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Raisonnement déductif

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« Si aujourd'hui c'est le week-end, alors demain doit être un jour de la semaine ».

Cette affirmation peut être soit vraie, soit fausse, ce qui la rend parfaite pour le raisonnement déductif. Tu peux diviser cette affirmation en deux parties : aujourd'hui c'est le week-end (\(A\)) et demain doit être un jour de la semaine (\(B\)). Mathématiquement, tu peux l'écrire comme suit :

\(A\)\(B\) où le symbole signifie « implique ».

Raisonnement déductif définition

Dans le raisonnement déductif, la véracité de l'affirmation est basée sur la véracité de chaque partie de l'affirmation \((A ; B)\) et sur la force de la logique qui relie chaque partie.

L'affirmation \(A\) : « si aujourd'hui c'est le week-end » nous donne deux réponses, samedi et dimanche, car ce sont les deux seuls jours du week-end.

Nous utilisons ensuite nos réponses à l'affirmation \(A\) et à l'affirmation \(B\) pour tester la logique de l'affirmation principale.

Si aujourd'hui est un samedi, alors demain est un dimanche. L'affirmation finale est donc fausse. Cependant, si aujourd'hui est un dimanche, demain est un lundi, l'affirmation finale est alors vraie.

Par conséquent, la logique de l'affirmation finale dépend de l'affirmation \(A\) et est donc faible.

En mathématiques, les conjectures ont tendance à être plus concluantes (car les chiffres ne mentent pas !). Pour démontrer une conjecture mathématique par déduction, il faut des axiomes et une logique solide.

Un axiome est un énoncé qui est accepté comme vrai sans qu'il soit nécessaire de le prouver.

Résoudre une question de raisonnement déductif

Pour résoudre une question de raisonnement déductif, tu dois :

  • considérer la logique de la conjecture ;

  • exprimer l'axiome sous forme d'expression mathématique lorsque cela est possible ;

  • résoudre pour voir si la logique s'applique à la conjecture ;

  • faire une déclaration finale sur la véracité de la conjoncture.

Expression mathématique de l'axiome

Bien que la plupart de ces règles algébriques te soient familières, il est bon de les connaître, car l'expression des axiomes sous forme d'expression mathématique nécessite parfois une certaine créativité dans l'utilisation de ces règles.

\(n\) représente un nombre quelconque.

  • Pour exprimer que \(n\) est un multiple de \(A\), tu peux écrire comme \(An\)

Exprime \(n\) comme un multiple de \(12\) de manière mathématique.

\(A\) est égal à \(12\). Par conséquent, la réponse est \(12n\)

  • Pour exprimer des nombres consécutifs, tu peux commencer par \(n\) (ou tout autre point de départ) et ajouter un à chaque fois pour obtenir \(n + 1\), \(n + 2\), etc.

Exprime les deux nombres consécutifs après \(x^2\)

Pour obtenir les nombres consécutifs suivants, tu ajoutes \(1\) à chaque nombre consécutif. Par conséquent, le premier terme est \(x^2\), le deuxième terme est \(x^2+1\), le troisième terme est \(x^2+2\).

  • Pour exprimer des nombres pairs consécutifs, tu peux commencer par les nombres consécutifs : \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\). Tu multiplies ensuite chaque terme par \(2\), car tous les nombres pairs sont des multiples de \(2\). Les termes pairs consécutifs sont donc \(2 (n)\), \(2 (n + 1)\), \(2 (n + 2)\), ce qui peut être simplifié en \(2n\), \(2n + 2\), \(2n + 4\), etc.

  • L'expression des nombres impairs consécutifs est un peu plus compliquée que celle des nombres pairs consécutifs, car les nombres impairs ne font pas partie d'un multiple. Cependant, ils sont définis par le fait qu'ils ne font pas partie d'un multiple de deux. Par conséquent, toutes les lacunes des nombres pairs consécutifs constitueront les nombres impairs consécutifs.

Nombres pairs consécutifs

2n

2n + 2

2n + 4

Nombres impairs consécutifs

2n + 1

2n + 3

2n + 5

Exemples de raisonnement déductif

Nous allons maintenant passer en revue quelques exemples pour montrer comment répondre à des questions comme celles-ci.

Démontre que la somme de deux nombres consécutifs est équivalente à la différence entre deux nombres consécutifs au carré.

Comme décrit ci-dessus, tu peux exprimer algébriquement deux nombres consécutifs sous la forme \(n\), \(n + 1\).

La somme de deux nombres consécutifs est donc \(n+n+1=2n+1\)

Pour trouver la différence entre deux nombres consécutifs au carré, tu dois d'abord élever au carré chaque nombre consécutif pour obtenir \((n)^2\) et \((n+1)^2\).

En développant et en simplifiant les carrés, on obtient :

\((n)^2 = n^2\)

\((n+1)^2 = (n+1)(n+1) = n^2+2n+1\)

La différence entre deux nombres consécutifs élevés au carré est donc de \(n^2+2n+1-n^2 = 2n+1\)

Pour terminer la question, tu dois rédiger une conclusion : La somme de deux nombres consécutifs et la différence entre deux nombres consécutifs au carré sont égales l'une à l'autre, car elles sont toutes deux égales à \(2n + 1\).

Démontre que la réponse à l'équation \(x^2+8x+20\) est toujours positive.

Comme tu veux que \(x\) n'apparaît qu'une fois dans l'expression, tu dois compléter le carré avec l'équation.

  • D'abord, tu divises \(8\) par deux et tu le substitues dans ta nouvelle équation : \((x+4)^2\)
  • Tu développes ensuite pour trouver ta constante à l'extérieur de la parenthèse \((x+4)^2=(x+4)(x+4)=x^2+8x+16\). Tu as besoin de \(+20\) pour que la nouvelle équation corresponde à l'équation, donc tu dois ajouter +4. La réponse est donc \((x+4)^2+4\).

Comme toujours, tu as besoin d'une conclusion : Quelle que soit la valeur de \(x\), en l'élevant au carré et en ajoutant 4, la valeur de l'équation sera toujours positive.

Raisonnement inductif

Contrairement au raisonnement déductif, le raisonnement inductif est une méthode permettant de tirer des conclusions à partir d'observations. Il est souvent utilisé en mathématiques, car il permet de faire des prédictions sur des modèles qui peuvent se produire.

Par exemple, disons que nous avons une séquence de chiffres : \(1, 2, 4, 7, 11\). Nous pouvons utiliser le raisonnement inductif pour prédire que le prochain nombre de la séquence est \(15\). Nous le savons car nous pouvons voir que chaque nombre de la séquence est supérieur de trois au précédent. Ainsi, nous pouvons raisonner par induction que le prochain nombre sera trois de plus que \(11\), c'est-à-dire \(15\)

Le raisonnement inductif est un outil puissant car il nous permet de faire des prédictions basées sur observations. Toutefois, il est important de noter que le raisonnement inductif ne peut être utilisé que pour faire des prédictions, il ne peut pas être utilisé pour prouver des choses de manière définitive.

Raisonnement hypothético-déductif

En mathématiques, le raisonnement hypothético-déductif est une méthode de raisonnement qui consiste à proposer d'abord une hypothèse, puis à la tester par déduction. Si les déductions conduisent à une contradiction, l'hypothèse est fausse, sinon, elle est vraie. Cette méthode de raisonnement est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris l'algèbre, la géométrie et la théorie des nombres.

Le raisonnement hypothético-déductif est un outil puissant pour la découverte mathématique et peut être utilisé pour prouver des théorèmes qui sont autrement difficiles à prouver. Par exemple, le célèbre dernier théorème de Fermat a été démontré à l'aide de cette méthode. En général, plus un théorème est compliqué, plus il est probable qu'un raisonnement hypothético-déductif soit nécessaire pour le prouver.

Raisonnement déductif - Points à retenir

  • Le raisonnement déductif utilise des axiomes mathématiques et la logique pour prouver ou réfuter une conjecture.

  • Tu peux exprimer plusieurs axiomes de manière algébrique, comme les nombres consécutifs pairs et impairs.

  • Un axiome est un énoncé qui est accepté comme vrai sans qu'il soit nécessaire de le prouver.

  • Le raisonnement inductif est une méthode permettant de tirer des conclusions à partir d'observations.

  • Le raisonnement hypothético-déductif est une méthode de raisonnement qui consiste à proposer d'abord une hypothèse, puis à la tester par déduction. Si les déductions conduisent à une contradiction, l'hypothèse est fausse, sinon, elle est vraie.

Questions fréquemment posées en Raisonnement déductif

Le raisonnement déductif est un processus de pensée logique qui nous permet de tirer des conclusions à partir de prémisses ou de preuves. En d'autres termes, il s'agit d'un mode de pensée qui part de principes ou d'hypothèses générales pour les appliquer ensuite à des cas spécifiques.

La différence entre l'induction et la déduction est la suivante : avec l'induction, on part de cas spécifiques pour ensuite essayer d'extrapoler des principes généraux, alors qu'avec la déduction, on fait l'inverse. La déduction est donc un processus descendant, alors que l'induction est ascendante.

Pour faire une déduction, nous devons disposer de prémisses ou de preuves qui nous permettent de parvenir à une conclusion. Les prémisses doivent être vraies, et la déduction doit être valide (c'est-à-dire que la conclusion doit nécessairement découler des prémisses).

Les critères du raisonnement inductif sont les suivants : les prémisses doivent être vraies, et l'induction doit être forte (c'est-à-dire que la conclusion être hautement probable d'être vrai si les prémisses sont vraies). 

Le raisonnement inductif, le raisonnement abductif, le raisonnement par analogie, le raisonnement par l'absurde, le raisonnement par contre exemple, le raisonnement par disjonction de cas et le raisonnement par récurrence.

Questionnaire final de Raisonnement déductif

Question

Qu'est-ce que le raisonnement déductif ?

Montrer la réponse

Réponse

Le raisonnement déductif est une forme de raisonnement logique qui applique les principes de la logique pour arriver à un résultat sur la base d'un ensemble de prémisses données.

Montrer la question

Question

Quels sont les principes de la logique ?

Montrer la réponse

Réponse

Les principes de la logique sont les règles qui gouvernent le processus de déduction.

Montrer la question

Question

Quelle est la différence entre le raisonnement déductif et le raisonnement inductif ?

Montrer la réponse

Réponse

Le raisonnement déductif est une forme de raisonnement logique qui applique les principes de la logique pour parvenir à un résultat sur la base d'un ensemble donné de prémisses. Le raisonnement inductif est une forme de raisonnement logique qui influe sur les résultats en faisant des généralisations basées sur des observations.

Montrer la question

Question

Comment fonctionne la déduction ?

Montrer la réponse

Réponse

La déduction fonctionne en appliquant les principes de la logique à une question ou un problème afin d'arriver à une conclusion.

Montrer la question

Question

Quelles sont les étapes de la déduction ?

Montrer la réponse

Réponse

Les étapes de la déduction sont les suivantes : les prémisses sont données, le principe de la logique est appliqué et une conclusion est tirée.

Montrer la question

Question

Dans la phrase ""Si aujourd'hui c'est le week-end, alors demain doit être un jour de la semaine" quelle est l'affirmation A ?

Montrer la réponse

Réponse

"si aujourd'hui c'est le week-end"

Montrer la question

Question

Dans la phrase 

"Si aujourd'hui c'est le week-end, alors demain doit être un jour de la semaine", quelle est l'affirmation B ?

Montrer la réponse

Réponse

"demain doit être un jour de la semaine"

Montrer la question

Question

Quelles sont les étapes pour résoudre une question de raisonnement déductif ?

Montrer la réponse

Réponse

  • considérer la logique de la conjecture ;

  • exprimer l'axiome sous forme d'expression mathématique lorsque cela est possible ;

  • résoudre pour voir si la logique s'applique à la conjecture ;

  • faire une déclaration finale sur la véracité de la conjoncture.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'un axiome ?

Montrer la réponse

Réponse

Un axiome est un énoncé qui est accepté comme vrai sans qu'il soit nécessaire de le prouver. 

Montrer la question

Question

Comment représente-t-on des nombres consécutifs ?

Montrer la réponse

Réponse

Tu peux commencer par n (ou tout autre point de départ) et ajouter 1 à chaque fois pour obtenir n + 1, n + 2, etc.

Montrer la question

Question

Représente la liste des nombres pairs consécutifs.

Montrer la réponse

Réponse

2n, 2n+2, 2n+4

Montrer la question

Question

Représente la liste des nombres impairs consécutifs.

Montrer la réponse

Réponse

2n+1, 2n+3, 2n+5...

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que le raisonnement inductif ?

Montrer la réponse

Réponse

Le raisonnement inductif est une méthode permettant de tirer des conclusions à partir d'observations.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que le raisonnement hypothético-déductif  ?

Montrer la réponse

Réponse

Le raisonnement hypothético-déductif est une méthode de raisonnement qui consiste à proposer d'abord une hypothèse, puis à la tester par déduction.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'un contre-exemple ?

Montrer la réponse

Réponse

Un contre-exemple est un cas spécifique qui contredit une affirmation plus générale.

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tous les nombres premiers sont impairs »

Montrer la réponse

Réponse

2

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « toute équation du second degré a deux racines »

Montrer la réponse

Réponse

x2 = 0 n'a que 0 comme racine

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tout nombre de la forme 2n + 1, où n est un entier, est un nombre premier »

Montrer la réponse

Réponse

15 = 2*7 +1, pourtant 15 n'est pas premier

Montrer la question

Question

Si n est un entier naturel, alors n2 > n. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

Si n = 1, alors n2 = n et cette affirmation n'est donc pas vraie.

Montrer la question

Question

Si p et q sont des entiers naturels, alors pq > p et pq > q. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, en effet si p = 1 et q et n'importe quel entier naturel, alors ce n'est pas vrai.

Montrer la question

Question

Les entiers qui se terminent par un 7 sont premiers. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

27 = 3*9 et donc n'est pas premier

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « la somme de 2 et tout autre nombre premier est aussi un nombre premier »

Montrer la réponse

Réponse

2+7 = 9

2 et 7 sont premiers, mais 9 ne l'est pas.

Montrer la question

Question

La somme de deux nombres irrationels est toujours irrationnel. Vrai ou faux ?

Montrer la réponse

Réponse

C'est faux car pi et -pi sont tous les deux des nombres irrationnels. Or, pi + (-pi) = 0, qui est rationnel.

Montrer la question

Question

Est-ce vrai que la somme deux nombres est toujours plus grand que chacun des nombres ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, par exemple, -1 + 1 = 0, mais 0 > -1

Montrer la question

Question

Est-ce vrai que toutes les droites dans le plan ont une intersection ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, les droites parallèles, par exemple y = x et y =x +2, n'ont pas d'intersection. 

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « si p est un nombre rationnel, alors la racine carrée de p est un nombre irrationnel. » 

Montrer la réponse

Réponse

Tout carré est un contre-exemple, par exemple la racine carrée de 9 est 3, qui n'est pas irrationnel. 

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tout nombre réel est un nombre rationnel. »

Montrer la réponse

Réponse

pi et la racine carrée de 2 sont des nombres réels, pourtant ils ne sont pas rationnels. 

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « le produit de deux nombres positifs est toujours supérieur à chacun des deux nombres »

Montrer la réponse

Réponse

0,5 et 0,2 sont deux nombres positifs, pourtant leur produit est 0,1 plus petit que 0,5 et 0,1

Montrer la question

Question

Trouve un x qui ne vérifie pas x2 - 9 > 0.

Montrer la réponse

Réponse

Tout nombre réel entre -3 et 3 est un contre-exemple à cette inégalité.

Montrer la question

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