Quel est le point commun entre une facture téléphonique et la hauteur d'un immeuble ? Ces deux situations peuvent être modélisées par des suites arithmétiques. Dans ce résumé de cours, nous donnerons la définition d'une suite arithmétique. Ensuite, nous détaillerons comment calculer la raison d'une suite arithmétique et déterminer son sens de variation. Par la suite, nous montrerons comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique. Pour finir, tu pourras voir comment mettre en œuvre les différents concepts et formules avec un exercice corrigé.
Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Une suite arithmétique est une suite numérique dont la différence entre termes consécutifs est constante.
La suite \(2, 4, 6, ...\) est une suite arithmétique. La différence entre un terme et le terme précédent est toujours \(2\).
Une suite géométrique est une suite numérique où le quotient entre termes successifs est toujours le même.
Nous pouvons définir une suite arithmétique par récurrence, c'est-à-dire, nous obtenons la valeur d'un terme en utilisant le terme précédent.
Une suite numérique \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r\), si la différence entre termes consécutifs est toujours \(r\). Autrement dit, il existe un nombre réel \(r\) tel que \(u_{n+1} = u_n + r\).
Soit la suite arithmétique définie par \(u_{n+1} = u_n -3\) avec \(u_0 = 17\).
Si nous souhaitons déterminer \(u_3\), nous devons d'abord calculer \(u_2\). De même, si nous voulons calculer \(u_2\), nous devons calculer \(u_1\) et ainsi de suite.
\(u_{1} = u_0 -3 = 17 - 3 = 14\)
\(u_{2} = u_1 -3 = 14 - 3 = 11\)
\(u_{3} = u_2 -3 = 11 - 3 = 8\)
Cette définition nous permet de déduire le terme général de la suite arithmétique.
Qu'est-ce que le terme général d'une suite arithmétique ?
Le terme général d'une suite arithmétique de raison \(r\) est \(u_n = u_0 + nr\).
Le terme général d'une suite arithmétique donne les valeurs de la suite en fonction de \(n\), alors que la définition par récurrence donne les valeurs en fonction de \(u_n\). De plus, il est plus facile d'employer le terme général si nous souhaitons calculer un terme de rang élevé.
Soit \((u_n)\) la suite arithmétique dont le premier terme est \(15\) et dont la raison est \(0{,}5\). Déterminons \(u_{50}\).
Le terme général de la suite est \(u_n = 15 + 0{,}5n\). Ainsi, \(u_{50} = 15 + 0{,}5 \times 50 = 40\)
Montrer qu'une suite est arithmétique
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que la différence entre deux termes successifs est une constante. Pour cela, il ne suffit pas de vérifier si la différence entre quelques termes successifs est constante : il est nécessaire de démontrer que \(u_{n+1} - u_n\) est une constante, pour tout \(n\).
Démontrons que la suite définie par \(u_n = 12n - 5\) est une suite arithmétique.
\(u_{n+1} - u_n\)
\(= 12(n+1) - 5 - (12n - 5)\)
\(= 12n+ 12 - 5 - 12n + 5\)
\(= 12\)
Comme \(u_{n+1} - u_n\) est une constante, \((u_n)\) est bien une suite arithmétique.
En revanche, pour démontrer qu'une suite n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les différences entre quelques termes successifs.
Démontrons que la suite définie par \(u_n = n^3 - 1\) n'est pas une suite arithmétique.
\(u_0 = (0)^3 - 1 = -1\)
\(u_1 = (1)^3 - 1 = 0\)
\(u_2 = (2)^3 - 1 = 7\)
Comme \(u_2 - u_1 = 7\) et \(u_1 - u_0 = 1\), la différence de termes consécutifs n'est pas constante et cette suite n'est pas arithmétique.
Comment calculer la raison d'une suite arithmétique
Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, il faut soustraire un des termes de la suite du terme suivant. Rappelons que la raison d'une suite arithmétique est la différence entre n'importe quels deux termes consécutifs de la suite.
Considérons la suite \(2, 7, 12, ...\). Si nous admettons qu'il s'agit d'une suite arithmétique, la raison est \(5\) .
Considérons la suite arithmétique définie par \(u_{n+1} = u_n + 0{,}2\) avec \(u_0 = 10\). Si nous examinons la définition de la suite arithmétique dans la section précédente, nous pouvons identifier que la raison est \(0{,}2\)
Dans des cas plus complexes, il est également possible d'exploiter le terme général d'une suite arithmétique pour calculer sa raison.
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que \(u_4 = 15\) et \(u_7 = 21\). Déterminons la raison de cette suite.
D'abord, écrivons les expressions de \(u_4\) et \(u_7\) en fonction de la raison et le premier terme.
\(21 = u_7 = u_0 + 7r\)
\(15 = u_4 = u_0 + 4r\)
Nous avons donc un système d'équations. Soustrayons les deux équations, terme par terme.
\(21 - 15 = u_0 - u_0 + 7r - 4r\)
\(6 = 3r\)
\(r = 2\)
La raison de cette suite arithmétique est donc \(2\).
Pour déterminer le premier terme de la suite, il suffit de remplacer la raison dans une des équations et résoudre pour \(u_0\).
Calculer la raison d'une suite arithmétique nous aide à déterminer son sens de variation.
Sens de variation d'une suite
Déterminer le sens de variation d'une suite revient à déterminer si elle est croissante ou décroissante.
Une suite \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1} \geq u_n\).
Une suite est décroissante si \(u_{n+1} \leq u_n\).
Si une suite est croissante ou décroissante, elle est dite monotone.
Une suite peut être ni croissante ni décroissante. Si une suite est décroissante et croissante à la fois, il s'agit d'une suite constante.
La suite \(1, 5, 9, 13, ...\) est croissante.
La suite \(1, 0{,}1, 0, 0, 0, ...\) est décroissante.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique, il faut utiliser sa raison. En effet, si la raison d'une suite arithmétique est positive, alors elle est croissante. Similairement, si la raison est négative, alors la suite est décroissante.
La suite arithmétique de terme général \(u_n = 7 - 9n\) est décroissante, comme sa raison est \(-9\).
Nous pouvons également visualiser les variations d'une suite arithmétique à l'aide d'une représentation graphique.
Représentation graphique d'une suite arithmétique
Nous pouvons obtenir une représentation graphique d'une suite arithmétique en mettant \(n\) sur l'axe des abscisses et \(u_n\) sur l'axe des ordonnées.
Fig. 1 - La représentation graphique d'une suite arithmétique
Remarque comment les points sont alignés comme une fonction affine. Cela n'est pas une coincidence ! En effet, le terme général d'une suite arithmétique quelconque est \(u_n = u_0 + nr = f(n)\). Ici, \(f(n)\) est bien une fonction affine.
Somme des termes d'une suite arithmétique
Dans certains contextes, il peut être utile de calculer la somme des termes d'une suite jusqu'à un certain rang. Or, dans la plupart des cas, si nous n'avions pas recours à des méthodes numériques de calcul, il serait compliqué de déterminer ce genre de somme. Heureusement, il y a une formule simple qui nous aide à calculer rapidement la somme des termes d'une suite arithmétique. \[1 + 2 + 3 + ... + n= \frac{n(n+1)}{2} \] Voyons comment utiliser cette formule.
\(1 + 2 + ... + 10 = \frac{10(10+1)}{2} = 55 \)
Pour une suite arithmétique quelconque, nous devons faire un peu de manipulation algébrique. Calculons la valeur de \(18 + 20 + ... + 80\).
\(18 + 20 + .. + 80\)
\(= (2 + ... + 80) - (2 + ... + 16)\)
\(= 2 \times \left[ (1 + ... + 40) - (1 + ... + 8) \right] \)
\(= 2 \times \left[ \frac{40(40+1)}{2} - \frac{8(8+1)}{2} \right] \)
\(= 2 \times \left[ (820 - 36) \right] \)
\(= 1568\)
Il y a une formule pour calculer la somme des termes d'une suite arithmétique qui est encore plus facile. \[ u_0 + ... + u_n = (n+1)\frac{u_0 + u_n}{2}\] Cette formule correpond à multiplier la moyenne des premier et dernier termes par le nombre de termes.
Suites arithmétiques : exercices corrigés
Les suites arithmétiques peuvent s'utiliser pour modéliser divers contextes réels. Ici, nous présentons un exercice corrigé qui te permettra de comprendre comment utiliser une suite arithmétique comme modèle.
Un forfait chez l'opérateur téléphonique Bleu coûte 15 € chaque mois. En cas de hors forfait, chaque minute (ou portion de minute) d'appel est facturée 0,55 €. Par exemple, 14 minutes et 37 secondes est comptabilisé comme 15 minutes. Un client ne veut pas dépenser plus de 22 € sur sa facture téléphonique. Déterminons combien de temps peuvent durer la totalité des appels hors forfait.
Nous pouvons modéliser cette situation par la suite arithmétique \((u_n)\), dont le premier terme est \(15\) et la raison est \(0{,}55\) et où \(n\) correspond au nombre de minutes.
Le terme général de la suite est donc \(u_n = 15 + 0{,}55n\).
Le client souhaite dépenser moins de 22 €, alors nous devons résoudre l'inéquation \(22 \geq 15 + 0{,}55n\).
Ainsi, \(7 \geq 0{,}55n\) et donc \(n \leq 12{,}7\).
Comme \(n\) doit être un nombre entier, le client ne pourra pas faire plus que 12 minutes d'appels hors forfait.
Suites arithmétiques - Points clés
- Une suite arithmétique est une suite numérique dont la différence entre termes consécutifs est constante.
- Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que \(u_{n+1} - u_n\) est une constante, pour tout \(n\).
- Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, \(u_{n+1} = u_n + r\). Nous pouvons également exploiter le terme général d'une suite arithmétique, \(u_n = u_0 + nr\).
- Déterminer le sens de variation d'une suite revient à déterminer si elle est croissante ou décroissante. Si la raison d'une suite arithmétique est positive, alors elle est croissante. Si la raison est négative, alors la suite est décroissante.
- Pour calculer la somme des termes d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser une des formules suivantes :
- \[1 + 2 + 3 + ... + n= \frac{n(n+1)}{2} \]
- \[ u_0 + ... + u_n = (n+1)\frac{u_0 + u_n}{2}\]
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