La dérivation a de nombreuses applications dans la vie réelle, notamment dans les domaines de l'économie et de la physique. En effet, nous pouvons modéliser diverses quantités grâce à des fonctions, et la dérivée d’une fonction nous permet de déterminer ses extremums. Dans ce résumé de cours, nous expliquerons d'abord ce qu'est l'extremum d'une fonction, avant de passer sur la caractérisation du maximum d'une fonction. Nous montrerons ensuite comment trouver le maximum ou le minimum d'une fonction. Enfin, nous expliquerons comment résoudre un problème d'optimisation.
Extremum d'une fonction
Un extremum d'une fonction \(f(x)\) est un maximum ou minimum de \(f\).
Sur la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 2\), il y a deux extremums. Un des extremums est un maximum en \(x = 0\). L'autre extremum est un minimum en \(x = 2\).
Fig. 1 - La fonction ci-dessus possède deux extremumsLa propriété suivante permet de caractériser les extremums d'une fonction : si \(f(a)\) est un extremum de la fonction \(f(x)\), alors \(f'(a) = 0\). La réciproque n'est pas forcément vraie. En effet, si la dérivée s'annule en un point donné, la valeur correspondante de la fonction peut être un maximum, un minimum ou bien, un point d'inflexion.
Fig. 2 - La fonction \(f(x)\) admet un point d'inflexion en \(x=0\)
Dans notre exemple d'extremums, il y a deux extremums locaux. Il faut savoir distinguer un extremum local d'un extremum global.
Extremum local et global
Un extremum local d'une fonction \(f(x)\) est un maximum ou un minimum sur une partie (sous-ensemble) de l'ensemble d'arrivée de la fonction \(f\).
Les extremums de la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 2\), dont la courbe est présentée dans la section précédente, sont des extremums locaux.
En effet, nous pouvons voir que le maximum en \(x=0\) est la plus grande valeur sur l'intervalle \(] -\infty, 3[\). Or, en dehors de cet intervalle, \(f(0)\) n'est plus la plus grande valeur.
Le raisonnement est similaire pour le minimum en \(x=2\)
Un extremum global d'une fonction \(f(x)\) est un maximum ou un minimum sur tout l'ensemble d'arrivée de la fonction \(f\).
Le minimum de la fonction \(f(x) = x^2\) en \(x = 0\) est un minimum global. Aucune valeur dans son ensemble d'arrivée n'est supérieure à \(f(0)\).
Fig. 3 - La fonction ci-dessous possède un minimum global
Maximum d'une fonction
Le maximum d'une fonction se caractérise par le fait que la dérivée seconde en ce point est négative. Il sera donc sans surprise que le minimum d'une fonction se caractérise par le fait que sa dérivée seconde soit positive.
La dérivée seconde d'une fonction \(f(x)\) est la dérivée de sa dérivée, notée \(f''(x)\).
Considère la fonction \(f(x) = -3x^2 - 2x + 5\).
Sa dérivée est \(f’(x) = -6x - 2\).
Ainsi, sa dérivée seconde est \(f’’(x) = -6\).
Si cette fonction admet un extremum, alors ce sera un maximum.
Il peut arriver que la dérivée et la dérivée seconde d'une fonction s'annulent toutes les deux. Dans ce cas, nous ne pouvons pas utiliser la dérivée seconde pour conclure. Alors, comment faire pour trouver le maximum d'une fonction ?
Trouver le maximum d'une fonction
Pour trouver le maximum d'une fonction \(f(x)\) sur un intervalle \(]a,b[\), il faut :
déterminer la dérivée de la fonction, \(f'(x)\) ;
résoudre l'équation \(f'(x) = 0\) ;
vérifier qu'il s'agit d'un maximum en testant d'autres valeurs de la fonction, ou en utilisant la dérivée seconde.
Voyons alors un exemple de comment trouver le maximum d'une fonction.
Peux-tu trouver le maximum de la fonction \(f(x) = -3x^2 - 2x + 5\) ?
Dans la section précédente, nous avons déterminé que sa dérivée est \(f’(x) = -6x - 2\).
Résolvons \(-6x - 2 = 0\).
\(-6x = 2\)
\(x = -\frac{1}{3}\)
Il faut maintenant vérifier qu’il y a bien un maximum en \(x = -\frac{1}{3}\). Pour cela, nous allons regarder le signe de la dérivée seconde. Comme la dérivée seconde de cette fonction est négative, il s’agit bien d’un maximum.
Il suffit maintenant de calculer \(f(-\frac{1}{3})\), pour trouver le maximum de cette fonction.
\(f(-\frac{1}{3}) = -3\left( -\frac{1}{3}\right) ^2 - 2\left( -\frac{1}{3}\right) + 5\).
Enfin, le maximum de la fonction \(f(x) = -3x^2 - 2x + 5\) est \(5 \frac{1}{3}\).
Nous pouvons vérifier qu’il s’agit d’un maximum de la fonction avec la dérivée seconde ou en testant des valeurs autour de l’extremum trouvé.
Considère la fonction \(f(x) = x^4\). Sa dérivée s’annule en \(x = 0\). Comme \(f’’(x) = 0\), nous ne pouvons pas conclure quant à la nature de cet extremum de cette façon. Il est donc nécessaire de calculer des valeurs de la fonction autour de \(f(0)\) et voir si elles sont inférieures ou supérieures à \(f(0)\).
\(f(1) = 1 > 0 = f(0)\)
\(f(-1) = 1 > 0 = f(0)\)
Comme ces deux valeurs sont supérieures à \(f(0)\), il s’agit plutôt d’un minimum.
L'approche détaillée ici suppose que \(f(x)\) n'est pas monotone (croissante ou décroissante) sur l'intervalle \(]a,b[\). Si la fonction est croissante, son maximum sera \(f(b)\). Si elle est décroissante, alors son maximum est \(f(a)\).
Maximum local
Pour déterminer si le maximum trouvé est un maximum local, il faut déterminer s'il existe une autre valeur de \(x\) pour laquelle la fonction est supérieure.
Admettons que la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 5\) a un maximum en \(x = -1\). Es-tu capable de déterminer s’il s’agit d’un maximum local ou d'un maximum global ?
Il faut chercher s’il existe un \(x\) tel que \(f(x) > f(-1)\). Le plus simple est souvent de regarder la courbe représentative de la fonction. D'après sa courbe ci-dessous, nous pouvons voir qu'il y a des valeurs supérieures à \(f(-1)\), ainsi ce maximum est local.
Fig. 4 - Nous pouvons vérifier s'il s'agit d'un maximum local ou global en regardant la courbe représentative de la fonction
Tu peux aussi calculer d'autres valeurs de fonction. Comme \(f(-2) = 3\), alors \(f(-1)\) est un maximum local.
Trouver le minimum d'une fonction
Trouver le minimum d'une fonction nécessite la même approche que trouver le maximum d'une fonction, à un détail près. Il faut vérifier plutôt qu’il s’agit d’un minimum : soit en calculant la dérivée seconde ou en calculant des valeurs de la fonction autour de ce point.
Rappel : si la dérivée seconde d'un extremum est nulle, alors il s'agit d'un minimum.
Peux-tu trouver le minimum de la fonction \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 1\) ?
Il faut suivre les étapes détaillées dans la section précédente. Trouvons d'abord la dérivée de cette fonction : \(f'(x) = 4x^3 - 4x\).
Nous devons alors résoudre l'équation \(f'(x) = 0\).
\(4x^3 - 4x = 0\)
\(x^3 - x = 0\)
\(x(x^2 - 1) = 0\)
\(x(x - 1)(x+1) = 0\)
Il y a donc des extremums, ou des points d'inflexion, en \(x = -1, 0, 1\). Nous devons évaluer la dérivée seconde en chacun de ces points pour déterminer s'il s'agit d'un minimum.
La dérivée seconde est \(f''(x) = 12x^2 - 4\) et nous avons ainsi \(f(-1) = 8\), \(f(0) = -4\) et \(f(1) = 8\). Il y a donc deux minimums, en \(x = -1, 1\) et un maximum en \(x = 0\).
Déterminons alors les valeurs de la fonction en \(x = -1\) et \(x=1\).
\(f(-1) = (-1)^4 - (-1)^2 + 1 = 1\)
\(f(1) = (1)^4 - (1)^2 + 1 = 1\)
Minimum local
Comme pour les maximums locaux, nous pouvons déterminer si le minimum trouvé est un minimum local en traçant la courbe de la fonction, ou en calculant d'autres valeurs de la fonction. Notre objectif est de voir s'il existe une valeur inférieure au minimum trouvé.
Es-tu capable de déterminer si \(y=1\) est un maximum local ou un maximum global de la fonction \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 1\) ?
En regardant la courbe représentative de la fonction, nous pouvons voir que \(1\) n'est pas un maximum global de la fonction.
Fig. 5 - Les minimums de cette fonction sont des minimums globaux
La recherche des minimums et des maximums permet de résoudre les problèmes d'optimisation.
Problème d'optimisation
Le but d'un problème d'optimisation est de trouver « la meilleure valeur » dans un contexte donné. Cela peut se faire grâce aux techniques employés ici. Toutefois, garde à l'esprit qu'il existe un grand nombre de méthodes pour résoudre des problèmes d'optimisation.
Pour résoudre un problème d'optimisation simple, il est d'abord nécessaire de modéliser la quantité à maximiser ou minimiser (comme une fonction). Par la suite, il faut déterminer le maximum ou le minimum de cette fonction. Voyons un exemple simple.
Une entreprise vise à fabriquer des rectangles à partir de fils métalliques. Si chaque fil à une longueur de \(50\) cm, quelles dimensions auraient le rectangle d'aire maximale ?
Il est d'abord nécessaire de formuler une expression mathématique pour l'aire d'un rectangle générique créé à partir d'un fil. Soient \(x\) et \(y\) la largeur et la longueur du rectangle respectivement.
Déterminons la longueur du rectangle en termes de \(x\). Le périmètre du rectangle est \(2(x+y) = 50\). Nous obtenons donc que \(y = 25 - x\).
Il est maintenant possible d'avoir une expression pour l'aire du rectangle : \(x(25 - x) = 25x - x^2\). Notre problème d'optimisation consiste donc à trouver le maximum de la fonction \(f(x) = 25x - x^2\).
La dérivée de cette fonction est : \(f'(x) = 25 - 2x\).
Pour trouver un extremum, résolvons \(f'(x) = 25 - 2x = 0\). Ainsi, \(x = 12{,}5\).
La dérivée seconde de la fonction est : \(f''(x) = -2\).
Comme la dérivée seconde est négative, la fonction admet un maximum en \(x = 12{,}5\).
Ainsi, le rectangle d'aire maximale aurait une largeur de \(12{,}5\) cm et une longueur de \(y = 25 - x = 12{,}5\) cm. L'entreprise devrait donc plutôt fabriquer des carrées si elle souhaite optimiser l'aire.
Extremum - Points clés
- Un extremum d'une fonction est un maximum ou minimum de la fonction.
- Un maximum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement négative.
- Un minimum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement positive.
- Pour trouver le maximum ou le minimum d'une fonction, il faut :
- déterminer la dérivée de la fonction \(f'(x) = 0\) ;
- résoudre l'équation \(f'(x) = 0\) ;
- déterminer si le point trouvé est un minimum ou un maximum.
- Pour résoudre un problème d'optimisation, il est nécessaire d'écrire la quantité à maximiser ou minimiser sous la forme d'une fonction et suivre les étapes précédentes.
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