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Fonction trigonométrique

En géométrie, le sinus, le cosinus et la tangente sont des rapports trigonométriques qui ont été définis pour les angles aigus d'un triangle rectangle. Néanmoins, nous avons pu étendre leurs définitions à de plus grands ensembles de nombres, créant ainsi des fonctions trigonométriques. Ces fonctions trigonométriques ont de nombreuses propriétés utiles, notamment en ce qui concerne leur périodicité et leur parité. Nous pouvons également trouver les dérivées de ces fonctions qui ont plusieurs applications, notamment dans la modélisation des signaux électroniques et des ruptures.

Fonctions trigonométriques : cours

Il y a trois fonctions trigonométriques de base : le sinus, le cosinus et la tangente. Nous pouvons définir ces fonctions à partir du cercle trigonométrique. L'ordonnée d'un point de ce cercle nous donne le sinus de l'angle entre le rayon et la partie positive de l'axe des abscisses \(\theta\). L'abscisse représente le sinus de \(\theta\).

Fonctions trigonométriques Cercle trigonométrique StudySmarterFig. 1 - Le cercle trigonométrique

Le sinus est défini sur \( \mathbb{R} \) et prend des valeurs entre -1 et 1. Cette fonction est notée \(sin(x)\). Le cosinus est également défini sur \( \mathbb{R} \) et prend aussi des valeurs entre -1 et 1. Cette fonction est notée \(cos(x)\). Observe que la courbe représentative d'une de ces fonctions est le translaté de l'autre.

Fonctions trigonométriques Courbes représentatives sinus et cosinus StudySmarterFig. 2 - Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus

La tangente, notée \(tan(x)\) est définie pour tout \(x\) dans \( \mathbb{R} \) sauf quand \(x= \frac{\pi}{2} + k \pi\), où \(k\) est un nombre entier.

Fonctions trigonométriques Courbe représentative tangente StudySmarterFig. 3 - La courbe représentative de la fonction tangente

Ces fonctions sont périodiques, autrement dit, elles ont un motif qui se répète. Voyons maintenant comment déterminer les périodes de fonctions trigonométriques.

Déterminer la période d'une fonction trigonométrique

Une fonction \(f(x)\) est périodique s'il existe un nombre réel non-nul \(T\) tel que \(f(x) = f(x+T)\) pour tout \(x\) dans son domaine de définition. Si \(T\) est le plus petit nombre positif vérifiant cette égalité, il est la période de la fonction.

Pour déterminer la période d'une fonction trigonométrique, il faut donc déterminer \(T\) tel que \(f(x) = f(x+T)\). Pour les fonctions trigonométriques de base, nous connaissons leurs périodes :

  • la période de \(sin(x)\) et de \(cos(x)\) est \(2 \pi\) ;
  • la période de \(tan(x)\) est \(\pi\).

Nous pouvons donc utiliser ces informations pour trouver la période de fonctions similaires.

Déterminons la période de la fonction \(sin(2x+1)\).

Comme la période de sin(x) est \(2 \pi\), cette fonction atteint toutes ses valeurs dans l'intervalle \([0,2 \pi]\).

Pour retrouver l'intervalle dans laquelle \(sin(2x+1)\) atteint toutes ses valeurs, nous devons alors mettre cette expression égale aux bornes de l'intervalle \([0,2 \pi]\).

\(2x + 1 = 0\)

\(x = \frac{-1}{2}\)

\(2x + 1 = 2 \pi \)

\(x = \pi - \frac{1}{2}\)

La fonction \(sin(2x+1)\) atteint donc toutes ses valeurs dans l'intervalle \([\frac{-1}{2},\pi - \frac{1}{2}]\). Sa période est donc \(\pi\).

À part leur périodicité, la parité est une propriété intéressante des fonctions trigonométriques.

Étudier la parité d'une fonction trigonométrique

Étudier la parité d'une fonction trigonométrique revient à déterminer si la fonction est paire ou impaire. Connaître la parité d'une fonction permet de simplifier d'autres calculs.

Une fonction \(f(x)\) est dite paire si pour tout \(x\) dans son domaine de définition, nous avons \(f(x) = f(-x)\).

Une fonction \(f(x)\) est dite impaire si pour tout \(x\) dans son domaine de définition, nous avons \(f(x) = -f(-x)\).

Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Le sinus et la tangente sont des fonctions impaires, alors que le cosinus est une fonction paire. Pour étudier la parité d'une autre fonction, il faut remplacer \(x\) avec \(-x\) et voir si cette expression est égale à \(f(x)\) ou à \(-f(x)\). Une fonction peut être ni paire ni impaire.

Étudions la parité de la fonction \(f(x) = cos(x)sin(x)\).

\(f(-x) = cos(-x)sin(-x)\)

Comme le cosinus est pair, \(cos(-x) = cos(x)\).

Comme le sinus est impair, \(sin(-x) = sin(x)\).

Donc, \(f(-x) = cos(x) \times -sin(x) = -cos(x)sin(x)\)

Enfin, \(f(-x) = -f(x)\) et cette fonction est paire.

Nous aurions pu également constater que \(f(x) = \frac{1}{2}sin(2x)\). Comme le sinus est une fonction impaire, \(f(x)\) l'est également.

Dérivées des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont dérivables sur leurs ensembles de définitions. De plus, les dérivées des fonctions trigonométriques sont également des fonctions trigonométriques.

Fonction, \(f(x)\)
Dérivée, \(f'(x)\)
\(sin(x)\)
\(cos(x)\)
\(cos(x)\)
\(-sin(x)\)
\(tan(x)\)
\(\frac{1}{cos^2(x)}\)

Déterminons la dérivée de \(f(x) = cos(2x + 1)\).

Nous devons appliquer la règle pour la dérivation d'une composition de fonctions.

\(f'(x) = 2 \times - sin(2x + 1) = -2sin(2x+1)\)

Fonctions trigonométriques : formules

Voici quelques formules utiles dans la manipulation des fonctions trigonométriques.

Ces relations découlent de la périodicité des fonctions trigonométriques.

  • \(sin(x+2 \pi) = sin(x) \)
  • \(cos(x+2 \pi) = cos(x) \)
  • \(tan(x+\pi) = tan(x) \)

Ces formules évoquent la parité des fonctions trigonométriques.

  • \(sin(-x) = - sin(x) \)
  • \(cos(-x) = cos(x) \)
  • \(tan(-x) = -tan(x) \)

Les identités trigonométriques suivantes sont utiles pour simplifier des calculs.

  • \(sin(2x) = 2sin(x)cos(x) \)
  • \(cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) \)
  • \(cos^2(x) + sin^2(x) = 1 \)
  • \(tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \)

Fonctions trigonométriques - Points clés

  • Les trois fonctions trigonométriques de base sont le sinus, le cosinus et la tangente.
  • La période du sinus et du cosinus est \(2 \pi\), alors que la période de la tangente est \(\pi\).
  • Le sinus et la tangente sont des fonctions impaires, mais le cosinus est une fonction paire.

  • Les dérivées des fonctions trigonométriques sont d'autres fonctions trigonométriques.

Questions fréquemment posées en Fonction trigonométrique

Pour déterminer la periode d'une fonction trigonométrique, il faut déterminer le plus petit T positif tel que f(x) = f(x+T) pour tout x dans le domaine de définition de f. Pour les fonctions trigonométriques de base, la période de sin(x) et de cos(x) est 2*pi, et la période de tan(x) est pi.

Les domaines de définition des fonctions sinus et cosinus sont l'ensemble des nombres réels. La tangente est définie pour les nombres réels qui ne sont pas de la forme pi/2 + k*pi, où k est un nombre entier. 

Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R. Donc, leur limite en un point donné de R est la valeur de la fonction. Par contre, ces fonctions n'ont pas de limite à l'infini. 

Normalement, nous définissions une fonction trigonométrique sur un intervalle d'une longueur égale à sa période. 

La dérivée de sin(x) est cos(x), alors que la dérivée de cos(x) est -sin(x). 


Questionnaire final de Fonction trigonométrique

Question

Quelles sont les fonctions trigonométriques de base ?

Montrer la réponse

Réponse

Le sinus, le cosinus et la tangente

Montrer la question

Question

Sur un cercle trigonométrique, l'ordonné d'un point représente le ____ de l'angle entre la partie positive de l'axe des abscisses et le rayon du cercle.

Montrer la réponse

Réponse

sinus

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Question

Sur un cercle trigonométrique, l'abscisse d'un point représente le ____ de l'angle entre la partie positive de l'axe des abscisses et le rayon du cercle.

Montrer la réponse

Réponse

cosinus

Montrer la question

Question

Quel est le domaine de définition de la fonction sinus ?

Montrer la réponse

Réponse

L'ensemble des nombres réels

Montrer la question

Question

Le domaine de définition de la tangente est l'ensemble des nombres réels. 

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

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Question

Quelle est la période de la fonction cosinus ?

Montrer la réponse

Réponse

2*pi

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Question

Quelle est la période de la fonction tangente ?

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Réponse

pi

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'une fonction périodique ?

Montrer la réponse

Réponse

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre réel non-nul T tel que f(x)=f(x+T) pour tout x dans son domaine de définition. 

Montrer la question

Question

Quelle est la fonction impaire ?

Montrer la réponse

Réponse

sin(x)

Montrer la question

Question

Quelle est la fonction paire ?

Montrer la réponse

Réponse

tan(x)

Montrer la question

Question

Quelle est la dérivée de sin(x)cos(x) ? 

Montrer la réponse

Réponse

cos(2x)

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de sin(cos(x)).

Montrer la réponse

Réponse

-sin(x)*cos(cos(x))

Montrer la question

Question

Étudie la parité de la fonction 1 - cos2(x).

Montrer la réponse

Réponse

1 - cos2(x) = sin2(x) = sin2(-x)

Cette fonction est paire. 

Montrer la question

Question

Quelle est la période de tan(3x) ?

Montrer la réponse

Réponse

pi/3

Montrer la question

Question

Une fonction peut être ni paire ni impaire.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

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