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Intégration

Si nous regardions la représentation graphique d'une fonction, l'intégrale se décrirait comme l'aire située sous la courbe. Pour représenter l'intégrale de \(f(x)\), nous écririons \( \int f(x) dx\), avec \(dx\) qui nous indique que nous intégrons par rapport à \(x\).

Conceptuellement, nous considérons que l'intégration est l'inverse de la dérivation. Cela signifie que pour trouver une intégrale, nous pouvons penser qu'il faut « défaire » le processus de dérivation. Lorsque nous avons « annulé » l'intégration, nous appelons ce résultat la primitive.

Intégration : Définition

L'intégration est une opération mathématique qui nous permet de calculer l'aire sous une courbe. En d'autres termes, elle nous permet de trouver la quantité totale d'une certaine grandeur qui varie dans le temps. Par exemple, nous pouvons utiliser l'intégration pour calculer la distance totale parcourue par une voiture sur une période donnée, ou le volume total d'eau qui s'est écoulé dans une rivière.

L'intégration est un concept très important en mathématiques, et elle a de nombreuses applications en physique et en ingénierie. En fait, de nombreuses lois de la nature peuvent être exprimées sous forme d'intégrales. L'intégration est également un outil très puissant pour résoudre les équations différentielles. Une équation différentielle est une équation qui implique une fonction et ses dérivées. En d'autres termes, elle décrit la façon dont une fonction évolue dans le temps.

Il existe de nombreux types d'intégrales, et chacun a ses propres règles. Le type d'intégrale le plus élémentaire est l'intégrale définie, que nous pouvons utiliser pour calculer l'aire sous une courbe. L'intégrale indéfinie, quant à elle, nous donne la forme générale suivante d'une fonction :

\[f(x) = C + \int g(x) dx\]

Ici, \(C\) est une constante, et \(g(x)\) est la fonction que l'on intègre. L'intégrale indéfinie nous permet de trouver la forme générale d'une fonction, sans avoir à préciser les limites d'intégration. Nous allons voir ces deux types d'intégrales plus en détail.

Intégrales indéfinies

L'objectif d'une intégration indéfinie est de trouver la primitive. Si notre fonction originale est \(f(x)\), nous écrivons la primitive \(F(x)\) . La primitive est donnée sous forme de fonction et ne nous indique pas directement l'aire sous la courbe. Si nous voulons vérifier si nous avons la primitive correcte, nous pouvons la dériver, et nous devrions retrouver la fonction originale.

Lorsque nous trouvons une intégrale indéfinie, il est important d'ajouter une constante d'intégration, ce qui signifie que si nous devions trouver \( \int f(x) dx\) , nous donnerions la solution \(F(x) + C\). Ce \(C\) montre que cette primitive peut avoir n'importe quelle constante car peu importe la constante que nous ajoutons, si nous dérivons l'intégrale définie, nous aurons le même résultat.

Trouve \( \int 3x^2 dx\)

La dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\), et c'est donc notre primitive. Cependant, notre solution est \(x^3 + C \), car nous devons inclure la constante d'intégration.

Intégrales définies

Une intégration définie est une intégration avec des limites, nous pouvons donc la considérer comme l'aire sous une fonction entre deux points, disons le point \(a\) et le point \(b\). Pour une fonction \(f(x)\), nous l'écririons comme \( \int_{a}^{b} f(x) dx\). Nous pouvons la visualiser comme suit :

Intégration Intégrale définie StudySmarterVisualisation d'une intégrale définie

La façon de visualiser ceci est de diviser la surface sous la fonction en \(n\) bandes égales entre \(a\) et \(b\). Cela signifie que nous avons la largeur de chaque bande, \( \delta x = \frac{b-a}{n}\). Nous prenons ensuite la hauteur de chaque bande comme \( f(x_{i}^{*})\), avec le point \( x_{i}^{*}\) à un certain point de la bande \(i\). Ceci est illustré ci-dessous.

Intégration Intégration et bandes sous la courbe StudySmarterVisualisation de l'intégrale avec des bandes

L'aire des bandes à ce point est donnée par \( \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*}) \delta x \). Pour trouver la valeur de l'intégrale, nous devons utiliser un nombre infini de bandes pour couvrir entièrement l'intérieur de la courbe. Cela signifie que lorsque nous prenons la limite, nous obtenons : \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*}) \delta x = \int_{a}^{b} f(x)dx\]

En pratique, cela devient plus facile car nous trouvons la primitive (sans la constante d'intégration) et l'évaluons ensuite aux deux limites, en soustrayant la limite inférieure de la limite supérieure.

Trouve \( \int_{0}^{2} 2x \ dx\)

La première étape consiste à trouver la primitive de \(2x\). Cela signifie que nous devons penser à une fonction dont la dérivée est \(2x\). En y réfléchissant, nous obtenons \(x^2\). Nous connaissons maintenant la primitive et nous devons l'évaluer aux limites.

\( \int_{0}^{2} 2x \ dx \)

\(= [x^2]_{x=0}^{x=2}\)

\(=(2)^2 - (0)^2\)

\(=4\)

Propriétés des intégrales

  • Pour les constantes \(a\) et \(b\), et les fonctions \(f\), \(g\) alors \( \int (af(x) + bg(x)) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx\)

  • \( \int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx\)

  • \( \int_{a}^{a} f(x) dx = 0\)

  • Pour \( c \in [a, b], \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx\)

Intégration par parties

Par la règle du produit (comme on la voit dans la dérivation), pour deux fonctions \(u(x)\) et \(v(x)\) alors : \[ (u(x)v(x))' = u(x)v(x)' + u'(x)v(x) \]

Si nous intégrons les deux côtés par rapport à x, nous obtenons : \[ \int (u(x)v(x))' dx = \int u(x)v'(x) dx + \int u'(x)v(x) dx \]

qui se simplifie alors en : \[u(x)v(x) = \int u(x)v'(x) dx + \int u'(x)v(x) dx \]

Nous réarrangeons cela pour obtenir : \[\int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx \]

C'est maintenant notre formule d'intégration par parties, et nous allons voir un exemple de son application.

Utilise l'intégration par parties pour trouver \( \int x cos (x) dx\).

Soit \(u(x)=x\) et \(v'(x)=cos(x)\). Nous cherchons maintenant à trouver \(u'(x)\) et en dérivant la fonction \(u\). Cela signifie que \(u'(x)=1\) et \(v(x)=sin(x)\).

\( \int x cos (x) \ dx = x sin(x) - \int 1 \cdot sin (x) \ dx\)

Nous pouvons maintenant évaluer cette dernière intégrale pour obtenir : \( \int x cos(x) \ dx= x sin(x) + cos(x) + C\) .

Note que nous avons inclus la constante d'intégration ici. Nous aurions pu l'inclure plus tôt, cependant, nous pouvons les combiner en une seule ici.

Intégration par changement de variable

Il est également possible d'utiliser la substitution pour simplifier une intégrale. Ici, nous changeons la variable par rapport à laquelle nous intégrons. Dans le cas d'une intégrale définie, les limites doivent également être modifiées à l'aide de la substitution. Nous devons aussi changer la fonction à intégrer. La meilleure façon de le comprendre est de voir un exemple. Déterminer la bonne substitution prend du temps. Cependant, cela devient plus facile avec la pratique.

Utilise l'intégration par changement de variable pour trouver \( \int 2xe^{x^2} dx \)

Prenons \(u=x^2\) , ce qui signifie que \( \frac{du}{dx} = 2x\). Nous pouvons réarranger cela pour obtenir : \[ dx = \frac{du}{2x} \]

En substituant cette valeur, nous obtenons :

\(\int 2xe^{x^2} dx \)

\(= \int 2xe^u \cdot \frac{du}{2x} \)

\(= \int e^u \ du \)

\(= e^u + C \)

\(= e^{x^2} + C \)

Intégration paramétrique

Nous pouvons aussi avoir une fonction paramétrique et devoir l'intégrer. Supposons que l'on nous donne les fonctions \(y=f(t)\) et \(x=g(t)\).

Alors l'intégrale de la courbe définie par ces fonctions est donnée par \( \int y \frac{dx}{dt} dt \). On peut considérer que les \(dt\) s'annulent pour donner \( \int y \ dx\), ce qui correspond à ce que l'on attend d'une intégrale normale.

Supposons que nous ayons une courbe définie par \(y = 2-t^2, x=t^3\), avec \(t\) allant de \(0\) à \(1\), et que nous voulions trouver l'aire sous cette courbe lorsque \(t=0, x=0\) et \(t=1, x=1\) notre intégrale est donc donnée par : \[ \int_0^1 (2 -t^2) \cdot 3t^2 \ dt \]. Nous pouvons l'évaluer pour obtenir :

\( \int_0^1 (2-t^2) \cdot 3t^2 dt \)

\(= \int_0^1 6t^2 - 3t^4 dt \)

\(= [2t^3 - \frac{3}{5}t^5]_{x =0}^{x =1}\)

\(= 2 - \frac{3}{5} \)

\( = \frac{7}{5} \)

Exemples d'intégration

Il y a beaucoup de règles d'intégration à connaître. Dans la prochaine section, nous allons en examiner quelques-unes.

Intégration de polynômes

Grâce à la dérivée d'un polynôme, tu dois savoir que \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}\). Pour une intégrale, nous pouvons inverser cela pour obtenir \( \int x^n \ dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}, n \neq -1 \).

Intègre \(12x^5\) par rapport à \(x\).

\(\int 12x^5 dx\)

\(= 12 \int x^5 dx \)

\(= 12 \cdot \frac{1}{6} x^6 \)

\(= 2x^6 + C\)

Intégrer \( \frac{1}{x}\)

La formule ci-dessus pour les polynômes ne fonctionnera pas pour \( \frac{1}{x}\). Alors, regardons cela d'une autre manière :

\( \int \frac{1}{x} dx\)

Soit \(x=e^y\), puis \( \frac{dx}{dy}=e^y\) donc \(dx = e^y dy\)

En utilisant cette formule, nous obtenons :

\( \int \frac{1}{x} dx \)

\(= \int \frac{1}{e^y} \cdot e^y dy \)

\(= \int dy \)

\(= y + C \)

\(= ln |x| + C \)

Nous avons pris la valeur absolue de \(x\) pour nous assurer que l'entrée du logarithme est valide. Nous pouvons aller plus loin. En effectuant une substitution appropriée, nous pouvons montrer que \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln |f(x)| + C \)

Intégrer des fonctions trigonométriques

Comme tout ce que nous avons vu jusqu'à présent, nous pouvons traiter l'intégration comme l'inverse de la dérivation, et il en va de même pour les fonctions trigonométriques. Nous pouvons également utiliser des substitutions pour les résoudre.

Trouve \( \int tan(x) dx\)

\( \int tan (x) dx = \int \frac{sin (x)}{cos (x)} dx \)

Soit \(u=cos(x)\) et \( \frac{du}{dx} = -sin(x)\). Cela signifie que :

\( \int \frac{sin (x)}{cos (x)} dx \)

\(= - \int \frac{1}{u} du \)

\(= ln |cos (x)| + C \)

\(= ln |cos (x)|^{-1} + C \)

\(= ln |sec (x)| + C \)

Utilise une substitution trigonométrique pour trouver \( \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx\).

Soit \(x=3sin(u)\) alors \( \frac{dx}{du} = 3cos(u)\), et \(dx = 3cos(u) \times du\).

En substituant cela, on obtient : \[ \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int \frac{3 cos(u)}{\sqrt{9 - 9 sin^2(u)}} \]

Comme \(sin^2(y) + cos^2(y) = 1\), \(1 - sin^2(u) = cos^2(u)\). Alors :

\( \int \frac{3 cos (u)}{\sqrt{9 - 9 sin^2 (u)}} du \)

\(= \int \frac{3 cos(u)}{3\sqrt{1 - sin^2(u)}} du \)

\(= \int \frac{3 cos(u)}{3 cos(u)} du \)

\(= \int du \)

\(= u + C \)

\(= arcsin(\frac{x}{3} \) + C \)

Intégration - Points clés

  • L'intégration est l'inverse de la dérivation.
  • Une intégrale définie est délimitée par des limites et est évaluée entre ces deux valeurs
  • Une intégrale indéfinie est une primitive auquel on ajoute une constante d'intégration.
  • L'intégration par parties est définie comme suit : \(\int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx \)
  • Pour un polynôme, \( \int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}, n \neq -1 \)

Questions fréquemment posées en Intégration

Pour faire une intégration par parties, il faut appliquer la formule pertinente. Pour faire cela, il faut identifier la partie de l'intégrande (la fonction à intégrer) qui est facile à intégrer et la partie qui est facile à dériver. 

La dérivée d'une intégrale est calculée à l'aide du théorème fondamental du calcul. Ce théorème stipule que la dérivée d'une fonction peut être trouvée en prenant la dérivée de sa fonction inverse. Par conséquent, pour trouver la dérivée d'une intégrale, il faut d'abord prendre la dérivée de la fonction qui est intégrée. Une fois que nous avons la dérivée de la fonction, nous pouvons alors l'intégrer pour trouver le résultat souhaité. 

Pour résoudre une intégrale, tu dois trouver la primitive de la fonction. La primitive est l'opération inverse de la dérivation. Une fois que tu l'auras trouvé, tu dois évaluer la fonction à l'endroit suivant: la limite supérieure de l'intégrale moins la limite inférieure de l'intégrale.  

Pour trouver la primitive d'une fonction exponentielle, on peut utiliser les étapes suivantes :

1) Prendre le logarithme naturel de les deux côtés de l'équation.

2) Intégrez les deux côtés de l'équation par rapport à x.

3) Prenez l'exponentielle de les deux côtés de l'équation.

4) Résolvez la fonction primitive.

Les intégrales sont un élément clé du calcul, et sont utilisées pour calculer l'aire sous une courbe. Sans les intégrales, nous ne serions pas capables de trouver le volume d'un objet solide ou de calculer l'évolution d'une fonction dans le temps. En d'autres termes, les intégrales sont essentielles pour effectuer de nombreux calculs qui sont importants à la fois en mathématiques et en physique.

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