Sais-tu que la fonction inverse fait partie des fonctions usuelles, ce sont des fonctions simples qui servent à étudier des fonctions plus compliquées. Que faut-il donc connaître à propos de la fonction inverse ? Dans ce résumé de cours, nous parlerons d'abord des fonctions de référence : de quoi il s'agit et pourquoi les étudier. Par la suite, nous examinerons la formule pour la fonction inverse et nous construirons son tableau de variations. Deux concepts géométriques en lien avec la fonction inverse seront ensuite expliqués : l'hyperbole et les asymptotes.
Qu'est-ce qu'une fonction de référence ?
Une fonction de référence (ou fonction usuelle) est une fonction que nous étudions car elle est simple et nous permet de déduire des propriétés de fonctions plus complexes. Parmi ces fonctions, nous trouvons habituellement les fonctions affines, la fonction racine carrée, la fonction inverse et les fonctions exponentielle et logarithme. Pour les fonctions de référence, il est important de connaître leur formule, leurs variations, ainsi que leurs caractéristiques de leurs courbes représentatives.
Fonction inverse : formule
En algèbre, l'inverse (multiplicatif) d'un nombre \(a\) est \(\frac{1}{a}\). Comme la division par \(0\) n'est pas définie, cette définition ne s'applique pas à \(0\). Cette idée est essentiellement la formule de la fonction inverse.
L'ensemble de définition de la fonction inverse est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
La formule pour la fonction inverse est \(f(x) = \frac{1}{x}\).
La fonction inverse est sa propre bijection réciproque.
L'image de \(5\) par la fonction inverse est \(\frac{1}{5}\).
De même, l'antécédent de \(5\) par la fonction inverse est \(\frac{1}{5}\). En effet, \(\frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \times \frac{5}{1}\)
À part sa formule, nous devons également connaître le tableau de variations pour la fonction inverse.
Fonction inverse : tableau de variations
Construisons le tableau de variations de la fonction inverse. Pour cela, nous devons considérer la dérivée de la fonction inverse. N'hésite pas à te rafraîchir les idées sur la dérivation et les formules de dérivation en consultant nos résumés de cours à ces sujets.
Voici comment nous déterminons la dérivée de la fonction inverse. \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \] Pour \(f(x) = \frac{1}{x}\), nous avons :
\( \frac{f(x+h) -f(x)}{h}\)
\(= \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \)
\( = \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \)
\( = \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} \)
\( = \frac{-h}{x(x+h)} \times \frac{1}{h} \)
\( = \frac{-1}{x(x+h)} \)
Lorsque \(h\) tend vers \(0\), cette dernière expression tends vers \(\frac{-1}{x(x+0)} \). Ainsi, \(f'(x) = \frac{-1}{x^2}\).
D'abord, rappelle-toi que \(x^2\) est positif pour tout nombre réel. La dérivée de la fonction inverse est donc négative. Comme la fonction dérivée est négative, nous pouvons en déduire que la fonction inverse est décroissante sur \(] -\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[\).
Fig. 1 - Tableau de variations de la fonction inverse
Observe que \(- \infty\), \(0\) et \(+\infty\) ne sont pas inclus dans ces intervalles. En effet, \(- \infty\) et \(+ \infty\) ne sont pas des nombres réels. De plus, la fonction inverse n'est pas définie pour \(0\).
Nous pouvons visualiser les variations d'une fonction à l'aide de sa courbe représentative.
Fonction inverse : courbe
En mathématiques, il est utile de savoir identifier les graphiques des fonctions de référence, ainsi que de connaître les propriétés importantes. Examinons donc la courbe représentative de la fonction inverse.
Il y a plusieurs façons de définir une hyperbole. Une façon consiste à considérer la distance des points sur l'hyperbole par rapport à deux points, appelés foyers. Nous pouvons ainsi définir une hyperbole comme l'ensemble de points dont la différence des distances aux foyers est la même.
Le but de l'analyse mathématique est souvent d'étudier le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition. Cela nous amène souvent à considérer les asymptotes à la courbe représentative d'une fonction.
Quelles sont les asymptotes de la fonction inverse ?
Une droite asymptote (ou simplement une asymptote) est une droite qui approche infiniment la courbe représentative d'une fonction, sans la toucher.
En regardant la courbe représentative de la fonction inverse (aussi appelée hyperbole), plus la valeur de \(x\) approche \(+\infty\), plus la courbe approche l'axe des abscisses. De même, plus la valeur de \(x\) est proche de \(-\infty\), plus le graphique semble toucher l'axe des abscisses. Dans ces deux cas, nous pouvons dire que l'axe des abscisses, \(y = 0\), est une asymptote à la courbe représentative de la fonction inverse.
Nous distinguons souvent les asymptotes horizontales, les asymptotes verticales et les asymptotes obliques. La courbe de la fonction inverse possède une asymptote verticale à \(x=0\) et une asymptote horizontale quand \(x\) approche \(+\infty\) ou \(- \infty\).
Fig. 3 - La fonction inverse et ses droites asymptotes
Fonction inverse - Points clés
- Une fonction de référence (ou fonction usuelle) est une fonction simple qui nous permet de déduire des propriétés de fonctions plus complexes.
- La fonction inverse a pour formule \(f(x) = \frac{1}{x}\) et son ensemble de définition est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
- La dérivée de la fonction inverse est \(f(x) = \frac{-1}{x^2}\). Elle est donc décroissante sur son ensemble de définition.
- La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
- La fonction inverse possède une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
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