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Formules de dérivation

La dérivée d'une fonction est une mesure de la façon dont la fonction change lorsque son entrée change. En pratiquant, nous calculons généralement les dérivées à l'aide de formules de dérivation. Ces formules nous permettent de calculer la dérivée d'une grande variété de fonctions, dont les polynômes, les fonctions exponentielles, etc.

Dérivée d'une fonction composée

Une formule importante parmi les formules de dérivation est la dérivation des fonctions composées ou la règle de la chaîne.

La règle de la chaîne peut être utilisée pour calculer la dérivée d'une fonction composée, qui est une fonction composée de deux ou plusieurs autres fonctions.

Supposons que nous ayons une fonction \(f(x) = g(h(x))\). À l'aide de la règle de la chaîne, nous pouvons calculer sa dérivée comme suit :

\(f '(x) = g '(h(x)) \times h'(x)\)

\(f(x) = sin(x^2)\)

\(f'(x) = cos(x^2) \times (x^2)'\)

\(f'(x) = 2x \times cos(x^2)\)

Dérivée d'un produit

La dérivation d'une fonction composée peut également être utilisée pour calculer la dérivée d'un produit de deux fonctions. Supposons que nous ayons une fonction \(f(x) = g(x) \times h(x)\). Nous pouvons calculer sa dérivée comme suit :

\(f '(x) = g'(x) \times h(x) + g(x) \times h'(x)\)

\(f(x) = (x^3-x+1) \times (x^2-1)\)

\(f'(x) = u(x) \times v'(x) + u'(x) \times v(x)\)

\(= (x^3 - x + 1) \times (2x) + (x^2-1) \times (3x^2 -1)\)

\(= 2x^4 -2x^2 +2x + 3x^4 -x^2 -3x^2 +1\)

\(= 5x^4 - 6x^2 + 2x + 1\)

Dérivée d'un quotient

Une autre formule importante des formules de dérivation est la règle du quotient. La règle du quotient peut être utilisée pour calculer la dérivée d'un quotient de deux fonctions. Supposons que nous ayons une fonction \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\). En utilisant la règle du quotient, nous pouvons calculer sa dérivée comme suit :

\(f '(x) = \frac{g'(x) \times h(x) - g(x) \times h'(x) }{ h(x)^2}\)

\(f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}\)

\(f'(x) = \frac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}\)

\(= \frac{(2)(x^2+1)-(2x+1)(2x)}{(x^2+1)^2}\)

\(= \frac{2x^2+2-4x^2-2x}{x^4+2x+1}\)

\(= \frac{-2x^2-2x+2}{x^4+2x+1}\)

Dérivée d'une somme

La règle de la somme est importante à connaître pour les opérations de formules de dérivation. La règle de la somme peut être utilisée pour calculer la dérivée d'une somme de deux fonctions. Supposons que nous ayons une fonction \(f(x) = g(x) + h(x)\). En utilisant la règle de la somme, nous pouvons calculer sa dérivée comme suit :

\(f '(x) = g'(x) + h'(x)\)

\(f(x) = 7x^3-3x^2+3\)

\(f'(x) = (7x^3)'-(3x^2)'+(3)'\)

\(=7(3x^2)-3(2x)+0\)

\(=21x^2-6x\)

Ce ne sont pas toutes les formules de dérivation qui existent, il y en a d'autres que tu peux voir dans le tableau ci-dessous. Ces formules nous permettent de calculer les dérivées d'une grande variété de fonctions. En mathématiques, nous utilisons ces formules pour nous aider à comprendre comment une fonction change lorsque son entrée change.

Exemples de formules de dérivation

Voici un tableau avec les différentes formules de dérivation que tu as besoin de connaître.

Fonction fFonction dérivée f'Ensemble de dérivabilité
\(f(x) = k\)\(f'(x) = 0\)\( \mathbb{R} \)
\(f(x)=x\)\(f'(x)=1\)\( \mathbb{R} \)
\(f(x)=ax+b\)\(f'(x)=a\)\( \mathbb{R} \)
\(f(x) = x^n \) \(f'(x) = nx^{n-1}\)\( \mathbb{R} \)
\(f(x) = \sqrt{x} \)\( f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \)\( ]0,+ \infty [ \)
\( f(x) = sin(x)\)\(f'(x)=cos(x)\)\( \mathbb{R} \)
\( f(x)=cos(x)\)\(f'(x)=-sin(x)\)\( \mathbb{R} \)
\(f(x)= \frac{1}{x} \)\( f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)\( \mathbb{R}^* \)
\(f(x)= \frac{1}{x^n} \)\( f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}\)\( \mathbb{R}^* \)

Formules de dérivation - Points clés

  • La dérivée d'une fonction est une mesure de la façon dont la fonction change lorsque son entrée change.
  • Dérivée d'une fonction composée : \(f '(x) = g '(h(x)) \times h'(x)\)
  • Dérivée d'un produit : \(f '(x) = g'(x) \times h(x) + g(x) \times h'(x)\)
  • Dérivée d'un quotient : \(f '(x) = g'(x) \times h(x) - g(x) \times \frac{h'(x) }{ h(x)^2}\)
  • Dérivée d'une somme : \(f '(x) = g'(x) + h'(x)\)
  • Tu peux t'aider d'un tableau avec les différentes formules pour calculer les dérivées de certaines fonctions.

Questions fréquemment posées en Formules de dérivation

Il existe plusieurs façons de calculer la dérivée d'une fonction. Une méthode courante consiste à utiliser la définition de la dérivée. Tu peux aussi t'aider d'un tableau de formules de dérivation.

si f(x) = g(x)*h(x), alors f '(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)

si f(x) = g(x) / h(x), alors f '(x) = g'(x) * h(x) - g(x) * (h'(x) / h(x)^2)

si f(x) = g(x) + h(x), alors f '(x) = g'(x) + h'(x)

f '(x) = g '(h(x)) * h'(x)

Questionnaire final de Formules de dérivation

Question

Qu'est-ce que la dérivation ? 

Montrer la réponse

Réponse

La dérivation est le processus qui consiste à trouver la dérivée d'une fonction.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction ? 

Montrer la réponse

Réponse

La dérivée d'une fonction est le taux de variation de la fonction par rapport à l'une de ses variables.

Montrer la question

Question

Quelle est la dérivée d'une fonction constante ? 

Montrer la réponse

Réponse

La dérivée d'une fonction constante est égale à zéro.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction linéaire ? 

Montrer la réponse

Réponse

La dérivée d'une fonction linéaire est la pente de la droite.

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = 3x^2 - 5x + 2

Montrer la réponse

Réponse

6x - 5

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = (4x^3 + 2x - 5) / (3x^2).

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Réponse

(12x^2+2) / (3x^2) - (8x^3+4x) / (9x^3)

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Question

Trouve la dérivée de y = ln(x).

Montrer la réponse

Réponse

1/x

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = sin(x)

Montrer la réponse

Réponse

cos(x)

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = cos(x)

Montrer la réponse

Réponse

- sin(x)

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Question

Trouve la dérivée de y = 4x^10

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Réponse

40x^9

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = 12x + 4x 

Montrer la réponse

Réponse

16

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Question

Trouve la dérivée de y = 4/(2x + 1) 

Montrer la réponse

Réponse

-8/(2x + 1)² 

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = cos(x)sin(x) 

Montrer la réponse

Réponse

cos²(x) - sin²(x) 

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = sin(x)/cos(x) 

Montrer la réponse

Réponse

1+ tan²x 

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = 1/x² 

Montrer la réponse

Réponse

- 2/x³ 

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de y = 5x/x² 

Montrer la réponse

Réponse

- 5/x² 

Montrer la question

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