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Théorème des valeurs intermédiaires

Imagine que tu pars en vacances. Tu es à bord d'un vol depuis la France à destination du Brésil. Comme le Brésil est dans l'hémisphère sud, tu devras forcément traverser l'équateur. Avec le théorème des valeurs intermédiaires, ou TVI, c'est le même principe, mais pour les fonctions continues. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord expliquer les concepts de limite et de continuité. Par la suite, nous étudierons quelques propriétés des fonctions continues, notamment le TVI. Pour finir nous déterminerons ce qu'est le sens de variation d'une fonction, ce qui nous permettra de présenter un corollaire important du théorème des valeurs intermédiaires : le théorème de la bijection.

Limites de fonctions

Considérons la fonction \(f(x) = x^2\).

\(f(1) = 1\)

\(f(10) = 100\)

\(f(1 000) = 1 000 000\)

Lorsque \(x\) s'approche de \(+\infty\), \(f(x)\) s'approche de \(+\infty\) également. Nous pouvons ainsi dire que la fonction \(f(x) = x^2\) a pour limite \( +\infty\).

La limite d'une fonction \(f(x)\) est la valeur qu'elle approche lorsque \(x\) devient de plus en plus proche d'une valeur donnée. Nous pouvons également dire que la fonction « tend vers » sa limite. Nous utilisons la notation suivante : \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \] ce qui signifie que la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\) est égale à \(\ell\).

Il y a des définitions plus rigoureuses de la limite d'une fonction en une valeur donnée. En mathématiques avancées, nous utilisons la définition « epsilon-delta ». En effet, la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\) est \(\ell\), si et seulement si, pour tout \( \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}\), il existe un \(\delta\) tel que, pour tout \(x\) dans le domaine de definition de \(f\), nous avons l'implication suivante : \[ |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - \ell| < \varepsilon\]

La notion de limite permet de définir un des concepts clés de l'analyse mathématique : la continuité.

Continuité

Une des propriétés fondamentales des fonctions mathématiques est la continuité. La continuité est une hypothèse nécessaire pour beaucoup de théorèmes, en l'occurrence le théorème des valeurs intermédiaires, ou TVI. Une fonction satisfait la caractéristique de continuité si la limite en une valeur donnée est égale à la valeur de la fonction.

Une fonction \(f(x)\) est continue en un point si \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).

Une fonction est continue sur un intervalle \(I\) si la fonction est continue en tout \(x \in I\).

Si une fonction n'est pas continue en un point ou sur un intervalle, elle y est discontinue.

En général, la plupart des fonctions que tu étudieras seront continues. Regardons plutôt quelques exemples de discontinuité.

Théorème des valeurs intermédiaires Discontinuité fonction inverse StudySmarterFig. 1 - La courbe représentative de la fonction inverse

La fonction inverse est discontinue en \(x= 0\). En effet, cette fonction n'est pas continue en \(0\) pour deux raisons. D'abord, la fonction inverse n'est pas définie en \(0\). De plus, elle n'a pas de limite en \(x=0\), comme elle ne tend pas vers une seule valeur. En revanche, nous pouvons dire que la limite à droite est \(+\infty\) et la limite à gauche est \(-\infty\).

Théorème des valeurs intermédiaires Discontinuité fonction en escalier StudySmarterFig. 2 - La représentation graphique d'une fonction en escalier

Une fonction en escalier est une fonction qui prend un nombre fini de valeurs sur des intervalles. La représentation graphique de la fonction en escalier ci-dessus présente certains « sauts ». À chaque saut, la fonction y est discontinue. Comme la fonction inverse au voisinage de \(x =0\), la limite à gauche est différente de la limite à droite. Ainsi, la limite n'existe pas.

Comme pour les limites, il y a des caractérisations plus poussées de la continuité qui réposent notamment sur des suites ou des ensembles ouverts.

Ces connaissances en matière de limites de fonctions et de continuité te permettront d'aborder le théorème des valeurs intermédiaires.

Fonctions continues

Le théorème des valeurs intermédiaires, ou TVI, ne s'applique qu'aux fonctions continues. Avant d'énoncer le TVI, nous expliciterons comment savoir ou démontrer qu'une fonction est continue. Il faut garder à l'esprit que nous utilisons rarement la définition de la continuité pour savoir qu'une fonction est continue. Tout d'abord, nous exploitons le fait que les fonctions usuelles, ou fonctions de référence sont continues sur leurs domaines de définition respectifs. De plus, la somme, la différence, le produit, le quotient ou une composition de fonctions continues est également continue.

La fonction \(f(x) = e^x + x^2 \sin(2x + 5)\) est une fonction continue. En effet, la fonction exponentielle, la fonction sinus et les polynômes sont des fonctions usuelles (et donc, continues). Comme \(\sin(2x + 5)\) est une composition de fonctions continues, elle est continue. Similairement, \(x^2 \sin(2x + 5)\) est le produit de fonctions continues. Enfin, \(f\) est la somme de fonctions continues et est donc continue, elle-même.

Si une fonction est dérivable, alors elle est également continue. L'inverse n'est pas forcément vrai.

Maintenant tu sais identifier des fonctions continues, auxquelles tu peux appliquer le TVI. Le théorème des valeurs intermédiaires précise que pour une fonction continue \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout nombre réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) tel que \(f(c) = k\).

Considérons la fonction \(f(x) = e^x + x^2 \sin(2x + 5)\) et l'intervalle \([0,1]\). D'après l'exemple précédent, il s'agit d'une fonction continue. Comme \(f(0) = 1\) et \(f(1) = 3{,}38\), il y a au moins un nombre réel \(c\) telle que \(f(c) = 2\).

Nous pouvons également utiliser le TVI pour démontrer qu'il existe une solution d'une équation et pour l'encadrer, c'est-à-dire, de la placer entre deux valeurs.

À l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons démontrer qu'il y a au moins une solution de l'équation \(x^3 +3x^2 -1 = 0\).

Si nous considérons la fonction \(g(x) = x^3 +3x^2 -1\), nous avons \(g(0) = 1\) et \(g(1) = 3\).

Il y a donc au moins une valeur de \(x \in [0,1]\), telle que \(f(x) = 0\).

Ainsi, il y a au moins une solution de l'équation \(x^3 +3x^2 -1 = 0\).

Dans l'exemple précédent, nous avons appliqué le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer qu'il existe une solution dans un certain intervalle. Pour démontrer qu'il existe une unique solution, il faut utiliser un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Pour comprendre ce corollaire, il faut connaître (ou se rappeler) le concept de sens de variation d'une fonction.

Sens de variation d'une fonction

Préciser le sens de variation d'une fonction revient à déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Une fonction \(f\) est croissante (ou décroissante) sur un intervalle \(I\) si pour \(x\) et \(y\), tels que \(x, y \in I\) et \(x \leq y\), alors \(f(x) \leq f(y)\) (ou \(f(x) \geq f(y)\)).

Si les inégalités précédentes sont des inégalités strictes, alors nous pouvons dire que la fonction est strictement croissante ou décroissante.

Dans tous ces cas, la fonction est dite monotone.

Une fonction peut être ni croissante ni décroissante.

Une fonction est croissante si sa dérivée est positive. À l'inverse, si sa dérivée est négative, la fonction est décroissante.

Considérons la fonction \(x^2\). Sa dérivée est \(2x\), qui est négative lorsque \(x \leq 0\) et positive lorsque \(x \geq 0\). Cette fonction est donc croissante sur l'intervalle \(]-\infty, 0]\) et décroissante sur l'intervalle \([0,+\infty[\).

La propriété de monotonie est une condition nécessaire au théorème de la bijection.

Théorème de la bijection

Le théorème de la bijection précise que pour une fonction continue et monotone \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un unique réel \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = k\). Cet énoncé est très similaire à celui du théorème des valeurs intermédiaires. La différence clé est l'ajout de l'hypothèse de monotonie qui résulte dans l'unicité de \(k\). Cela est illustré ci-dessous.

Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de la bijection StudySmarterFig. 3 - Une fonction continue non-monotone sur un intervalle peut avoir plusieurs antécédents qui correspondent à une valeur de la fonction

Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de la bijection StudySmarterFig. 4 - Une fonction continue et monotone vérifie le théorème de la bijection

Le théorème de la bijection s'utilise notamment pour démontrer l'existence d'une unique solution d'une équation.

Considérons l'équation \(e^{2x^3 + 5} = 1\). La fonction \(f(x) = e^{2x^3 + 5}\) est une fonction continue et dérivable.

Calculons sa dérivée : \(f'(x) = 6x^2e^{2x^3 + 5}\).

Comme la fonction exponentielle et les polynômes de puissance paire sont toujours positives, \(f'(x)\) est positive.

Ainsi, \(f(x)\) est croissante, donc monotone et nous pouvons appliquer le théorème de la bijection.

Il faut maintenant trouver un intervalle \([a,b]\), tel que \(f(a) < 1 < f(b)\). L'intervalle \([-2,-1]\) vérifie cette condition. En effet, \(f(-2) = 0{,}00002\) et \(f(-1) = 20{,}1\).

Par le théorème de la bijection, il existe donc une unique solution de cette équation.

Théorème des valeurs intermédiaires - Points clés

  • La limite d'une fonction \(f(x)\) est la valeur qu'elle approche lorsque \(x\) devient de plus en plus proche d'une valeur donnée.
  • Une fonction \(f(x)\) est continue en un point si \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
  • Le théorème des valeurs intermédiaires précise que pour une fonction continue \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) tel que \(f(c) = k\).
  • Dans tous ces cas, la fonction est dite monotone.
  • Le théorème de la bijection précise que pour une fonction continue et monotone \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un unique réel \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = k\).

Questions fréquemment posées en Théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique aux fonctions continues. Nous utilisons souvent ce théorème pour démontrer qu'il existe une solution à une équation et l'encadrer entre deux valeurs. 

Le corollaire important du TVI est le théorème de la bijection. Le théorème de la bijection précise que pour une fonction continue et monotone f(x) définie sur un intervalle [a,b] à valeurs réelles et pour tout réel k entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c tel que f(c) = k.  

Bien qu'il y ait plusieurs façons de démontrer l'unicité d'une solution, nous pouvons utiliser le théorème de la bijection. 

Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, il faut s'assurer que la fonction étudiée est continue sur l'intervalle d'application. Nous pouvons utiliser le TVI pour encadrer la solution d'une équation. 

Une fonction est continue si elle est la somme, la différence, le quotient, le produit ou une composition de fonctions de référence. Nous pouvons également utiliser des théorèmes particuliers ou la définition de continuité. 

Évaluation finale de Théorème des valeurs intermédiaires

Question

Qu'est-ce que la limite d'une fonction ? 

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Réponse

La limite d'une fonction \(f(x)\) est la valeur qu'elle approche lorsque \(x\) devient de plus en plus proche d'une valeur donnée.

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Question

Qu'est-ce qu'une fonction continue ?

Montrer la réponse

Réponse

Une fonction \(f(x)\) est continue en un point si \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).


Une fonction est continue sur un intervalle \(I\) si la fonction est continue en tout \(x \in I\).

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Question

La fonction inverse a une discontinuité en 

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Réponse

\(x = 0\)

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Question

Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ? 

Montrer la réponse

Réponse

Le théorème des valeurs intermédiaires précise que pour une fonction continue \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout nombre réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) tel que \(f(c) = k\).

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Question

Si une fonction est dérivable, alors elle est également continue.

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Réponse

Vrai

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Question

Si une fonction est continue, alors elle est forcément dérivable.

Montrer la réponse

Réponse

Faux

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Question

Les fonctions usuelles (fonctions de référence) sont continues sur leurs domaines de définition respectifs.

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Réponse

Vrai

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Question

La somme, la différence, le produit, le quotient ou une composition de fonctions continues est également continue.

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Réponse

Vrai

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Question

Qu'est-ce qu'une fonction monotone ? 

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Réponse

Une fonction qui est soit croissante, soit décroissante. 

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Question

Comment savoir si une fonction est montone sur un intervalle ?

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Réponse

Il faut calculer la dérivée de la fonction étudiée et déterminer si elle toujours positive ou toujours négative sur cet intervalle. 

Montrer la question

Question

Que dit le théorème de la bijection ?

Montrer la réponse

Réponse

Le théorème de la bijection précise que pour une fonction continue et monotone \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un unique réel \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = k\). 

Montrer la question

Question

Y-a-t-il une solution de l'équation \(x^4 = 8\) dans l'intervalle \([1,2]\) ?

Montrer la réponse

Réponse

Si nous considérons la fonction continue \(f(x) = x^4\), nous avons \(f(1) = 1\) et \(f(2) = 16\).


Par le théorème des valeurs intermédiaires, il y a donc au moins une valeur de \(x \in [1,2]\), telle que \(f(x) = 8\).


Ainsi, il y a au moins une solution de l'équation \(x^4 = 8\). 

Montrer la question

Question

Y-a-t-il une solution de l'équation \(e^x = 8\) dans l'intervalle \([1,3]\) ?

Montrer la réponse

Réponse

Si nous considérons la fonction continue \(f(x) = e^x\), nous avons \(f(1) = 2{,}718\) et \(f(3) = 20{,}1\).


Par le théorème des valeurs intermédiaires, il y a donc au moins une valeur de \(x \in [1,3]\), telle que \(f(x) = 8\).


Ainsi, il y a au moins une solution de l'équation \(e^x = 8\). 

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Question

Démontre que l'équation \(x^3 + 2x = 9\) admet une unique solution dans l'intervalle \([1,2]\). 

Montrer la réponse

Réponse

La fonction \(f(x) = x^3 + 2x\) est une fonction continue et dérivable. 


Calculons sa dérivée : \(f'(x) = 3x^2 + 2\).


Comme les polynômes de puissance paire sont toujours positives, \(f'(x)\) est positive. 


Ainsi, \(f(x)\) est croissante, donc monotone et nous pouvons appliquer le théorème de la bijection.


Comme \(f(1) = 3\) et \(f(2) = 10\), par le théorème de la bijection, il existe donc une unique solution de cette équation.

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Question

Démontre que l'équation \(\ln(x) = -0{,}5\) admet une unique solution dans l'intervalle \([0{,}5,1]\). 

Montrer la réponse

Réponse

La fonction \(f(x) = \ln(x) \) est une fonction continue et dérivable. 


Calculons sa dérivée : \(f'(x) = \frac{1}{x}\).


Pour \(x \leq 0\), \(f'(x)\) est négative. 


Ainsi, \(f(x)\) est décroissante, donc monotone et nous pouvons appliquer le théorème de la bijection.


Comme \(f(0{,}5) = -0{,}69\) et \(f(1) = 0\), par le théorème de la bijection, il existe donc une unique solution de cette équation.

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