< Si aujourd'hui c'est le week-end, alors demain doit être un jour de la semaine >.
Cette affirmation peut être soit vraie, soit fausse, ce qui la rend parfaite pour le raisonnement déductif. Tu peux diviser cette affirmation en deux parties : aujourd'hui c'est le week-end (\(A\)) et demain doit être un jour de la semaine (\(B\)). Mathématiquement, tu peux l'écrire comme suit :
\(A\)\(B\) où le symbole signifie < implique >.
Raisonnement déductif définition
Dans le raisonnement déductif, la véracité de l'affirmation est basée sur la véracité de chaque partie de l'affirmation \((A ; B)\) et sur la force de la logique qui relie chaque partie.
L'affirmation \(A\) : < si aujourd'hui c'est le week-end > nous donne deux réponses, samedi et dimanche, car ce sont les deux seuls jours du week-end.
Nous utilisons ensuite nos réponses à l'affirmation \(A\) et à l'affirmation \(B\) pour tester la logique de l'affirmation principale.
Si aujourd'hui est un samedi, alors demain est un dimanche. L'affirmation finale est donc fausse. Cependant, si aujourd'hui est un dimanche, demain est un lundi, l'affirmation finale est alors vraie.
Par conséquent, la logique de l'affirmation finale dépend de l'affirmation \(A\) et est donc faible.
En mathématiques, les conjectures ont tendance à être plus concluantes (car les chiffres ne mentent pas !). Pour démontrer une conjecture mathématique par déduction, il faut des axiomes et une logique solide.
Un axiome est un énoncé qui est accepté comme vrai sans qu'il soit nécessaire de le prouver.
Résoudre une question de raisonnement déductif
Pour résoudre une question de raisonnement déductif, tu dois :
considérer la logique de la conjecture ;
exprimer l'axiome sous forme d'expression mathématique lorsque cela est possible ;
résoudre pour voir si la logique s'applique à la conjecture ;
faire une déclaration finale sur la véracité de la conjoncture.
Expression mathématique de l'axiome
Bien que la plupart de ces règles algébriques te soient familières, il est bon de les connaître, car l'expression des axiomes sous forme d'expression mathématique nécessite parfois une certaine créativité dans l'utilisation de ces règles.
\(n\) représente un nombre quelconque.
Exprime \(n\) comme un multiple de \(12\) de manière mathématique.
\(A\) est égal à \(12\). Par conséquent, la réponse est \(12n\)
Pour exprimer des nombres consécutifs, tu peux commencer par \(n\) (ou tout autre point de départ) et ajouter un à chaque fois pour obtenir \(n + 1\), \(n + 2\), etc.
Exprime les deux nombres consécutifs après \(x^2\)
Pour obtenir les nombres consécutifs suivants, tu ajoutes \(1\) à chaque nombre consécutif. Par conséquent, le premier terme est \(x^2\), le deuxième terme est \(x^2+1\), le troisième terme est \(x^2+2\).
Pour exprimer des nombres pairs consécutifs, tu peux commencer par les nombres consécutifs : \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\). Tu multiplies ensuite chaque terme par \(2\), car tous les nombres pairs sont des multiples de \(2\). Les termes pairs consécutifs sont donc \(2 (n)\), \(2 (n + 1)\), \(2 (n + 2)\), ce qui peut être simplifié en \(2n\), \(2n + 2\), \(2n + 4\), etc.
L'expression des nombres impairs consécutifs est un peu plus compliquée que celle des nombres pairs consécutifs, car les nombres impairs ne font pas partie d'un multiple. Cependant, ils sont définis par le fait qu'ils ne font pas partie d'un multiple de deux. Par conséquent, toutes les lacunes des nombres pairs consécutifs constitueront les nombres impairs consécutifs.
Nous allons maintenant passer en revue quelques exemples pour montrer comment répondre à des questions comme celles-ci.
Démontre que la somme de deux nombres consécutifs est équivalente à la différence entre deux nombres consécutifs au carré.
Comme décrit ci-dessus, tu peux exprimer algébriquement deux nombres consécutifs sous la forme \(n\), \(n + 1\).
La somme de deux nombres consécutifs est donc \(n+n+1=2n+1\)
Pour trouver la différence entre deux nombres consécutifs au carré, tu dois d'abord élever au carré chaque nombre consécutif pour obtenir \((n)^2\) et \((n+1)^2\).
En développant et en simplifiant les carrés, on obtient :
\((n)^2 = n^2\)
\((n+1)^2 = (n+1)(n+1) = n^2+2n+1\)
La différence entre deux nombres consécutifs élevés au carré est donc de \(n^2+2n+1-n^2 = 2n+1\)
Pour terminer la question, tu dois rédiger une conclusion : La somme de deux nombres consécutifs et la différence entre deux nombres consécutifs au carré sont égales l'une à l'autre, car elles sont toutes deux égales à \(2n + 1\).
Démontre que la réponse à l'équation \(x^2+8x+20\) est toujours positive.
Comme tu veux que \(x\) n'apparaît qu'une fois dans l'expression, tu dois compléter le carré avec l'équation.
- D'abord, tu divises \(8\) par deux et tu le substitues dans ta nouvelle équation : \((x+4)^2\)
- Tu développes ensuite pour trouver ta constante à l'extérieur de la parenthèse \((x+4)^2=(x+4)(x+4)=x^2+8x+16\). Tu as besoin de \(+20\) pour que la nouvelle équation corresponde à l'équation, donc tu dois ajouter +4. La réponse est donc \((x+4)^2+4\).
Comme toujours, tu as besoin d'une conclusion : Quelle que soit la valeur de \(x\), en l'élevant au carré et en ajoutant 4, la valeur de l'équation sera toujours positive.
Raisonnement inductif
Contrairement au raisonnement déductif, le raisonnement inductif est une méthode permettant de tirer des conclusions à partir d'observations. Il est souvent utilisé en mathématiques, car il permet de faire des prédictions sur des modèles qui peuvent se produire.
Par exemple, disons que nous avons une séquence de chiffres : \(1, 2, 4, 7, 11\). Nous pouvons utiliser le raisonnement inductif pour prédire que le prochain nombre de la séquence est \(15\). Nous le savons car nous pouvons voir que chaque nombre de la séquence est supérieur de trois au précédent. Ainsi, nous pouvons raisonner par induction que le prochain nombre sera trois de plus que \(11\), c'est-à-dire \(15\)
Le raisonnement inductif est un outil puissant car il nous permet de faire des prédictions basées sur observations. Toutefois, il est important de noter que le raisonnement inductif ne peut être utilisé que pour faire des prédictions, il ne peut pas être utilisé pour prouver des choses de manière définitive.
Raisonnement hypothético-déductif
En mathématiques, le raisonnement hypothético-déductif est une méthode de raisonnement qui consiste à proposer d'abord une hypothèse, puis à la tester par déduction. Si les déductions conduisent à une contradiction, l'hypothèse est fausse, sinon, elle est vraie. Cette méthode de raisonnement est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris l'algèbre, la géométrie et la théorie des nombres.
Le raisonnement hypothético-déductif est un outil puissant pour la découverte mathématique et peut être utilisé pour prouver des théorèmes qui sont autrement difficiles à prouver. Par exemple, le célèbre dernier théorème de Fermat a été démontré à l'aide de cette méthode. En général, plus un théorème est compliqué, plus il est probable qu'un raisonnement hypothético-déductif soit nécessaire pour le prouver.
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