Fonction trigonométrique

En géométrie, le sinus, le cosinus et la tangente sont des rapports trigonométriques qui ont été définis pour les angles aigus d'un triangle rectangle. Néanmoins, nous avons pu étendre leurs définitions à de plus grands ensembles de nombres, créant ainsi des fonctions trigonométriques. Ces fonctions trigonométriques ont de nombreuses propriétés utiles, notamment en ce qui concerne leur périodicité et leur parité. Nous pouvons également trouver les Dérivées de ces fonctions qui ont plusieurs applications, notamment dans la modélisation des signaux électroniques et des ruptures.

Fonctions trigonométriques : cours

Il y a trois fonctions trigonométriques de base : le sinus, le cosinus et la tangente. Nous pouvons définir ces fonctions à partir du cercle trigonométrique. L'ordonnée d'un point de ce cercle nous donne le sinus de l'angle entre le rayon et la partie positive de l'axe des abscisses \(\theta\). L'abscisse représente le cosinus de \(\theta\).

Fig. 1 - Le cercle trigonométrique

Quels sont les domaines de définition des fonctions trigonométriques ?

Les domaines de définitions des fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont \( \mathbb{R} \), l'ensemble des nombres réels. De plus, ces deux fonctions prennent des valeurs entre -1 et 1. Observe que la courbe représentative d'une de ces fonctions est le translaté de l'autre.

Fig. 2 - Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus

La fonction tangente est définie pour tout nombre réel \(x\), sauf quand \(x= \frac{\pi}{2} + k \pi\), où \(k\) est un nombre entier. En d'autres termes, nous pouvons écrire que le domaine de définition de la fonction tangente est \(\{x \in \mathbb{R} \ | \ x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} \}\).

Fig. 3 - La courbe représentative de la fonction tangente (bleu)

Ces fonctions sont périodiques, autrement dit, elles ont un motif qui se répète. Voyons maintenant comment déterminer les périodes de fonctions trigonométriques.

Déterminer la période d'une fonction trigonométrique

Pour déterminer la période d'une fonction trigonométrique, il faut donc déterminer \(T\) tel que \(f(x) = f(x+T)\). Pour les fonctions trigonométriques de base, nous connaissons leurs périodes :

• la période de \(\sin(x)\) et de \(\cos(x)\) est \(2 \pi\) ;
• la période de \(\tan(x)\) est \(\pi\).

Nous pouvons donc utiliser ces informations pour trouver la période de fonctions similaires.

À part leur périodicité, la parité est une propriété intéressante des fonctions trigonométriques.

Étudier la parité d'une fonction trigonométrique

Étudier la parité d'une fonction trigonométrique revient à déterminer si la fonction est paire ou impaire. Connaître la parité d'une fonction permet de simplifier d'autres calculs.

Le sinus et la tangente sont des fonctions impaires, alors que le cosinus est une fonction paire. Pour étudier la parité d'une autre fonction, il faut remplacer \(x\) avec \(-x\) et voir si cette expression est égale à \(f(x)\) ou à \(-f(x)\). Une fonction peut être ni paire ni impaire.

Dérivées des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont dérivables sur leurs ensembles de définitions. De plus, les Dérivées des fonctions trigonométriques sont également des fonctions trigonométriques.

Fonctions trigonométriques : formules

Lorsque nous travaillons avec des fonctions trigonométriques, certaines formules peuvent s'avérer très utiles. Nous pouvons utiliser les formules suivantes pour simplifier des calculs.

Une formule trigonométrique peut être le résultat d'une propriété des fonctions trigonométriques. Ces formules découlent de la périodicité des fonctions trigonométriques :

• \(\sin(x+2 \pi) = \sin(x) \) ;
• \(\cos(x+2 \pi) = \cos(x) \) ;
• \(\tan(x+\pi) = \tan(x) \).

Ces formules évoquent la parité des fonctions trigonométriques :

• \(\sin(-x) = - \sin(x) \) ;
• \(\cos(-x) = \cos(x) \) ;
• \(\tan(-x) = -\tan(x) \).