En géométrie, le sinus, le cosinus et la tangente sont des rapports trigonométriques qui ont été définis pour les angles aigus d'un triangle rectangle. Néanmoins, nous avons pu étendre leurs définitions à de plus grands ensembles de nombres, créant ainsi des fonctions trigonométriques. Ces fonctions trigonométriques ont de nombreuses propriétés utiles, notamment en ce qui concerne leur périodicité et leur parité. Nous pouvons également trouver les dérivées de ces fonctions qui ont plusieurs applications, notamment dans la modélisation des signaux électroniques et des ruptures.
Fonctions trigonométriques : cours
Il y a trois fonctions trigonométriques de base : le sinus, le cosinus et la tangente. Nous pouvons définir ces fonctions à partir du cercle trigonométrique. L'ordonnée d'un point de ce cercle nous donne le sinus de l'angle entre le rayon et la partie positive de l'axe des abscisses \(\theta\). L'abscisse représente le cosinus de \(\theta\).
Fig. 1 - Le cercle trigonométrique
Quels sont les domaines de définition des fonctions trigonométriques ?
Les domaines de définitions des fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont \( \mathbb{R} \), l'ensemble des nombres réels. De plus, ces deux fonctions prennent des valeurs entre -1 et 1. Observe que la courbe représentative d'une de ces fonctions est le translaté de l'autre.
Fig. 2 - Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus
La fonction tangente est définie pour tout nombre réel \(x\), sauf quand \(x= \frac{\pi}{2} + k \pi\), où \(k\) est un nombre entier. En d'autres termes, nous pouvons écrire que le domaine de définition de la fonction tangente est \(\{x \in \mathbb{R} \ | \ x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} \}\).
Fig. 3 - La courbe représentative de la fonction tangente (bleu)
Ces fonctions sont périodiques, autrement dit, elles ont un motif qui se répète. Voyons maintenant comment déterminer les périodes de fonctions trigonométriques.
Déterminer la période d'une fonction trigonométrique
Une fonction \(f(x)\) est périodique s'il existe un nombre réel non-nul \(T\) tel que \(f(x) = f(x+T)\) pour tout \(x\) dans son domaine de définition. Si \(T\) est le plus petit nombre positif vérifiant cette égalité, il est la période de la fonction.
Pour déterminer la période d'une fonction trigonométrique, il faut donc déterminer \(T\) tel que \(f(x) = f(x+T)\). Pour les fonctions trigonométriques de base, nous connaissons leurs périodes :
- la période de \(\sin(x)\) et de \(\cos(x)\) est \(2 \pi\) ;
- la période de \(\tan(x)\) est \(\pi\).
Nous pouvons donc utiliser ces informations pour trouver la période de fonctions similaires.
Déterminons la période de la fonction \(\sin(2x+1)\).
Comme la période de \(\sin(x)\) est \(2 \pi\), cette fonction atteint toutes ses valeurs dans l'intervalle \([0,2 \pi]\).
Pour retrouver l'intervalle dans laquelle \(\sin(2x+1)\) atteint toutes ses valeurs, nous devons alors mettre cette expression égale aux bornes de l'intervalle \([0,2 \pi]\).
\(2x + 1 = 0\)
\(x = \frac{-1}{2}\)
\(2x + 1 = 2 \pi \)
\(x = \pi - \frac{1}{2}\)
La fonction \(\sin(2x+1)\) atteint donc toutes ses valeurs dans l'intervalle \([\frac{-1}{2},\pi - \frac{1}{2}]\). Sa période est donc \(\pi\).
À part leur périodicité, la parité est une propriété intéressante des fonctions trigonométriques.
Étudier la parité d'une fonction trigonométrique
Étudier la parité d'une fonction trigonométrique revient à déterminer si la fonction est paire ou impaire. Connaître la parité d'une fonction permet de simplifier d'autres calculs.
Une fonction \(f(x)\) est dite paire si pour tout \(x\) dans son domaine de définition, nous avons \(f(x) = f(-x)\).
Une fonction \(f(x)\) est dite impaire si pour tout \(x\) dans son domaine de définition, nous avons \(f(x) = -f(-x)\).
Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Le sinus et la tangente sont des fonctions impaires, alors que le cosinus est une fonction paire. Pour étudier la parité d'une autre fonction, il faut remplacer \(x\) avec \(-x\) et voir si cette expression est égale à \(f(x)\) ou à \(-f(x)\). Une fonction peut être ni paire ni impaire.
Étudions la parité de la fonction \(f(x) = \cos(x) \sin(x)\).
\(f(-x) = \cos(-x) \sin(-x)\)
Comme le cosinus est pair, \(\cos(-x) = \cos(x)\).
Comme le sinus est impair, \(\sin(-x) = -\sin(x)\).
Donc, \(f(-x) = \cos(x) \times - \sin(x) = - \cos(x) \sin(x)\)
Enfin, \(f(-x) = -f(x)\) et cette fonction est paire.
Nous aurions pu également constater que \(f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)\). Comme le sinus est une fonction impaire, \(f(x)\) l'est également.
Dérivées des fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques sont dérivables sur leurs ensembles de définitions. De plus, les dérivées des fonctions trigonométriques sont également des fonctions trigonométriques.
Fonction, \(f(x)\) | Dérivée, \(f'(x)\) |
\(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
\(\cos(x)\) | \(- \sin(x)\) |
\(\tan(x)\) | \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) |
Déterminons la dérivée de \(f(x) = \cos(2x + 1)\).
Nous devons appliquer la règle pour la dérivation d'une composition de fonctions.
\(f'(x) = 2 \times - \sin(2x + 1) = -2 \sin(2x+1)\)
Fonctions trigonométriques : formules
Lorsque nous travaillons avec des fonctions trigonométriques, certaines formules peuvent s'avérer très utiles. Nous pouvons utiliser les formules suivantes pour simplifier des calculs.
| Formule | Comment utiliser |
| \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) | Cette formule sert à convertir le sinus d'un angle en une expression avec un angle plus petit. Nous pouvons également l'utiliser pour convertir un produit de cosinus et sinus en une expression avec sinus seulement. |
| \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \) | Nous pouvons utiliser cette formule pour convertir le cosinus d'un angle en une expression avec un angle plus petit. Dans le cadre de l'intégration, cette formule sert également à transformer une puissance de fonctions trigonométriques en une expression plus facilement intégrable. |
| \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \) | Cette formule résulte du théorème de Pythagore. Nous l'utilisons pour convertir une expression avec cosinus et sinus à une expression qui ne contient qu'une seule de ces fonctions trigonométriques. |
| \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) | Cette formule découle de la définition de la tangente. Elle sert à travailler avec des expressions en termes de tangente, notamment pour des intégrales des fonctions trigonométriques. |
Une formule trigonométrique peut être le résultat d'une propriété des fonctions trigonométriques. Ces formules découlent de la périodicité des fonctions trigonométriques :
- \(\sin(x+2 \pi) = \sin(x) \) ;
- \(\cos(x+2 \pi) = \cos(x) \) ;
- \(\tan(x+\pi) = \tan(x) \).
Ces formules évoquent la parité des fonctions trigonométriques :
- \(\sin(-x) = - \sin(x) \) ;
- \(\cos(-x) = \cos(x) \) ;
- \(\tan(-x) = -\tan(x) \).
Fonctions trigonométriques - Points clés
Les trois fonctions trigonométriques de base sont le sinus, le cosinus et la tangente.
La période du sinus et du cosinus est \(2 \pi\), alors que la période de la tangente est \(\pi\).
Le sinus et la tangente sont des fonctions impaires, mais le cosinus est une fonction paire.
Les dérivées des fonctions trigonométriques sont d'autres fonctions trigonométriques.
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