Dans ce cours sur les inéquations, nous commençons par donner une définition des inéquations, ensuite, nous abordons deux types d'inéquations : les inéquations du premier degré et les inéquations du second degré. Nous montrons aussi comment obtenir des solutions aux inéquations avec des exemples.
Inéquation : Définition
Contrairement à une équation qui dit que deux quantités sont égales, une inéquation est une phrase mathématique qui indique qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre.
Dans cette inéquation, le membre de gauche, x+1, est plus grand que le membre de droite, 3.
La flèche qui est le symbole d'inégalité pointe vers le plus petit nombre dans l'inégalité.
Le tableau ci-dessous résume les différents symboles d'inégalités.
Symbole | Signification et sens |
> | supérieur à (sens strict) |
< | inférieur à (sens strict) |
| supérieur ou égal à (sens large) |
| inférieur ou égal à (sens large) |
Inéquations du premier degré
Les inéquations du premier degré sont des inéquations où le plus grand exposant d'une variable est 1. Voici un exemple d'une inéquation du premier degré.
Trouver des solutions d'une inéquation du premier degré est très similaire à trouver les solutions d'une équation du premier degré.
Inéquations du second degré
Les inéquations du second degré sont des inéquations où le plus grand exposant d'une variable est 2. Voici un exemple d'une inéquation du second degré.
Trouver des solutions d'une inéquation du second degré requiert les mêmes techniques pour résoudre un équation du second degré.
Résoudre des inéquations
Avant d'aborder la méthode pour résoudre des inéquations, il faut savoir les différentes propriétés des inéquations. La plupart de ces propriétés, qui sont nécessaires pour résoudre des inéquations, sont similaires aux propriétés des équations. Ici, a, b et c sont des nombres réels.
Propriété | Définition | Exemple |
Addition | Si , alors | , alors |
Soustraction | Si , alors | , alors |
Multiplication | Si et , alors Si et , alors | , et , alors , et , alors |
Division | Si et , alors Si et , alors | , et , alors , , et , alors , |
Transitivité | Si et , alors | et , alors |
Comparaison | Si et , alors | et , alors |
Résoudre une inéquation du premier degré
Les solutions d'une inéquation sont l'ensemble de tous les nombres réels qui rendent l'inégalité vraie. Par conséquent, toute valeur de x qui satisfait l'inéquation est une solution. Pour résoudre une inéquation du premier degré, il faut manipuler l'inéquation pour trouver une solution de la même manière qu'une équation, en gardant à l'esprit les consignes supplémentaires suivantes :
Il est clair que 4 > 2, mais si nous multiplions cette inégalité par -1,
alors nous obtenons -4 > -2 qui n'est pas vrai.
Pour préserver l'inégalité, il faut changer le sens du symbole d'inégalité :
-4 <-2 ✔ (alors, là c'est bien vrai)
C'est le cas car, pour les nombres négatifs, plus le nombre est proche de 0, plus grand il est.
Nous pouvons voir ça sur un axe gradué.
Fig. 1 - Illustration sur un axe gradué
Si l'inéquation contient une fraction où x est au dénominateur (par exemple ), il ne faut pas oublier que x peut être un nombre positif ou négatif. Par conséquent, il ne faut pas multiplier les deux côtés de l'inégalité par x. Nous devrions plutôt multiplier par x2 pour que l'inégalité reste vraie.
Les symboles > (supérieur à) et < (inférieur à) font partie des inégalités dites strictes, et excluent la valeur spécifique de l'ensemble des solutions. Les symboles (supérieur ou égal) et (inférieur ou égal) incluent la valeur spécifique dans la solution au lieu de l'exclure.
La solution d'une inégalité peut être représentée sur la droite numérique, en utilisant un cercle vide pour indiquer que la valeur de x ne fait pas partie de la solution (cf. fig 2 ou 3), et un cercle rempli (cf. fig. 1) si la valeur de x fait partie de la solution.
Résoudre une inéquation du second degré
Pour résoudre une inéquation du second degré, il faut suivre les étapes suivantes :
1. Réorganise les termes du membre de gauche de l'inéquation afin de n'avoir que zéro dans le membre de droite.
Il serait peut-être nécessaire de développer les parenthèses et simplifier avant de résoudre une inéquation du second degré.
2. Pour résoudre une inéquation du second degré, il faut trouver les racines de la forme quadratique dans le membre de gauche. Pour ce faire, nous pouvons factoriser, mettre le membre de gauche sous forme canonique ou utiliser la formule quadratique.
3. Il faut ensuite dresser un tableau de signes, qui nous indiquera le signe (positif ou négatif) du membre de gauche.
4. Utilise le tableau de signes pour trouver l'ensemble des solutions de l'inéquation.
Inéquations : Exemples
Savoir la méthode pour résoudre une inéquation est une chose, mais savoir l'appliquer est plus important. Voici des exemples d'inéquations du premier degré et de second degré et leurs résolutions.
Exemples de résolution d'une inéquation du premier degré
1) x - 5 > 8
x > 8 + 5
x > 13
Comme avec une équation, nous avons manipulé l'inéquation afin de n'avoir que x dans le membre de gauche. Nous pouvons ensuite écrire l'ensemble de solutions sous forme d'intervalle : \( ]13 ; +\infty[ \).
2) 2x + 2 < 16
2x < 16 -2
2x < 14
x < 7
Nous pouvons aussi écrire l'ensemble de solutions sous forme d'intervalle : \( ]-\infty, 7[ \).
3) 5 - x < 19
- x < 19
- 5 - x < 14
x > -14
Observe comment nous avons changé le sens du signe de l'inégalité quand nous avons divisé par -1.
Exemple de résolution d'une inéquation du second degré
Déterminer l'ensemble des solutions pour
1. Nous commençons par réorganiser les termes du membre de gauche de l'inéquation afin de n'avoir que 0 dans le membre de droite.
2. Nous factorisons le membre de gauche.
x2 + x - 6 = (x - 2) (x + 3)
Les racines sont donc x = 2 et x = -3.
3. Nous pouvons dresser un tableau de signes pour savoir quand le membre de gauche est positif ou négatif.
| x < -3 | -3 < x < 2 | x > 2 |
(x - 2) | - | - | + |
(x + 3) | - | + | + |
(x - 2) (x + 3) | + | - | + |
Si x < -3, alors (x - 2) et (x + 3) sont négatifs, donc le produit (x - 2) (x + 3) est positif. Le raisonnement est similaire pour les autres colonnes.
4. La dernière ligne du tableau de signes nous indique l'ensemble de solutions de l'inéquation.
En lisant le tableau, nous voyons que le membre de gauche est positif quand x < -3 ou x > 2. L'ensemble de solutions de l'inéquation est \( ]-\infty ; -3 [ \cup ]2 ; +\infty[ \).
Représentation graphique des inéquations
Nous pouvons nous appuyer sur la représentation graphique des inéquations afin d'aider dans la résolution d'une inéquation ou simplement de visualiser autrement l'ensemble des solutions. Il est également important d'utiliser la représentation graphique des inéquations pour savoir la position relative de deux fonctions. Dans ce cas :
Si la représentation graphique (ou courbe représentative) de f(x) est en-dessous de la représentation graphique de g(x), alors les fonctions vérifient l'inégalité f (x) < g (x).
Si la représentation graphique de f(x) est au-dessus de la représentation graphique de g(x), alors les fonctions vérifient l'inégalité f (x) > g (x).
Voyons quelques exemples de la représentation graphique des inéquations.
Pour trouver l'ensemble des solutions qui vérifient ces deux inégalités, nous pouvons nous servir d'un axe gradué pour voir les solutions plus clairement.
Fig. 2 - Représentation graphique de deux inéquations de premier degré
Ici, nous marquons un rond vide car 4 et 5 sont exclus de leurs inégalités respectives. Il est facile de voir que les nombres entre 4 et 5, non compris, constituent l'ensemble des solutions : ]4 ; 5[
Ici c'est similaire à ce qu'on a fait précédemment, mais observe que le sens des inégalités a changé. De plus, une solution à ces inégalités n'a pas besoin de satisfaire les deux à la fois : c'est une ou l'autre.
Fig. 3 - Représentation graphique de deux inéquations de premier degré
On peut voir de la représentation graphique des inéquations que l'ensemble de solutions est \( ]-\infty ; 4 [ \cup ]5 ; +\infty[ \).
Voici la représentation graphique des inéquations, \( y \leq 5 - x \) et \( y \geq x^2 - x - 6 \), qui servent à déterminer la position relative des courbes représentatives de deux fonctions. Comme dans la première inéquation, il s'agit d'une inégalité stricte, son graphique est représenté en pointillée. La seconde inéquation est une inégalité large, nous utilisons donc une ligne solide.
La région bleue c'est où les deux inégalités sont vérifiées en même temps.
Fig. 4 - Représentation graphique d'un système de deux inéquations
Dans la section précédente, nous avons trouvé l'ensemble des solutions de l'inéquation , à savoir \( ]-\infty ; -3 [ \cup ]2 ; +\infty[ \). Avec la représentation graphique de la fonction f(x) = x2 + x - 6, nous pouvons voir (en vert) pour quels intervalles cette inégalité est vérifiée.
Fig. 5 - Résolution graphique d'une inéquation du second degré
Inéquations - Points clés
- Une inéquation est une phrase mathématique qui indique qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre.
- Nous pouvons manipuler les inéquations de la même façon que les équations, à part quelques règles supplémentaires.
- Après multiplication ou division par un nombre négatif, il faut changer le sens du signe de l'inégalité pour que l'inégalité reste vraie.
- Nous pouvons utiliser la représentation graphique des inéquations afin de faciliter leur résolution ou pour visualiser autrement l'ensemble des solutions.
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