme d'un cube.

Il existe d'autres types de prismes, concernant la forme de sa base et de la face opposée. Par exemple,si ces faces ont la forme d'un triangle, c'est un prisme triangulaire qui aura cinq faces au total au lieu des six faces que possède le prisme rectangulaire. Mais cette base (et la face opposée) peut avoir une autre figure à 2 dimensions qui donne différents types de prismes : prismes pentagonaux, prismes hexagonaux, etc.

Cylindre

La forme de cette figure peut te rappeler celle d'un prisme rectangulaire, mais dans ce cas, elle possède deux surfaces, que l'on appelle le haut et le bas (ou la base) de la figure, qui consistent en des figures circulaires à deux dimensions .

Cette figure n'a pas de sommet. La surface qui relie ces deux faces est essentiellement un rectangle mais courbé.

Tu peux trouver ce genre de formes géométriques dans les boîtes de conserve ou certains verres.

Sphère

Un ballon de football, un ballon de basket, ou peut-être, si nous ne voulons pas nous limiter au monde du sport : une bulle. Tous ces objets ont un point commun : ce sont des sphères.

Ces formes géométriques sont obtenues si l'on fait tourner un cercle, qui est une figure à deux dimensions, autour de son diamètre. Le volume que cette révolution décrit est défini comme une sphère.

Comme c'est le cas pour le cercle en deux dimensions, tous les points de la surface sont à égale distance du point situé au centre de la figure. Cette distance est appelée lerayon. Si l'on trace une distance entre deux points de la surface de la sphère qui passe par le centre de celle-ci, cette distance est appelée lediamètre de la sphère, qui correspond à deux fois le rayon .

Formules des figures à 3 dimensions

Lorsque l'on travaille avec des formes tridimensionnelles, il y a certaines choses que l'on peut vouloir savoir à leur sujet. En particulier, il y a deux caractéristiques qui nous intéressent.

La première est la surface de la figure .

Pour obtenir la surface totale de la figure, nous devons additionner les surfaces de chaque face de la forme. Il ne faut pas confondre la surface de la figure avec son volume. La surface est constituée uniquement de la surface des faces, indépendamment de ce qu'il y a à l'intérieur.

D'autre part, nous avons le volume de la figure .

Si nous reprenons la boîte dont nous avons parlé dans cet article, tu peux voir que la surface du carton utilisé pour toutes les faces correspond à la surface de la boîte, mais que l'espace qui se trouve à l'intérieur de la boîte correspond à son volume.

Voyons comment se présentent certaines équations mathématiques pour les formes en trois dimensions que nous avons vues précédemment.

Surface et volume d'un cône

La surface d'une figure tridimensionnelle est la somme des surfaces de ses faces.

Pour un cône, la surface de sa base est $A_b=\mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2$, où r est le rayon du cercle. La surface de la face latérale est $A_l=\mathrm{\pi }\times \mathrm{r}\times \mathrm{g}$, g étant la distance entre tout point du bord de la base et le sommet. Par conséquent, la surface d'un cône peut généralement être exprimée comme suit ,

$A_{cone}=\mathrm{\pi }\times \mathrm{r}\times (\mathrm{r}+\mathrm{g})$.

Le volume d'un cône est donné par la formule suivante,

$V_{cone}=\frac{(\mathrm{\pi }\times \mathrm{h}\times {\mathrm{r}}^2)}{3}$,

où h est la distance entre le centre de la base et le sommet .

Surface et volume d'une pyramide

Dans ce cas, les formules de l'aire et du volume dépendront du nombre d'arêtes que possède la base.

Par exemple, si la pyramide a une base carrée, la surface de la pyramide sera la somme de la surface du carré $A_s=l^2$ avec la somme des surfaces de chaque triangle qui relie les sommets $A_t=\frac{1}{2}b\times h$. En général, on peut exprimer la surface d'une pyramide comme suit ,

$A_{pyramid=\hspace{0.17em}}{A}_{base}+A_{triangles}$

Fais attention, car la base n'a pas besoin d'être régulière, et la surface des triangles qui se connectent au sommet n'a pas besoin de l'être non plus.

Le volume d'une pyramide dépend également de sa base. Pour une pyramide carrée, le volume suit la formule,

$V_{pyramid}=\frac{h\times l^2}{3}$

étant

• h la distance entre le centre de la base et le sommet

• l la longueur des arêtes de la base.

Surface et volume d'un prisme rectangulaire et d'un cube

Dans ce cas, comme le prisme rectangulaire et le cube sont formés de six faces, pour obtenir la surface totale de la figure, il suffit d'additionner les surfaces de chaque face.

Pour le cube, les six faces auront la même aire, mais pour le prisme rectangulaire, comme chaque face est égale à son opposée, il y a trois valeurs différentes. Une expression mathématique générale pour la surface d'un prisme rectangulaire est,

$A_{r.p}=2·A_1+2·A_2+2·A_3$

où_{A1 , A2 ,} et_A3 sont les trois valeurs différentes de ces surfaces. La surface d'un rectangle est $A_r=b·h$.

Le volume de ces formes est la multiplication des trois arêtes ; la longueur, la largeur et la profondeur du prisme, par exemple,

$V_{r.p}=a\times b\times h$

Dans le cas du cube, comme tous les côtés ont la même longueur, nous avons ,

$V_{cube}=l^3$

Surface et volume d'un cylindre

Le cylindre est constitué de deux cercles qui sont le haut et le bas de la figure et d'un rectangle incurvé. Par conséquent, si l'aire d'un cercle est $A_c=\mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2$, la somme de toutes les aires est,

$A_{cyl}=2\times \mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2+2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h}$

où h est la hauteur d'un point du bas au point du haut à la même position.

Le volume du cylindre est décrit par l'équation suivante,

$V_{cyl}=\mathrm{\pi }\times \mathrm{h}\times {\mathrm{r}}^2$

Surface et volume d'une sphère

La sphère que nous connaissons est un type différent de figure géométrique, car elle n'est pas formée par l'union de différentes faces. C'est pourquoi nous avons besoin d'une expression mathématique pour calculer sa surface,

$A_{sphere}=4\times \mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2$

Et le volume de la sphère est déterminé par la formule suivante,

$V_{sphere}=\frac{4}{3}\times \mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^3$.

Exemples de problèmes sur les figures en trois dimensions

Voyons maintenant quelques exemples de problèmes que tu peux rencontrer sur des figures à trois dimensions.