L'appli tout-en-un pour réviser
4.8 • +11k évaluations
Plus de 3 millions de téléchargements
Télécharger
Tu sais peut-être manipuler des fonctions usuelles, mais que faire pour des fonctions plus complexes ? Souvent, lorsque nous avons affaire à une fonction plus compliquée, il s'agit d'une fonction composée, aussi appelée composition de fonctions. Dans ce résumé de cours, nous définirons d'abord ce qu'est une composition de fonctions. Par la suite, nous discuterons son domaine de définition. Nous considérons…
Explore our app and discover over 50 million learning materials for free.
Sauvegarde ce cours maintenant et relis-le quand tu auras le temps.
SauvegarderLerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenTu sais peut-être manipuler des fonctions usuelles, mais que faire pour des fonctions plus complexes ? Souvent, lorsque nous avons affaire à une fonction plus compliquée, il s'agit d'une fonction composée, aussi appelée composition de fonctions. Dans ce résumé de cours, nous définirons d'abord ce qu'est une composition de fonctions. Par la suite, nous discuterons son domaine de définition. Nous considérons ensuite la dérivabilité d'une fonction composée et comment déterminer sa dérivée. Pour terminer, nous nous pencherons sur les limites de fonctions composées.
Une fonction composée est la même chose qu'une composition de fonctions. Il s'agit de l'application consécutive de deux ou plusieurs fonctions.
Une composition des fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) est \(f \circ g(x) = f(g(x))\).
Considère les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x + 5\). Dans ce cas, \(f \circ g(x) = (2x +5)^2\) et \(g \circ f(x) = 2x^2+5\).
Cet exemple illustre que \(f \circ g(x) \neq g \circ f(x)\).
Pour pouvoir effectuer la composition de deux fonctions, nous devons vérifier que les domaines de définition des deux fonctions le permettent.
Il est important de penser aux ensembles de départ et d'arrivée des fonctions que nous souhaitons composer. Cela nous permettrait de déterminer le domaine de définition de la fonction composée.
Considérons les fonctions \(f : B \to C\) et \(g : A \to B\). Le domaine de définition de la fonction composée \(f \circ g\) est le domaine de définition de \(g\), en l'occurrence l'ensemble \(A\). De plus, les valeurs de \(f \circ g\) sont dans l'ensemble d'arrivée de \(f\), en l'occurrence \(C\).
Considère les fonctions \(f(x) = \ln x \) et \(g(x) = x^2\). Le domaine de définition de la fonction composée \(\ln (x^2)\) est \(\mathbb{R}\), même si la fonction logarithme népérien n'est définie que pour des nombres réels.
Nous pouvons composer deux fonctions seulement si l'ensemble d'arrivée de la fonction « interne » est l'ensemble de départ de la fonction externe.
Outre son domaine de définition, une fonction composée hérite d'autres propriétés des fonctions dont elle est composée, notamment sa dérivabilité.
Nous pouvons affirmer la dérivabilité d'une fonction composée grâce à la dérivabilité des fonctions dont elle est composée. Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions dérivables, alors leur composition est dérivable. Plus précisément, si \(g\) est dérivable en un point \(x\) et \(f\) est dérivable en \(g(x)\), alors la fonction composée \(f \circ g\) est dérivable également.
Peux-tu expliquer pourquoi la fonction \(\sin(x^2 - 1)\) est dérivable ?
Comme \(\sin(x)\) et \(x^2 - 1\) sont des fonctions dérivables, leur composition est dérivable également.
Besoin d'un rappel sur les fonctions de référence ? N'hésite pas à consulter notre résumé de cours sur les fonctions usuelles.
Après avoir étudié la dérivabilité d'une fonction composée, il est naturel d'apprendre comment déterminer sa dérivée.
Considérons deux fonctions dérivables \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables. Pour déterminer la dérivée d'une fonction composée, nous nous servons de la formule suivante : \[ (f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x)) \] Autrement dit, il s'agit de multiplier la dérivée de la fonction « interne » \(g\) par la dérivée de la fonction « externe » \(f\).
Es-tu capable de déterminer la dérivée de \(\ln({3x^2 + 5})\) ?
Ici, la fonction interne est \(g(x) = 3x^2 + 5\) et la fonction externe est la fonction logarithme népérien \(f(x) = \ln(x)\)
Nous avons alors \(g'(x) = 6x\).
De plus, comme \(f'(x) = \frac{1}{x}\), nous avons \(f'(g(x)) = \frac{1}{3x^2 + 5}\).
Ainsi, la dérivée de \(\ln({2x^2 + 5})\) est \( \frac{6x}{2x^2 + 5}\).
Pour plus d'informations sur la dérivée d'une fonction composée, n'hésite pas à consulter notre résumé de cours à ce sujet.
Considérons une fonction composée \(f \circ g(x)\), ainsi que \(a, b \in \mathbb{R} \cup \{- \infty, +\infty\}\). Si \(\lim_{x \to a} g(x) = b\), alors \(\lim_{x \to a} f \circ g(x) = \lim_{x \to b} f(x)\).
Voyons comment mettre en œuvre cette propriété pour déterminer la limite d'une fonction composée.
Peux-tu déterminer la limite de la fonction \(e^{1 - x^2}\) lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) ?
Il s'agit de déterminer une limite de la fonction composée \(f \circ g(x)\), où \(f(x) = e^x\) et \(g(x) = 1 - x^2\).
Comme \(\lim_{x \to - \infty} 1 - x^2= - \infty \),
\(\lim_{x \to -\infty} e^{1 - x^2} = \lim_{x \to -\infty} e^x\)\(\lim_{x \to -\infty} e^{1 - x^2} = 0\)
Une fonction composée est l'application consécutive de deux fonctions.
Le domaine de définition d'une fonction composée est une partie du domaine de définition de la fonction « interne ». Par exemple, le domaine de définition de f(g(x)) est une partie du domaine de définition de g(x).
Pour calculer la dérivée de la fonction composée f(g(x)), nous utilisons la formule g'(x)f'(g(x)).
Pour calculer la limite d'une fonction composée en une valeur donnée, nous calculons d'abord la limite de la fonction « interne » en cette valeur. Nous calculons ensuite la limite de la fonction « externe » lorsque sa variable tend vers la limite de la fonction interne.
Nous ne cherchons pas à décomposer une fonction composée. Il suffit de reconnaître de quelles fonctions elle est composée.
des utilisateurs ne réussissent pas le test de Fonctions composées ! Réussirez-vous le test ?
lancer le quizHow would you like to learn this content?
How would you like to learn this content?
Free mathematiques cheat sheet!
Everything you need to know on . A perfect summary so you can easily remember everything.
Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !
Sauvegarde des cours dans ton espace personnalisé pour y accéder à tout moment, n'importe où !
S'inscrire avec un e-mail S'inscrire avec AppleEn t'inscrivant, tu acceptes les Conditions générales et la Politique de confidentialité de StudySmarter.
As-tu déjà un compte ? Se connecter