Suites numériques

Les suites sont d'une grande importance en mathématiques, particulièrement dans le domaine de l'analyse. D'une part, les suites permettent de formaliser énormément des concepts fondamentaux des mathématiques avancées. D'autre part, les suites possèdent de nombreuses applications, notamment en finance et en biologie.

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Table des mateères

    Suite : définition mathématique

    Une suite est une liste d'éléments disposés dans un certain ordre.

    Les termes dans une suite n'ont pas besoin d'être des nombres : ils peuvent aussi être des fonctions, par exemple. Quand les termes d'une suite ne sont que des nombres, il s'agit d'une suite numérique. Une suite peut être notée \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Souvent, \( n\) est appelé le rang du terme \( u_n \) et ici, \( \mathbb{N}\) est l'ensemble des nombres qu'on utilise pour indexer les termes de la suite. Ainsi, on note \(u_0\) le premier terme, \(u_1\) le deuxième terme, \(u_2\) le troisième terme, etc.

    Garde en tête que parfois la définition de l'ensemble \( \mathbb{N}\) inclut 0, et parfois non.

    La liste des nombres positifs pairs est un exemple d'une suite \(0, 2, 4, 6, 8, ... \). Suivant la notation utilisée plus haut dans cet article, si nous appelons cette suite \( (u_n) \), alors \( u_0 = 0 \), \( u_1 = 2 \), \( u_2 = 4 \), etc.

    Les termes d'une suite peuvent avoir une forme explicite, qui nous permet de calculer les termes en fonction de n, ou elles peuvent être définies par récurrence. Nous calculons les termes d'une suite définie par récurrence en fonction des termes précédents.

    Quand nous définissons une suite par récurrence, il faut aussi fixer le premier terme de la suite.

    La suite dans l'exemple précédent peut être définie explicitement avec la formule \( u_n = 2n \). Cette suite peut être définie par récurrence avec \( u_{n+1} = u_n + 2 \), en fixant \( u_0 = 0 \).

    Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques.

    Suites arithmétiques

    Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante.

    \(1, 4, 7, 10, ...\) est une suite arithmétique de raison \( 3 \) : la différence entre deux termes consécutifs est toujours \( 3 \).

    \(78, 72, 66, 60 ...\) est une suite arithmétique de raison \( -6 \).

    Il existe une formule pour calculer la valeur de n'importe quel terme d'une suite arithmétique, à condition de connaître la raison et le premier terme de la suite. La formule à utiliser est : \[u_n = u_0 + nr \] où \(u_0\) est le premier terme de la suite arithmétique et \( r\) sa raison.

    Trouve la valeur des 50e termes des suites arithmétiques \(1, 4, 7, 10, ...\) et \(78, 72, 66, 60 ...\).

    Pour la première suite, comme le premier terme \(u_0\) est égal à \( 1 \) et la raison est \( 3 \), alors \[u_{50} = 1 + 50 \times 3 = 151 \]

    Pour la seconde suite, comme le premier terme \(u_0\) est égal à \( 78 \) et la raison est \( -6 \), alors \[u_{50} = 78 + 50 \times -6 = -222 \]

    Suites géométriques

    Les suites géométriques sont les suites où le quotient de deux termes consécutifs est une constante.

    \(3, 6, 12, 24, ...\) est une suite géométrique de raison \( 2 \) : le quotient de deux termes consécutifs est toujours \( 2 \).

    \(1, 0{,}1, 0{,}01, 0{,}001, ...\) est une suite géométrique de raison \( 0{,}1 \).

    \(1, -1, 1, -1, ...\) est une suite géométrique de raison \( -1 \).

    Comme pour les suites arithmétiques, il existe une formule pour calculer la valeur de n'importe quel terme d'une suite arithmétique, à condition de savoir la raison et le premier terme de la suite. La formule à utiliser ici est : \[u_n = u_0 \times r^n \], où \(u_0\) est le premier terme de la suite géométrique et \( r\) sa raison.

    Trouve la valeur du 10e terme de la suite géométrique \(16, 8, 4, ...\)

    Pour appliquer la formule, il faut le premier terme (ici, c'est \( 16 \)) et la raison. Afin de calculer la raison, il faut diviser n'importe quel terme par le terme précédent : \( 8 \div 16 = 0{,}5 \). Appliquons maintenant la formule : \[u_{10} = 16 \times 0{,}5^{10} = 0{,}015625 \]

    Suites arithmético-géométriques

    Une suite arithmético-géométrique est une suite pour laquelle il existe deux nombres réels \( a \) et \( b \) tels que \( u_{n+1} = au_{n} + b \).

    Comme son nom implique, les suites arithmético-géométriques généralisent les suites géométriques et les suites arithmétiques.

    • Si \( a = 1 \) pour \( b \) quelconque, alors \( u_{n+1} = u_{n} + b \). Comme \( u_{n+1} - u_{n} = b \), la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même et nous avons une suite arithmétique de raison \( b \).

    • Si \( b = 0 \) pour \( a \) quelconque, alors \( u_{n+1} = au_{n} \). Comme \( \frac{u_{n+1}}{ u_{n}} = a \), le quotient de deux termes consécutifs est toujours le même et nous avons une suite géométrique de raison \( a \).

    Pour \( a \neq 1 \), nous avons une formule pour les termes d'une suite arithmético-géométrique : \[ u_n = a^n(u_0 - \frac{1}{b-a}) + \frac{1}{b-a} \]

    Suites monotones et suites périodiques

    Il est important de distinguer quelles sont les suites monotones et périodiques. Pourquoi ? Il s'agit parfois de propriétés essentielles pour pouvoir appliquer certains théorèmes. Par exemple, un théorème peut exiger qu'une suite soit décroissante, sinon notre résultat ne serait pas juste.

    Une suite est croissante si pour tout \( n \) dans \( \mathbb{N} \), \( u_{n+1} \ge u_{n} \). Elle est strictement croissante si \( u_{n+1} > u_{n} \).

    Une suite est décroissante si pour tout \( n \) dans \( \mathbb{N} \), \( u_{n+1} \le u_{n} \). Elle est strictement décroissante si \( u_{n+1} < u_{n} \).

    Une suite (strictement) monotone est une suite (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.

    \(7, 15, 23, 31 ...\) est une suite strictement croissante. \(10, 5, 0, 0, 0, ...\) est une suite décroissante. Les deux suites sont monotones.

    Une suite est périodique s'il existe \( T \in \mathbb{N}\) tel que, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_{n+T} = u_{n} \). \( T \) est appelé la période. Concrètement, après \( T \), la suite se répète.

    \(8, 9, 10, 8, 9, 10, ...\) est une suite périodique, de période \(3\).

    Suite de Fibonacci

    La suite de Fibonacci est la suite d'entiers naturels où chaque terme est la somme des deux termes précédents. Cette suite peut donc être définie par récurrence, avec \( u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n} \). Ici, nous devons fixer les deux premiers termes car sinon il serait impossible de calculer les termes suivants, ainsi \( u_0 = 0 \) et \( u_1 = 1 \).

    Créée par Léonard de Pise, aussi appelé Leonardo Fibonacci, cette suite dispose d'une myriade de propriétés intéressantes. Notamment, elle a un lien avec le nombre d'or \( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), qui apparaît dans la nature et qui est utilisé par les artistes et les graphistes pour ajouter de la beauté à leurs créations.

    Suites mathématiques : formules

    Voici un tableau qui résume quelques formules importantes pour les suites numériques.

    La formule ou l'expressionC'est quoi ?À quoi ça sert ?
    \(u_n = u_0 + nr \)La formule explicite pour les termes d'une suite arithmétique \((u_n) \) de raison \(r \)Calculer un terme d'un rang (indice) donné
    \(u_n = u_0 \times r^n \)La formule explicite pour les termes d'une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(r \)Calculer un terme d'un rang (indice) donné.
    \( u_{n+1} = au_{n} + b \)La relation de récurrence qui définit une suite arithmético-géométriqueGénéraliser les suites arithmétiques et géométriques, et analyser les propriétés d'une suite arithmético-géométrique
    \( u_{n+1} \ge u_{n} \)La propriété définitoire d'une suite croissantePour démontrer que ou savoir si une suite est croissante
    \( u_{n+1} \le u_{n} \)La propriété définitoire d'une suite décroissantePour démontrer que ou savoir si une suite est décroissante
    \( u_{n+T} = u_{n} \)La propriété définitoire d'une suite périodiquePour démontrer que ou savoir si une suite est périodique

    Suites numériques - Points clés

    • Une suite numérique est une liste de nombres disposés dans un certain ordre.
    • Parmi les suites numériques, nous trouvons les suites arithmétiques (où la différence entre deux termes consécutifs est une constante) et les suites géométriques (où le quotient de deux termes consécutifs est une constante.)
    • Les suites arithmético-géométriques sont des suites qui généralisent les suites arithmétiques et les suites géométriques.
    • Une suite est croissante si \( u_{n+1} \ge u_{n} \) et elle est décroissante si \( u_{n+1} \le u_{n} \). Une suite est périodique si ses termes se répètent.
    • La suite de Fibonacci est la suite d'entiers naturels où chaque terme est la somme des deux termes précédents.
    Questions fréquemment posées en Suites numériques

    Comment calculer les suites en mathématiques ? 

    Pour calculer la valeur d'un terme dans une suite, si la suite a une forme explicite, il faut remplacer le rang (ou indice) dans la formule. Si la suite est définie par récurrence, il faut calculer le deuxième terme, ensuite le troisième terme, etc. jusqu'à arriver au terme qu'il faut. 

    Comment calculer les suites numériques ? 

    Pour calculer la valeur d'un terme dans une suite, si la suite a une forme explicite, il faut remplacer le rang (ou indice) dans la formule. Si la suite est définie par récurrence, il faut calculer le deuxième terme, ensuite le troisième terme, etc. jusqu'à arriver au terme qu'il faut. 

    Comment trouver le premier terme d'une suite ? 

    Pour trouver le premier terme d'une suite, il faut écrire des équations qui relient les valeurs données dans l'exercice et les formules concernant les suites. Ensuite, il faut manipuler ces expressions algébriques afin de calculer le premier terme.

    Quels sont les types de suites ? 

    Il y a plusieurs types de suites. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. Les suites géométriques sont les suites où le quotient de deux termes consécutifs est une constante.

    Comment calculer la somme d'une suite?

    Pour les suites arithmétiques et géométriques, il existe des formules spécifiques à appliquer. Pour d'autres types de suites, il faut étudier les termes de la suite afin de déduire une formule pour la somme de ses termes. 

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    La suite 76, 70, 64, ... est :

    La suite 7, 9, 11, ... est :

    La suite 0, 1, 0, 1, ... est 

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