Fonction inverse

Sais-tu que la fonction inverse fait partie des fonctions usuelles, ce sont des fonctions simples qui servent à étudier des fonctions plus compliquées. Que faut-il donc connaître à propos de la fonction inverse ? Dans ce résumé de cours, nous parlerons d'abord des fonctions de référence : de quoi il s'agit et pourquoi les étudier. Par la suite, nous examinerons la formule pour la fonction inverse et nous construirons son tableau de variations. Deux concepts géométriques en lien avec la fonction inverse seront ensuite expliqués : l'hyperbole et les asymptotes.

Qu'est-ce qu'une fonction de référence ?

Une fonction de référence (ou fonction usuelle) est une fonction que nous étudions car elle est simple et nous permet de déduire des propriétés de fonctions plus complexes. Parmi ces fonctions, nous trouvons habituellement les fonctions affines, la fonction racine carrée, la fonction inverse et les fonctions exponentielle et logarithme. Pour les fonctions de référence, il est important de connaître leur formule, leurs variations, ainsi que leurs caractéristiques de leurs courbes représentatives.

Fonction inverse : formule

En algèbre, l'inverse (multiplicatif) d'un nombre \(a\) est \(\frac{1}{a}\). Comme la division par \(0\) n'est pas définie, cette définition ne s'applique pas à \(0\). Cette idée est essentiellement la formule de la fonction inverse.

À part sa formule, nous devons également connaître le tableau de variations pour la fonction inverse.

Fonction inverse : tableau de variations

Construisons le tableau de variations de la fonction inverse. Pour cela, nous devons considérer la dérivée de la fonction inverse. N'hésite pas à te rafraîchir les idées sur la dérivation et les formules de dérivation en consultant nos résumés de cours à ces sujets.

D'abord, rappelle-toi que \(x^2\) est positif pour tout nombre réel. La dérivée de la fonction inverse est donc négative. Comme la fonction dérivée est négative, nous pouvons en déduire que la fonction inverse est décroissante sur \(] -\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[\).

Fig. 1 - Tableau de variations de la fonction inverse

Nous pouvons visualiser les variations d'une fonction à l'aide de sa courbe représentative.

Fonction inverse : courbe

En mathématiques, il est utile de savoir identifier les graphiques des fonctions de référence, ainsi que de connaître les propriétés importantes. Examinons donc la courbe représentative de la fonction inverse.

Fig. 2 - La courbe représentative de la fonction inverse

Cette courbe est en accord avec le tableau de variations. En effet, nous pouvons constater que la fonction est décroissante partout sauf en \(0\). De plus, cette courbe est appelée une hyperbole.

Qu'est-ce qu'une hyperbole ?

Le but de l'analyse mathématique est souvent d'étudier le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition. Cela nous amène souvent à considérer les asymptotes à la courbe représentative d'une fonction.

Quelles sont les asymptotes de la fonction inverse ?

En regardant la courbe représentative de la fonction inverse (aussi appelée hyperbole), plus la valeur de \(x\) approche \(+\infty\), plus la courbe approche l'axe des abscisses. De même, plus la valeur de \(x\) est proche de \(-\infty\), plus le graphique semble toucher l'axe des abscisses. Dans ces deux cas, nous pouvons dire que l'axe des abscisses, \(y = 0\), est une asymptote à la courbe représentative de la fonction inverse.

Nous distinguons souvent les asymptotes horizontales, les asymptotes verticales et les asymptotes obliques. La courbe de la fonction inverse possède une asymptote verticale à \(x=0\) et une asymptote horizontale quand \(x\) approche \(+\infty\) ou \(- \infty\).

Fig. 3 - La fonction inverse et ses droites asymptotes