Tu sais peut-être manipuler des fonctions usuelles, mais que faire pour des fonctions plus complexes ? Souvent, lorsque nous avons affaire à une fonction plus compliquée, il s'agit d'une fonction composée, aussi appelée composition de fonctions. Dans ce résumé de cours, nous définirons d'abord ce qu'est une composition de fonctions. Par la suite, nous discuterons son domaine de définition. Nous considérons ensuite la dérivabilité d'une fonction composée et comment déterminer sa dérivée. Pour terminer, nous nous pencherons sur les limites de fonctions composées.
Qu'est-ce qu'une composition de fonctions ?
Une fonction composée est la même chose qu'une composition de fonctions. Il s'agit de l'application consécutive de deux ou plusieurs fonctions.
Une composition des fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) est \(f \circ g(x) = f(g(x))\).
Considère les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x + 5\). Dans ce cas, \(f \circ g(x) = (2x +5)^2\) et \(g \circ f(x) = 2x^2+5\).
Cet exemple illustre que \(f \circ g(x) \neq g \circ f(x)\).
Pour pouvoir effectuer la composition de deux fonctions, nous devons vérifier que les domaines de définition des deux fonctions le permettent.
Le domaine de définition d'une fonction composée
Il est important de penser aux ensembles de départ et d'arrivée des fonctions que nous souhaitons composer. Cela nous permettrait de déterminer le domaine de définition de la fonction composée.
Considérons les fonctions \(f : B \to C\) et \(g : A \to B\). Le domaine de définition de la fonction composée \(f \circ g\) est le domaine de définition de \(g\), en l'occurrence l'ensemble \(A\). De plus, les valeurs de \(f \circ g\) sont dans l'ensemble d'arrivée de \(f\), en l'occurrence \(C\).
Considère les fonctions \(f(x) = \ln x \) et \(g(x) = x^2\). Le domaine de définition de la fonction composée \(\ln (x^2)\) est \(\mathbb{R}\), même si la fonction logarithme népérien n'est définie que pour des nombres réels.
Nous pouvons composer deux fonctions seulement si l'ensemble d'arrivée de la fonction « interne » est l'ensemble de départ de la fonction externe.
Outre son domaine de définition, une fonction composée hérite d'autres propriétés des fonctions dont elle est composée, notamment sa dérivabilité.
Dérivabilité d'une fonction composée
Nous pouvons affirmer la dérivabilité d'une fonction composée grâce à la dérivabilité des fonctions dont elle est composée. Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions dérivables, alors leur composition est dérivable. Plus précisément, si \(g\) est dérivable en un point \(x\) et \(f\) est dérivable en \(g(x)\), alors la fonction composée \(f \circ g\) est dérivable également.
Peux-tu expliquer pourquoi la fonction \(\sin(x^2 - 1)\) est dérivable ?
Comme \(\sin(x)\) et \(x^2 - 1\) sont des fonctions dérivables, leur composition est dérivable également.
Besoin d'un rappel sur les fonctions de référence ? N'hésite pas à consulter notre résumé de cours sur les fonctions usuelles.
Après avoir étudié la dérivabilité d'une fonction composée, il est naturel d'apprendre comment déterminer sa dérivée.
Fonctions composées : déterminer la dérivée
Considérons deux fonctions dérivables \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables. Pour déterminer la dérivée d'une fonction composée, nous nous servons de la formule suivante : \[ (f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x)) \] Autrement dit, il s'agit de multiplier la dérivée de la fonction « interne » \(g\) par la dérivée de la fonction « externe » \(f\).
Es-tu capable de déterminer la dérivée de \(\ln({3x^2 + 5})\) ?
Ici, la fonction interne est \(g(x) = 3x^2 + 5\) et la fonction externe est la fonction logarithme népérien \(f(x) = \ln(x)\)
Nous avons alors \(g'(x) = 6x\).
De plus, comme \(f'(x) = \frac{1}{x}\), nous avons \(f'(g(x)) = \frac{1}{3x^2 + 5}\).
Ainsi, la dérivée de \(\ln({2x^2 + 5})\) est \( \frac{6x}{2x^2 + 5}\).
Considérons une fonction composée \(f \circ g(x)\), ainsi que \(a, b \in \mathbb{R} \cup \{- \infty, +\infty\}\). Si \(\lim_{x \to a} g(x) = b\), alors \(\lim_{x \to a} f \circ g(x) = \lim_{x \to b} f(x)\).
Voyons comment mettre en œuvre cette propriété pour déterminer la limite d'une fonction composée.
Peux-tu déterminer la limite de la fonction \(e^{1 - x^2}\) lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) ?
Il s'agit de déterminer une limite de la fonction composée \(f \circ g(x)\), où \(f(x) = e^x\) et \(g(x) = 1 - x^2\).
Comme \(\lim_{x \to - \infty} 1 - x^2= - \infty \),
\(\lim_{x \to -\infty} e^{1 - x^2} = \lim_{x \to -\infty} e^x\)\(\lim_{x \to -\infty} e^{1 - x^2} = 0\)
Fonctions composées - Points clés
- Une fonction composée, ou composition de fonctions, est une fonction qui est elle-même l'application consécutive de deux autres fonctions.
- Si nous disposons des fonctions \(f : B \to C\) et \(g : A \to B\), alors le domaine de définition de la fonction composée \(f \circ g\) est \(A\) et son ensemble d'arrivée est \(C\).
- La composition de deux fonctions dérivables est également une fonction dérivable.
- La dérivée d'une fonction composée, \(f \circ g\), se calcule en utilisant la formule \((f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))\).
- Quant aux limites d'une fonction composée, si \(\lim_{x \to a} g(x) = b\), nous avons que \(\lim_{x \to a} f \circ g(x) = \lim_{x \to b} f(x)\).
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