\(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\) Tu n'as pas besoin de déterminer toutes les valeurs de cette suite numérique pour déduire que ses valeurs se rapprochent de plus en plus de \(0\). Et qu'en est-il si la suite en question était donnée par \(\frac{\sin(n)}{n}\) ? Dans les deux cas, il faut déterminer la limite d'une suite. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord présenter ce que sont les suites convergentes. Après nous t'expliquerons comment montrer qu'une suite est convergente et conjecturer la limite d'une suite. Comme tu le verras, une conjecture ne suffit pas : il faut savoir calculer la limite d'une suite. Pour cela, il est nécessaire de savoir comment fonctionnent les opérations sur les suites, ainsi que le théorème des gendarmes.
Qu'est-ce qu'une suite convergente ?
Une suite \((u_n)\) est dite convergente s'il existe un réel \(\ell\) tel que \(u_n\) devient infiniment proche de \(\ell\) lorsque \(n\) augmente.
Considérons la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{1}{n}\). Lorsque \(n\) devient de plus en plus grand \(u_n\) devient de plus en plus proche de \(0\).
\(n\) | \(u_n\) |
\(10\) | \(0{,}1\) |
\(100\) | \(0{,}01\) |
\(1000\) | \(0{,}001\) |
\(10000\) | \(0{,}0001\) |
Nous pouvons dire que la limite de cette suite est \(0\), ou encore, que cette suite converge vers \(0\).
Qu'est-ce que la limite d'une suite ?
Nous pouvons dire que \(\ell\) est la limite de la suite ou que la suite converge vers \(\ell\). Nous notons ainsi \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Une limite, si elle existe, est unique.
La définition ci-dessus n'est pas une définition rigoureuse de la limite. En effet, il existe plusieurs définitions de la limite d'une suite qui reposent sur de divers cadres mathématiques. Or, dans ce contexte, cette définition « avec les mains » est suffisante pour aborder les concepts évoqués ici.
Si une suite n'est pas convergente, elle est divergente.
Rappelle-toi que si une suite est convergente, sa limite est un nombre réel. Comme \(+ \infty\) et \(- \infty\) ne sont pas des nombres réels, les suites divergentes sont souvent celles qui tendent vers \(+ \infty\) ou \(- \infty\), par exemple la suite définie par \(u_n = n\). Les suites périodiques telles que \(0, 1, 0, 1, ...\) sont également divergentes, car les termes de ces suites ne se rapprochent pas d'une valeur spécifique.
Nous pouvons utiliser certaines suites de référence, ou suites usuelles, pour travailler avec des limites de suites. Pour un nombre réel strictement positif \(p\),
Ces suites de référence, alliées à des théorèmes et méthodes spécifiques, nous permettent de montrer qu'une suite est convergente.
Montrer qu'une suite est convergente
Souvent, la question est de savoir si une suite est convergente ou divergente au lieu de calculer la limite de la suite. Pour montrer qu'une suite est convergente, nous pouvons exploiter quelques propriétés simples. Définissons d'abord quelques termes importants.
Une suite \((u_n)\) est majorée s'il existe \(M \in \mathbb{R}\) telle que \(u_n \leq M\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Similairement, une suite \((u_n)\) est minorée s'il existe \(m \in \mathbb{R}\) telle que \(u_n \geq m\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Enfin, une suite est bornée si elle est minorée et majorée à la fois.
Pourquoi définir ces propriétés ? D'abord, si la suite est monotone et bornée, alors elle est forcément convergente. De façon équivalente :
si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente ;
si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
La suite définie par \(u_n = 1 - \frac{1}{n^2}\), pour \(n \geq 1\) est croissante. En effet,
\(u_{n+1} - u_{n}\)
\(= - \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n^2}\)
\(= \frac{- n^2 + (n+1)^2}{(n+1)^{2}n^2}\)
\(= \frac{2n+1)}{(n+1)^{2}n^2}\)
Comme, pour tout \(n\) entier naturel, le dénominateur est positif et le numérateur est positif, alors \(u_{n+1} - u_{n} \geq 0\). La suite est donc croissante. De plus, la suite est majorée par \(1\), comme \(1 \geq 1 - \frac{1}{n^2}\) si \(n \geq 1\).
Nous pouvons également démontrer que cette suite est décroissante en utilisant le fait que la dérivée de la fonction \(f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}\) soit négative.
Il est également possible de comparer la suite que nous étudions avec d'autres suites dont nous connaissons la nature.
Théorème de comparaison
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites qui convergent ou qui tendent vers \(\pm \infty\) . Si \(u_n \leq v_n\) pour tout entier naturel \(n\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n \leq \lim_{n \to +\infty} v_n \). En particuler, si \( \lim u_n = +\infty\), alors \( \lim v_n = +\infty\) également. De même, si \(\lim v_n = -\infty\), alors \(\lim u_n = -\infty\) aussi.
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_n = n\) et \(v_n = n^2\). Ici, \(u_n \leq v_n\), pour tout \(n\) et \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\). Ainsi, \(\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty\) également.
Si nous avons réussi à démontrer qu'une suite est convergente, la prochaine étape serait de calculer la limite de la suite en question. Or, conjecturer la limite de cette suite avant peut simplifier cette tâche.
Pourquoi conjecturer la limite d'une suite ?
Avant de se lancer dans le calcul de la limite d'une suite, il est souvent utile de conjecturer la limite d'une suite. Il s'agit de former une hypothèse bien fondée. Conjecturer la limite d'une suite peut nous aider énormément à savoir comment calculer rigoureusement la limite d'une suite.
Pour conjecturer la limite d'une suite, il suffit de calculer quelques valeurs de la suite, avec une calculatrice par exemple, et de voir si un motif ressort.
Les trois premiers termes de la suite définie par \( u_n = \frac{\sin(n)}{n}\) pour \(n \geq 1 \) sont \(0{,}841, 0{,}457, 0{,}047\). Nous pouvons constater que la valeur diminue progressivement. Or, il faut garder à l'esprit que les fonctions trigonométriques, comme le sinus, sont périodiques et donc susceptibles de diverger.
N'oublie pas qu'à cette étape, nous essayons simplement de former des idées sur le comportement de la suite.
C'est également une bonne idée de faire un graphique de quelques termes de la suite pour conjecturer sa limite.
Fig. 1 - Les premiers termes de la suite définie par \( u_n = \frac{\sin(n)}{n}\)
Nous rappelons encore une fois que calculer quelques termes d'une suite ne suffit pas pour déterminer ou justifier la limite d'une suite. Il faut expliciter un raisonnement logique allié de calculs pertinents. Passons donc en revue quelques approches que nous pouvons appliquer pour calculer la limite d'une suite.
Calculer la limite d'une suite
Après avoir conjecturé la limite d'une suite, nous devons ensuite confirmer notre idée par des calculs. Pour calculer la limite d'une suite, nous pouvons utiliser les opérations sur les limites avec des limites de suites de référence. Cette approche consiste à décomposer les suites dans des suites plus faciles à étudier.
À part cela, nous pouvons également utiliser le théorème des gendarmes, où nous exploitons un encadrement pour calculer la limite d'une suite, ou pour montrer qu'elle est convergente.
Opérations sur les limites
Certaines règles régissent ce que nous pouvons faire avec des limites. Connaître comment fonctionnent les opérations sur les limites est donc primordial pour calculer la limite d'une suite. En particulier, nous pouvons voir si la suite que nous étudions est une somme (ou produit) de suites de référence. En général, les opérations sur les limites fonctionnent comme nous imaginons, c'est-à-dire, la limite d'une somme de suites est la somme des limites, à quelques exceptions près. Si une suite \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\) et \((v_n)\) converge vers une limite finie \((\ell ')\), alors :
\(\lim (u_n + v_n) = \ell +\ell '\) ;
\(\lim (u_n - v_n) = \ell - \ell '\) ;
\(\lim k u_n = k \ell \), pour un réel \(k\) donné ;
\(\lim u_n v_n = \ell \ell '\) ;
\(\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell '}\), si \(\ell ' \neq 0\).
Considérons la suite définie par \(u_n = \frac{5 - \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{1}{n}}\). Comme le numérateur tend vers \(5\) et le dénominateur tend vers \(2\), alors \(u_n\) converge vers \(\frac{5}{2}\).
Formes indéterminées
Ces règles sont également valables pour quelques limites infinies. En revanche, il faut faire attention à ces formes indéterminées, qui ne sont pas conclusives quant à la valeur de la limite : \( \infty - \infty\), \( \frac{\infty}{\infty}\), \(0 \times \infty\). Dans ces cas, il faut lever la forme indéterminée à l'aide d'un calcul spécifique ou d'un théorème plus avancé.
Considérons la suite définie par \(u_n = \frac{5n^2 - 1}{2n^2 +1}\). Ici, il s'agit d'une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers \(+\infty\). Il faut donc manipuler l'expression pour pouvoir déterminer la limite. Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur par \(\frac{1}{n^2}\), nous aboutissons à \(u_n = \frac{5 - \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}}\). Il s'agit de l'expression dans l'exemple précédent dont nous pouvons déterminer la limite.
Théorème des gendarmes
Un brigand a braqué une banque et les gendarmes le poursuivent en voiture. Pour éviter qu'il leur échappe, les gendarmes se mettent à droite et à gauche de lui. Voilà le principe derrière le théorème des gendarmes. Ce théorème est également appelé théorème d'encadrement, car nous encadrons une suite avec deux autres suites convergentes.
Donnons maintenant un énoncé détaillé du théorème des gendarmes. Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites, telles que \(u_n \geq v_n \geq w_n\). Si \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent toutes les deux vers un nombre réel, \( \ell\), alors \((v_n)\) converge également vers \(\ell\). Pour appliquer ce théorème, il suffit de trouver les bonnes suites convergentes qui vont encadrer la suite que nous étudions.
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{\sin(n)}{n} \). Nous allons trouver deux autres suites pour encadrer cette suite et ainsi appliquer le théorème des gendarmes.
Rappelle-toi que \(-1 \leq \sin(n) \leq 1\). Alors, nous avons \(\frac{-1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n}\).
Comme \(\lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\), par le théorème des gendarmes, \(u_n\) converge également et tend vers \(0\).
Limite d'une suite - Points clés
- Une suite \((u_n)\) est converge vers sa limite \(\ell\) si \(u_n\) devient infiniment proche de \(\ell\) lorsque \(n\) augmente.
- Pour montrer qu'une suite est convergente, nous avons recours à quelques propriétés simples :
- une suite décroissante et minorée est convergente ;
- une suite croissante et majorée est convergente ;
- \(u_n \leq v_n\) implique que \(\lim u_n \leq \lim v_n \).
- Pour conjecturer la limite d'une suite, il faut calculer quelques valeurs de la suite en question ou en faire graphiquement pour voir s'il y a un motif qui peut nous guider.
- Comme une conjecture ne suffit pas pour calculer la limite d'une suite, il faut utiliser les limites des suites de référence :
- \(\lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty\) ;
- \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0\).
- Il est également nécessaire d'utiliser les opérations sur les limites, en gardant à l'esprit les différentes formes indéterminées, qui réquièrent l'emploi d'autres méthodes ou théorèmes.
- Le théorème des gendarmes nous dit que si \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites, telles que \(u_n \geq v_n \geq w_n\), avec \((u_n)\) et \((w_n)\) qui convergent vers une même limite, \( \ell\), alors \((v_n)\) converge également vers \(\ell\).
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