Mathématiques fondamentales

Mathématiques pures : intérêt

Souvent attribuée au grand scientifique Niels Bohr, cette citation nous explique que l'innovation n'arrive pas qu'en suivant un chemin direct. Justement, c'est en étudiant les idées très abstraites et parfois bizarres que nous ouvrirons des passerelles vers d'autres façons de penser et de découvertes inattendues. Les mathématiques fondamentales nous permettent d'apprendre des choses que nous ne pourrions même pas imaginer.

Les thèmes en mathématiques fondamentales

Passons en revue les thèmes des mathématiques fondamentales traités sur StudySmarter.

La démonstration

Une démonstration ou preuve est un argument logique qui montre si un énoncé mathématique est vrai ou non. Les démonstrations mathématiques doivent être solides, c'est-à-dire qu'elles doivent prendre en compte toutes les possibilités et qu'il ne doit y avoir aucune faille dans le raisonnement. Les démonstrations sont construites sur des axiomes et sont extrêmement importantes : sans elles, nous ne pouvons pas affirmer que les résultats mathématiques sont corrects.

Tu peux utiliser de nombreuses techniques différentes pour prouver des propositions mathématiques, et les articles de StudySmarter couvrent les principales techniques qu'il faut connaître.

L'algèbre

L'algèbre est une représentation abstraite des nombres qui te permet de faire des phrases mathématiques. Par exemple, si tu voulais décrire une situation qui implique une quantité inconnue. Dans ce cas, tu peux appeler cette quantité \( x \) et voir comment cette variable est modifiée en fonction de la situation.

Il y a pas mal de concepts propres à l'algèbre que nous explorons sur StudySmarter, mais ces concepts algébriques peuvent s'appliquer dans tous les domaines des mathématiques. En effet, l'algèbre est un outil extrêmement puissant, et une solide compréhension peut s'avérer très utile. Même si certains trouvent l'algèbre déroutante, nos guides t'expliqueront simplement les principes fondamentaux, que tu pourras ensuite appliquer pour réussir tes contrôles.

Les fonctions

Les fonctions appliquent des opérations mathématiques à une valeur d'entrée, produisant une valeur de sortie. Elles sont souvent exprimées par \( f(x) \), ce qui signifie que la fonction prend en entrée une variable \( x \). Un exemple simple est \( f(x) = x+2\), ce qui veut dire que cette fonction ajoute deux à la valeur d'entrée.

La représentation graphique des fonctions est d'une grande importance. Il faut savoir comment les analyser et les tracer pour réussir tes examens (et aussi pour être bon(ne) en maths).

Fig. 1 - Représentation graphique de la fonction valeur absolue

La géométrie

La géométrie est l'étude des formes. Nous pouvons étudier la géométrie synthétique, dont les méthodes sont basées sur les constructions et les intersections, ou la géométrie analytique, qui utilise des descriptions algébriques pour résoudre des problèmes. La géométrie analytique intervient souvent dans l'étude des fonctions, notamment pour tracer et analyser leurs courbes représentatives. La géométrie traite les systèmes dans le plan (avec deux dimensions) ou dans l'espace (avec trois dimensions).

Fig. 2 - Diagramme d'un cercle

Les suites et les séries

Une suite est une liste d'éléments, souvent générée selon une règle donnée. On appelle les suites numériques les suites de nombres. Les suites les plus souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. En plus des suites, nous pouvons également étudier les séries. Il ne s'agit pas de celles que tu regardes ; en maths, une série est la somme des termes d'une suite. Les suites et les séries ont de nombreuses applications dans la vie réelle, par exemple pour estimer la propagation des virus qui provoquent une maladie.

La trigonométrie

La trigonométrie consiste à étudier les angles et leurs relations avec les longueurs de certaines formes, généralement celles des triangles. Même si cette définition peut donner l'impression qu'il s'agit d'un domaine très réduit, il est pourtant important dans de nombreuses autres branches des mathématiques. Nous y étudions notamment les fonctions trigonométriques comme sinus, cosinus et tangente et leurs fonctions inverses, les radians, ainsi que d'autres règles importantes.

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien

La fonction exponentielle est la fonction notée \( exp(x) \) ou \( e^x \). Elle a une place importante dans l'analyse mathématique car elle a des propriétés spéciales. De plus, elle a de nombreuses applications, notamment pour la résolution des équations différentielles et pour la modélisation de la croissance des populations. La fonction logarithme népérien (ou naturel) est la fonction inverse de la fonction exponentielle, notée \( ln(x) \). Elle est d'une grande utilité en mathématiques et dans la vie réelle.

La dérivation

La dérivation consiste à trouver des dérivées de fonctions. Rappelle-toi que la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction est la droite qui ne touche la courbe qu'en ce point. La dérivée d'une fonction en un point donne la pente de cette tangente. En fait, elle représente la variation d'une variable par rapport à une autre.

Fig. 3 - Tangente d'une courbe en un point

Par exemple, si \( y = f(x) \), alors la dérivée, notée \( f'(x) \) ou \( \frac{dy}{dx} \) indique comment la variable \(y\) change par rapport à la variable \(x\). Il y a de nombreuses règles concernant la dérivation, notamment la dérivation des fonctions composées et des fonctions trigonométriques. Enfin, les dérivées jouent le rôle central dans les équations différentielles, qui décrivent mathématiquement des problèmes présents dans de nombreux domaines.

L'intégration

L'intégration permet de trouver l'aire sous la courbe représentative d'une fonction. Plus généralement, elle est l'opération inverse de la dérivation. Pour désigner une intégrale, nous écrivons \( \int_{a}^{b} f(x) dx\) que nous lisons de la manière suivante : « l'intégrale de \(f(x)\) entre \(a\) et \(b\) ». Il est possible de ne pas préciser les valeurs limites de l'intégrale (comme \( \int f(x) dx\) ), mais dans ce cas nous parlerons d'une primitive de \(f(x)\). Si les dérivées permettent de formuler les équations différentielles, c'est alors l'intégration qui nous permet de les résoudre.

Fig. 4 - Aire S sous la courbe représentative d'une fonction f(x)

Les vecteurs

Les vecteurs sont des objets mathématiques qui disposent d'une valeur et d'une direction. Nous pouvons les représenter en utilisant un repère, comme tu peux voir ci-dessous.

Fig. 5 - La représentation graphique d'un vecteur

Les vecteurs peuvent également être exprimés à l'aide des vecteurs unitaires, ou sous forme de colonne. Par exemple, le vecteur au-dessus peut être noté dans les façons suivantes : \[ 3\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5\hat{\boldsymbol{\jmath}} \] \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}

Pourquoi étudier les vecteurs ? Ils sont très utiles pour décrire certaines grandeurs physiques comme les forces, ou encoder les états des systèmes en physique quantique.