Limite d'une suite

\(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\) Tu n'as pas besoin de déterminer toutes les valeurs de cette suite numérique pour déduire que ses valeurs se rapprochent de plus en plus de \(0\). Et qu'en est-il si la suite en question était donnée par \(\frac{\sin(n)}{n}\) ? Dans les deux cas, il faut déterminer la limite d'une suite. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord présenter ce que sont les suites convergentes. Après nous t'expliquerons comment montrer qu'une suite est convergente et conjecturer la limite d'une suite. Comme tu le verras, une conjecture ne suffit pas : il faut savoir calculer la limite d'une suite. Pour cela, il est nécessaire de savoir comment fonctionnent les opérations sur les suites, ainsi que le théorème des gendarmes.

Qu'est-ce qu'une suite convergente ?

Considérons la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{1}{n}\). Lorsque \(n\) devient de plus en plus grand \(u_n\) devient de plus en plus proche de \(0\).

Nous pouvons dire que la limite de cette suite est \(0\), ou encore, que cette suite converge vers \(0\).

Qu'est-ce que la limite d'une suite ?

Nous pouvons utiliser certaines suites de référence, ou suites usuelles, pour travailler avec des limites de suites. Pour un nombre réel strictement positif \(p\),

• \(\lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty\) ;

• \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0\).

Ces suites de référence, alliées à des théorèmes et méthodes spécifiques, nous permettent de montrer qu'une suite est convergente.

Montrer qu'une suite est convergente

Souvent, la question est de savoir si une suite est convergente ou divergente au lieu de calculer la limite de la suite. Pour montrer qu'une suite est convergente, nous pouvons exploiter quelques propriétés simples. Définissons d'abord quelques termes importants.

Pourquoi définir ces propriétés ? D'abord, si la suite est monotone et bornée, alors elle est forcément convergente. De façon équivalente :

• si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente ;

• si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.

Il est également possible de comparer la suite que nous étudions avec d'autres suites dont nous connaissons la nature.

Théorème de comparaison

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites qui convergent ou qui tendent vers \(\pm \infty\) . Si \(u_n \leq v_n\) pour tout entier naturel \(n\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n \leq \lim_{n \to +\infty} v_n \). En particuler, si \( \lim u_n = +\infty\), alors \( \lim v_n = +\infty\) également. De même, si \(\lim v_n = -\infty\), alors \(\lim u_n = -\infty\) aussi.

Si nous avons réussi à démontrer qu'une suite est convergente, la prochaine étape serait de calculer la limite de la suite en question. Or, conjecturer la limite de cette suite avant peut simplifier cette tâche.

Pourquoi conjecturer la limite d'une suite ?

Avant de se lancer dans le calcul de la limite d'une suite, il est souvent utile de conjecturer la limite d'une suite. Il s'agit de former une hypothèse bien fondée. Conjecturer la limite d'une suite peut nous aider énormément à savoir comment calculer rigoureusement la limite d'une suite.

Pour conjecturer la limite d'une suite, il suffit de calculer quelques valeurs de la suite, avec une calculatrice par exemple, et de voir si un motif ressort.

C'est également une bonne idée de faire un graphique de quelques termes de la suite pour conjecturer sa limite.

Nous rappelons encore une fois que calculer quelques termes d'une suite ne suffit pas pour déterminer ou justifier la limite d'une suite. Il faut expliciter un raisonnement logique allié de calculs pertinents. Passons donc en revue quelques approches que nous pouvons appliquer pour calculer la limite d'une suite.

Calculer la limite d'une suite

Après avoir conjecturé la limite d'une suite, nous devons ensuite confirmer notre idée par des calculs. Pour calculer la limite d'une suite, nous pouvons utiliser les opérations sur les limites avec des limites de suites de référence. Cette approche consiste à décomposer les suites dans des suites plus faciles à étudier.

À part cela, nous pouvons également utiliser le théorème des gendarmes, où nous exploitons un encadrement pour calculer la limite d'une suite, ou pour montrer qu'elle est convergente.

Opérations sur les limites

Certaines règles régissent ce que nous pouvons faire avec des limites. Connaître comment fonctionnent les opérations sur les limites est donc primordial pour calculer la limite d'une suite. En particulier, nous pouvons voir si la suite que nous étudions est une somme (ou produit) de suites de référence. En général, les opérations sur les limites fonctionnent comme nous imaginons, c'est-à-dire, la limite d'une somme de suites est la somme des limites, à quelques exceptions près. Si une suite \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\) et \((v_n)\) converge vers une limite finie \((\ell ')\), alors :

• \(\lim (u_n + v_n) = \ell +\ell '\) ;

• \(\lim (u_n - v_n) = \ell - \ell '\) ;

• \(\lim k u_n = k \ell \), pour un réel \(k\) donné ;

• \(\lim u_n v_n = \ell \ell '\) ;

• \(\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell '}\), si \(\ell ' \neq 0\).

Formes indéterminées

Ces règles sont également valables pour quelques limites infinies. En revanche, il faut faire attention à ces formes indéterminées, qui ne sont pas conclusives quant à la valeur de la limite : \( \infty - \infty\), \( \frac{\infty}{\infty}\), \(0 \times \infty\). Dans ces cas, il faut lever la forme indéterminée à l'aide d'un calcul spécifique ou d'un théorème plus avancé.

Théorème des gendarmes

Un brigand a braqué une banque et les gendarmes le poursuivent en voiture. Pour éviter qu'il leur échappe, les gendarmes se mettent à droite et à gauche de lui. Voilà le principe derrière le théorème des gendarmes. Ce théorème est également appelé théorème d'encadrement, car nous encadrons une suite avec deux autres suites convergentes.

Donnons maintenant un énoncé détaillé du théorème des gendarmes. Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites, telles que \(u_n \geq v_n \geq w_n\). Si \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent toutes les deux vers un nombre réel, \( \ell\), alors \((v_n)\) converge également vers \(\ell\). Pour appliquer ce théorème, il suffit de trouver les bonnes suites convergentes qui vont encadrer la suite que nous étudions.