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Fonction inverse

Sais-tu que la fonction inverse fait partie des fonctions usuelles, ce sont des fonctions simples qui servent à étudier des fonctions plus compliquées. Que faut-il donc connaître à propos de la fonction inverse ? Dans ce résumé de cours, nous parlerons d'abord des fonctions de référence : de quoi il s'agit et pourquoi les étudier. Par la suite, nous examinerons la formule pour la fonction inverse et nous construirons son tableau de variations. Deux concepts géométriques en lien avec la fonction inverse seront ensuite expliqués : l'hyperbole et les asymptotes.

Qu'est-ce-qu'une fonction de référence ?

Une fonction de référence (ou fonction usuelle) est une fonction que nous étudions car elle est simple et nous permet de déduire des propriétés de fonctions plus complexes. Parmi ces fonctions, nous trouvons habituellement les fonctions affines, la fonction racine carrée, la fonction inverse et les fonctions exponentielle et logarithme. Pour les fonctions de référence, il est important de connaître leur formule, leurs variations, ainsi que leurs caractéristiques de leurs courbes représentatives.

Fonction inverse : formule

En algèbre, l'inverse (multiplicatif) d'un nombre \(a\) est \(\frac{1}{a}\). Comme la division par \(0\) n'est pas définie, cette définition ne s'applique pas à \(0\). Cette idée est essentiellement la formule de la fonction inverse.

L'ensemble de définition de la fonction inverse est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

La formule pour la fonction inverse est \(f(x) = \frac{1}{x}\).

La fonction inverse est sa propre bijection réciproque.

L'image de \(5\) par la fonction inverse est \(\frac{1}{5}\).

De même, l'antécédent de \(5\) par la fonction inverse est \(\frac{1}{5}\). En effet, \(\frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \times \frac{5}{1}\)

À part sa formule, nous devons également connaître le tableau de variations pour la fonction inverse.

Tableau de variations : fonction inverse

Construisons le tableau de variations de la fonction inverse. Pour cela, nous devons considérer la dérivée de la fonction inverse. N'hésite pas à te rafraîchir les idées sur la dérivation et les formules de dérivation en consultant nos résumés de cours à ces sujets.

Voici comment nous déterminons la dérivée de la fonction inverse. \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \] Pour \(f(x) = \frac{1}{x}\), nous avons :

\( \frac{f(x+h) -f(x)}{h}\)

\(= \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \)

\( = \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \)

\( = \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} \)

\( = \frac{-h}{x(x+h)} \times \frac{1}{h} \)

\( = \frac{-1}{x(x+h)} \)

Lorsque \(h\) tend vers \(0\), cette dernière expression tends vers \(\frac{-1}{x(x+0)} \). Ainsi, \(f'(x) = \frac{-1}{x^2}\).

D'abord, rappelle toi que \(x^2\) est positif pour tout nombre réel. La dérivée de la fonction inverse est donc négative. Comme la fonction dérivée est négative, nous pouvons en déduire que la fonction inverse est décroissante sur \(] -\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[\).

Fonction inverse Tableau de variation fonction inverse StudySmarterFig. 1 - Tableau de variations de la fonction inverse

Observe que \(- \infty\), \(0\) et \(+\infty\) ne sont pas inclus dans ces intervalles. En effet, \(- \infty\) et \(+ \infty\) ne sont pas des nombres réels. De plus, la fonction inverse n'est pas définie pour \(0\).

Nous pouvons visualiser les variations d'une fonction à l'aide de sa courbe représentative.

Hyperbole

En mathématiques, il est utile de savoir identifier les graphiques des fonctions de référence, ainsi que de connaitre les propriétés importantes. Examinons donc la courbe représentative de la fonction inverse.

Fonction inverse Graphique fonction inverse StudySmarterFig. 2 - La courbe représentative de la fonction inverse

Cette courbe est en accord avec le tableau de variations. En effet, nous pouvons constater que la fonction est décroissante partout sauf en \(0\). De plus, cette courbe est appelé un hyperbole.

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole de centre \(0\).

Il y a plusieurs façons de définir un hyperbole. Une façon consiste à considérer la distance des points sur l'hyperbole par rapport à deux points, appelés foyers. Nous pouvons ainsi définir un hyperbole comme l'ensemble de points dont la différence des distances aux foyers est la même.

Le but de l'analyse mathématique est souvent d'étudier le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de défintion. Cela nous amène souvent à considérer les asymptotes à la courbe représentative d'une fonction.

Asymptotes

En regardant la courbe représentative de la fonction inverse (aussi appelée hyperbole), plus la valeur de \(x\) approche \(+\infty\), plus la courbe approche l'axe des abscisses. De même, plus la valeur de \(x\) est proche de \(-\infty\), plus le graphique semble toucher l'axe des abscisses. Dans ces deux cas, nous pouvons dire que l'axe des abscisses, \(y = 0\), est une asymptote à la courbe représentative de la fonction inverse.

Une droite asymptote (ou simplement une asymptote) est une droite qui approche infiniment la courbe représentative d'une fonction, sans la toucher.

Nous distinguons souvent les asymptotes horizontales, les asymptotes verticales et les asymptotes obliques. La courbe de la fonction inverse possède une asymptote verticale à \(x=0\) et une asymptote horizontale quand \(x\) approche \(+\infty\) ou \(- \infty\).

Fonction inverse Asymptotes fonction inverse StudySmarterFig. 3 - La fonction inverse et ses droites asymptotes

Fonction inverse - Points clés

  • Une fonction de référence (ou fonction usuelle) est une fonction simple aui nous permet de déduire des propriétés de fonctions plus complexes.
  • La fonction inverse a pour formule \(f(x) = \frac{1}{x}\) et son ensemble de définition est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
  • La dérivée de la fonction inverse est \(f(x) = \frac{-1}{x^2}\). Elle est donc décroissante sur son ensemble de définition.
  • La courbe représentative de la fonction inverse est un hyperbole.
  • La fonction inverse possède une asymptote verticale et une asymptote horizontale.

Questions fréquemment posées en Fonction inverse

La fonction inverse est décroissante pour tout nombre réel à l'exception de 0.

L'ensemble de définition de la fonction inverse est les nombres réels, privé de 0.

Pour tracer la courbe de la fonction inverse, il faut déterminer une dizaine de points qui sont sur la courbe à l'aide de la formule. Ensuite, il faut les relier en suivant la forme générale du graphique de la fonction.

Une valeur interdite est une valeur pour laquelle une fonction n'est pas définie. Il s'agit souvent de la valeur qui fait que le dénominateur soit 0. Par exemple, la valeur interdite de la fonction inverse est 0.

Évaluation finale de Fonction inverse

Question

Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse ?

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Réponse

L'ensemble de définition de la fonction inverse est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\). 

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Question

La fonction inverse est sa propre bijection réciproque. 

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Réponse

Vrai

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Question

Quelle est l'image de \( \frac{1}{5}\) par la fonction inverse ?

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Réponse

\(5\)

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Question

Quelle est la dérivée de la fonction inverse ?

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Réponse

\(\frac{-1}{x^2}\)

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Question

Quel est le sens de variation de la fonction inverse ?

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Réponse

Elle est décroissante sur son ensemble de définition.

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Question

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée ______.

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Réponse

 hyperbole de centre 0

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Question

Qu'est-ce qu'une asymptote ?

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Réponse

Une droite asymptote (ou simplement une asymptote) est une droite qui approche infiniment la courbe représentative d'une fonction, sans la toucher.

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Question

La courbe représentative de la fonction inverse possède une asymptote horizontale et une asymptote verticale.

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Réponse

Vrai

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Question

Il y a trois types d'asymptotes.

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Réponse

Vrai

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Question

Quel est l'antécédent de \(7\) par la fonction inverse ?

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Réponse

\( \frac{1}{7}\)

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Question

La dérivée de la fonction inverse est toujours négative.

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Réponse

Vrai

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Question

Quelle est l'équation de la droite asymptote verticale de la fonction inverse ?

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Réponse

\( x = 0\)

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Question

Quelle est l'équation de la droite asymptote horizontale de la fonction inverse ?

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Réponse

\(y = 0\)

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Question

La fonction inverse est une fonction de référence. 

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Réponse

Vrai 

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Question

Pourquoi étudions-nous les fonctions de référence ? 

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Réponse

Elles nous permettent de déduire des propriétés de fonctions plus complexes. 

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