Inéquations

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Dans ce cours sur les inéquations, nous commençons par donner une définition des inéquations, ensuite, nous abordons deux types d'inéquations : les inéquations du premier degré et les inéquations du second degré. Nous montrons aussi comment obtenir des solutions aux inéquations avec des exemples.

Inéquation : Définition

Contrairement à une équation qui dit que deux quantités sont égales, une inéquation est une phrase mathématique qui indique qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre.

$x + 1 > 3$ $x + 1 > 3$

Dans cette inéquation, le membre de gauche, x+1, est plus grand que le membre de droite, 3.

La flèche qui est le symbole d'inégalité pointe vers le plus petit nombre dans l'inégalité.

Le tableau ci-dessous résume les différents symboles d'inégalités.

Symbole	Signification et sens
>	supérieur à (sens strict)
<	inférieur à (sens strict)
$\geq$	supérieur ou égal à (sens large)
$\leq$	inférieur ou égal à (sens large)

Inéquations du premier degré

Les inéquations du premier degré sont des inéquations où le plus grand exposant d'une variable est 1. Voici un exemple d'une inéquation du premier degré.

$x + 2 < 7$

Trouver des solutions d'une inéquation du premier degré est très similaire à trouver les solutions d'une équation du premier degré.

Inéquations du second degré

Les inéquations du second degré sont des inéquations où le plus grand exposant d'une variable est 2. Voici un exemple d'une inéquation du second degré.

$x^{2} + x - 20 < 0$

Trouver des solutions d'une inéquation du second degré requiert les mêmes techniques pour résoudre un équation du second degré.

Résoudre des inéquations

Avant d'aborder la méthode pour résoudre des inéquations, il faut savoir les différentes propriétés des inéquations. La plupart de ces propriétés, qui sont nécessaires pour résoudre des inéquations, sont similaires aux propriétés des équations. Ici, a, b et c sont des nombres réels.

Propriété	Définition	Exemple
Addition	Si $a > b$ , alors $a + c > b + c$	$5 > 2$ , alors $5 + 1 > 2 + 1$
Soustraction	Si $a > b$ , alors $a - c > b - c$	$6 > 3$ , alors $6 - 2 > 3 - 2$
Multiplication	Si $a > b$ et $c > 0$ , alors $a \times c > b \times c$ Si $a > b$ et $c < 0$ , alors $a \times c < b \times c$	$4 > 2$ , et $3 > 0$ , alors $4 \times 3 > 2 \times 3, 12 > 6$ $4 > 2$ , et $- 1 < 0$ , alors $4 (- 1) < 2 (- 1), - 4 < - 2$
Division	Si $a > b$ et $c > 0$ , alors $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ Si $a > b$ et $c < 0$ , alors $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$	$6 > 2$ , et $2 > 0$ , alors $\frac{6}{2} > \frac{2}{2}$ , $3 > 1$ $4 > 2$ , et $- 1 < 0$ , alors $\frac{4}{- 1} < \frac{2}{- 1}$ , $- 4 < - 2$
Transitivité	Si $a > b$ et $b > c$ , alors $a > c$	$5 > 2$ et $2 > 1$ , alors $5 > 1$
Comparaison	Si $a = b + c$ et $c > 0$ , alors $a > b$	$5 = 2 + 3$ et $3 > 0$ , alors $5 > 2$

Résoudre une inéquation du premier degré

Les solutions d'une inéquation sont l'ensemble de tous les nombres réels qui rendent l'inégalité vraie. Par conséquent, toute valeur de x qui satisfait l'inéquation est une solution. Pour résoudre une inéquation du premier degré, il faut manipuler l'inéquation pour trouver une solution de la même manière qu'une équation, en gardant à l'esprit les consignes supplémentaires suivantes :

Si l'inéquation est multipliée ou divisée par un nombre négatif, il faut changer le sens du symbole de l'inégalité. La meilleure façon de comprendre pourquoi il faut faire cela est de regarder un exemple.

Il est clair que 4 > 2, mais si nous multiplions cette inégalité par -1,

alors nous obtenons -4 > -2 qui n'est pas vrai.

Pour préserver l'inégalité, il faut changer le sens du symbole d'inégalité :

-4 <-2 ✔ (alors, là c'est bien vrai)

C'est le cas car, pour les nombres négatifs, plus le nombre est proche de 0, plus grand il est.

Nous pouvons voir ça sur un axe gradué.

Inéquations Axe gradué StudySmarter Fig. 1 - Illustration sur un axe gradué

Si l'inéquation contient une fraction où x est au dénominateur (par exemple $\frac{4}{x} > 5$ ), il ne faut pas oublier que x peut être un nombre positif ou négatif. Par conséquent, il ne faut pas multiplier les deux côtés de l'inégalité par x. Nous devrions plutôt multiplier par x²pour que l'inégalité reste vraie.
Les symboles > (supérieur à) et < (inférieur à) font partie des inégalités dites strictes, et excluent la valeur spécifique de l'ensemble des solutions. Les symboles (supérieur ou égal) et (inférieur ou égal) incluent la valeur spécifique dans la solution au lieu de l'exclure.

La solution d'une inégalité peut être représentée sur la droite numérique, en utilisant un cercle vide pour indiquer que la valeur de x ne fait pas partie de la solution (cf. fig 2 ou 3), et un cercle rempli (cf. fig. 1) si la valeur de x fait partie de la solution.

Résoudre une inéquation du second degré

Pour résoudre une inéquation du second degré, il faut suivre les étapes suivantes :

1. Réorganise les termes du membre de gauche de l'inéquation afin de n'avoir que zéro dans le membre de droite.

Il serait peut-être nécessaire de développer les parenthèses et simplifier avant de résoudre une inéquation du second degré.

2. Pour résoudre une inéquation du second degré, il faut trouver les racines de la forme quadratique dans le membre de gauche. Pour ce faire, nous pouvons factoriser, mettre le membre de gauche sous forme canonique ou utiliser la formule quadratique.

3. Il faut ensuite dresser un tableau de signes, qui nous indiquera le signe (positif ou négatif) du membre de gauche.

4. Utilise le tableau de signes pour trouver l'ensemble des solutions de l'inéquation.

Inéquations : Exemples

Savoir la méthode pour résoudre une inéquation est une chose, mais savoir l'appliquer est plus important. Voici des exemples d'inéquations du premier degré et de second degré et leurs résolutions.

Exemples de résolution d'une inéquation du premier degré

1) x - 5 > 8

x > 8 + 5

x > 13

Comme avec une équation, nous avons manipulé l'inéquation afin de n'avoir que x dans le membre de gauche. Nous pouvons ensuite écrire l'ensemble de solutions sous forme d'intervalle : $ ]13 ; +\infty[ $.

2) 2x + 2 < 16

2x < 16 -2

2x < 14

$x < \frac{14}{2}$

x < 7

Nous pouvons aussi écrire l'ensemble de solutions sous forme d'intervalle : $ ]-\infty, 7[ $.

3) 5 - x < 19

- x < 19

- 5 - x < 14

x > -14

Observe comment nous avons changé le sens du signe de l'inégalité quand nous avons divisé par -1.

Exemple de résolution d'une inéquation du second degré

Déterminer l'ensemble des solutions pour $x^{2} + x > 6$

1. Nous commençons par réorganiser les termes du membre de gauche de l'inéquation afin de n'avoir que 0 dans le membre de droite.

$x^{2} + x > 6$

$x^{2} + x - 6 > 0$

2. Nous factorisons le membre de gauche.

x² + x - 6 = (x - 2) (x + 3)

Les racines sont donc x = 2 et x = -3.

3. Nous pouvons dresser un tableau de signes pour savoir quand le membre de gauche est positif ou négatif.

	x < -3	-3 < x < 2	x > 2
(x - 2)	-	-	+
(x + 3)	-	+	+
(x - 2) (x + 3)	+	-	+

Si x < -3, alors (x - 2) et (x + 3) sont négatifs, donc le produit (x - 2) (x + 3) est positif. Le raisonnement est similaire pour les autres colonnes.

4. La dernière ligne du tableau de signes nous indique l'ensemble de solutions de l'inéquation.

En lisant le tableau, nous voyons que le membre de gauche est positif quand x < -3 ou x > 2. L'ensemble de solutions de l'inéquation est $ ]-\infty ; -3 [ \cup ]2 ; +\infty[ $.

Représentation graphique des inéquations

Nous pouvons nous appuyer sur la représentation graphique des inéquations afin d'aider dans la résolution d'une inéquation ou simplement de visualiser autrement l'ensemble des solutions. Il est également important d'utiliser la représentation graphique des inéquations pour savoir la position relative de deux fonctions. Dans ce cas :

Si la représentation graphique (ou courbe représentative) de f(x) est en-dessous de la représentation graphique de g(x), alors les fonctions vérifient l'inégalité f (x) < g (x).
Si la représentation graphique de f(x) est au-dessus de la représentation graphique de g(x), alors les fonctions vérifient l'inégalité f (x) > g (x).

Voyons quelques exemples de la représentation graphique des inéquations.

x < 5 et x > 4

Pour trouver l'ensemble des solutions qui vérifient ces deux inégalités, nous pouvons nous servir d'un axe gradué pour voir les solutions plus clairement.

Inéquations Représentation graphique deux inéquations StudySmarter Fig. 2 - Représentation graphique de deux inéquations de premier degré

Ici, nous marquons un rond vide car 4 et 5 sont exclus de leurs inégalités respectives. Il est facile de voir que les nombres entre 4 et 5, non compris, constituent l'ensemble des solutions : ]4 ; 5[

x > 5 ou x < 4

Ici c'est similaire à ce qu'on a fait précédemment, mais observe que le sens des inégalités a changé. De plus, une solution à ces inégalités n'a pas besoin de satisfaire les deux à la fois : c'est une ou l'autre.

Inéquations Représentation graphique deux inéquations StudySmarter Fig. 3 - Représentation graphique de deux inéquations de premier degré

On peut voir de la représentation graphique des inéquations que l'ensemble de solutions est $ ]-\infty ; 4 [ \cup ]5 ; +\infty[ $.

Voici la représentation graphique des inéquations, $ y \leq 5 - x $ et $ y \geq x^2 - x - 6 $, qui servent à déterminer la position relative des courbes représentatives de deux fonctions. Comme dans la première inéquation, il s'agit d'une inégalité stricte, son graphique est représenté en pointillée. La seconde inéquation est une inégalité large, nous utilisons donc une ligne solide.

La région bleue c'est où les deux inégalités sont vérifiées en même temps.

Inéquations Représentation graphique deux inéquations StudySmarter Fig. 4 - Représentation graphique d'un système de deux inéquations

Dans la section précédente, nous avons trouvé l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^{2} + x > 6$ , à savoir $ ]-\infty ; -3 [ \cup ]2 ; +\infty[ $. Avec la représentation graphique de la fonction f(x) = x²+ x - 6, nous pouvons voir (en vert) pour quels intervalles cette inégalité est vérifiée.

Inéquations Représentation graphique inéquation second degré StudySmarter Fig. 5 - Résolution graphique d'une inéquation du second degré

Inéquations - Points clés

Une inéquation est une phrase mathématique qui indique qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre.
Nous pouvons manipuler les inéquations de la même façon que les équations, à part quelques règles supplémentaires.
Après multiplication ou division par un nombre négatif, il faut changer le sens du signe de l'inégalité pour que l'inégalité reste vraie.
Nous pouvons utiliser la représentation graphique des inéquations afin de faciliter leur résolution ou pour visualiser autrement l'ensemble des solutions.

Questions fréquemment posées en Inéquations

Dans une équation, une quantité est égale à une autre. Par contre, dans une inéquation, une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre.

Pour résoudre une inéquation du second degré avec une fraction, il faut commencer par multiplier les deux côtés par le dénominateur de la fraction. Ensuite, il faut suivre les étapes pour résoudre une inéquation normale.

Il faut inverser le signe dans une inéquation quand on divise ou multiplie par un nombre négatif.

Pour résoudre une inéquation à deux inconnues, il faut une inéquation (ou une équation) impliquant les mêmes inconnues.

Pour résoudre une inéquation trigonométrique, il faut utiliser la fonction trigonométrique inverse correspondante, par exemple arctan. Ensuite, nous pouvons la résoudre comme une inéquation habituelle.

Évaluation finale de Inéquations

Inéquations Quiz - Teste dein Wissen

Question

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

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Réponse

Une inéquation est une phrase mathématique qui indique qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre.

Montrer la question

Question

Quels sont les quatres symboles utilisés pour des inéquations ?

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Réponse

strictement inférieur à (<), inférieur à ( $\leq$ ), strictement supérieur à (>), et supérieur à ( $\geq$ )

Montrer la question

Question

Laquelle des phrases mathématiques suivantes est une inéquation ?

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Réponse

2x + 3

Montrer la question

Question

Si a > b, alors a + c > b + c.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Quand faut-il inverser le signe en manipulant une inéquation ?

Montrer la réponse

Réponse

Quand on divise ou multiplie par un nombre négatif

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Question

Si a > b et b > c, alors a > c. Il s'agit de la propriété de :

Montrer la réponse

Réponse

transitivité

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Question

Résous l'inéquation 2x - 2 < 10.

Montrer la réponse

Réponse

2x < 10 + 2

2x < 12

x < 6

Montrer la question

Question

Résous l'inéquation 3(x - 1) < 6

Montrer la réponse

Réponse

3(x - 1) < 6

3x - 3 < 6

3x < 9

x < 3

Montrer la question

Question

Si x < 3, peut-on affirmer que x² < 3x ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, en effet, x peut être positif ou négatif. Donc, on ne sait pas pour sûr si on doit inverser le signe ou non.

Montrer la question

Question

Trouve les valeurs de x pour lesquelles la courbe y = 3x² - 2x - 1 est en-dessous de la droite y = x + 5

Montrer la réponse

Réponse

La courbe est en-dessous de la droite si 3x² - 2x - 1 < x + 5. Dans ce cas, 3x² - 3x - 6 < 0, que l'on peut simplifier à x² - x -2 < 0. On peut factoriser x² - x -2 = (x - 2)(x + 1) et établir un tableau de signes.

Pour que (x - 2)(x + 1) soit négatif x doit être entre -1 et 2. Donc, les valeurs de x pour lesquelles la courbe est en-dessous de la droite sont -1 < x < 2.

Montrer la question

Question

Pour la représentation graphique d'une inégalité stricte, il faut faire quoi pour indiquer que la droite ou la courbe n'est pas comprise ?

Montrer la réponse

Réponse

Il faut dessiner la courbe ou la droite en pointillé.

Montrer la question

Question

Pour la représentation graphique d'une inégalité large, il faut faire quoi pour indiquer que la droite ou la courbe est incluse ?

Montrer la réponse

Réponse

Il faut dessiner la courbe ou la droite avec une ligne continue.

Montrer la question

Question

Résous l'inéquation 1 - 3x > 10

Montrer la réponse

Réponse

1 - 3x > 10

-3x > 9

x < -3

Montrer la question

Question

Résous l'inéquation x²- x > -6

Montrer la réponse

Réponse

x²- x > -6

x²- x + 6 > 0

(x-3)(x+2) > 0

Il faut ensuite établir un tableau de signes pour voir quand le membre de gauche est positif. Il sera positif quand les deux facteurs x + 2 et x - 3 sont tous les deux négatifs ou positifs, c'est-à-dire quand x > 3 ou x < -2

Montrer la question

Question

Sélectionne les inégalités larges.

Montrer la réponse

Réponse

$x > 2$

Montrer la question

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