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Fonctions usuelles

Les fonctions usuelles sont au cœur de l'analyse mathématique. Une fonction usuelle ou fonction de référence est une fonction simple que nous pouvons utiliser pour étudier des fonctions mathématiques plus compliquées. Dans ce résumé de cours, nous allons présenter synthétiquement les dérivées usuelles et les primitives usuelles qui sont importantes comme base de calculs dans la dérivation et l'intégration. De plus, nous donnerons des informations sur les fonctions injectives, les fonctions surjectives et les bijections. Pour terminer, tu pourras visualiser ces différents concepts lorsque nous aborderons la représentation graphique de fonctions.

Dérivées usuelles

Connaître les dérivées des fonctions usuelles nous permet de déterminer les dérivées de fonctions plus compliquées. Pour cela, nous devrons nous servir des différentes règles de dérivation afin de manipuler ces dérivées usuelles.

\(f(x)\)
\(f'(x)\)
\(x^n\), \(n \in \mathbb{R}\)
\(nx^{n-1}\)
\(|x|\)
\(-1, \text{si } x<0\) \(1, \text{si } x>0\)
\(e^x\)
\(e^x\)
\(\ln(x)\)
\(\frac{1}{x}\)
\(\sin(x)\)
\(\cos(x)\)
\(\cos(x)\)
\(-\sin(x)\)

Ce tableau de dérivées usuelles nécessite quelques commentaires.

Tout d'abord, nous considérons souvent la fonction carré, la fonction racine carrée et la fonction inverse comme des fonctions usuelles. Les dérivées de ces trois fonctions peuvent être calculées à l'aide de la formule qui se trouve dans la première ligne, en considérant les cas \(n = 2\), \(n = \frac{1}{2}\) et \(n = -1\) respectivement. De plus, la fonction valeur absolue, \(|x|\), n'est pas dérivable en \(0\). Pour cela, nous ne pouvons donner sa dérivée que pour \(x \in ]-\infty,0[ \cup ]0,\infty[\).

Grâce aux dérivées usuelles, nous pouvons en déduire les sens de variation des fonctions usuelles.

Sens de variation des fonctions usuelles

Souviens-toi : étudier le sens de variation d'une fonction revient à déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Il faut néanmoins garder à l'esprit qu’une fonction peut être croissante sur une partie d'un intervalle, mais décroissante sur une autre partie).

Une fonction \(f\) est croissante si pour \(x \geq y\), nous avons \(f(x) \geq f(y)\)

Similairement, une fonction \(f\) est décroissante si \(x \geq y\) implique \(f(x) \leq f(y)\).

Si la dérivée d'une fonction est positive, elle est croissante. En revanche, si elle est négative, la fonction est décroissante. Mais pourquoi connaître les sens de variation des fonctions usuelles ? Il est important pour résoudre des inéquations, ainsi que pour le calcul de limites — que ce soit celle d'une fonction en un point donné ou la limite d'une suite.

\(f(x)\)
Sens de variation
\(x^n\), \(n>0\) impair
croissante
\(x^n\), \(n>0\) pair
décroissante, si \(x \leq 0\)croissante, si \(x \geq 0\)
\(\frac{1}{x}\)
décroissante
\(e^x\)
croissante
\(\ln(x)\)
croissante

Les fonctions trigonométriques sont périodiques, c'est-à-dire que leurs valeurs se répètent.

Une fonction \(f\) est périodique (ou T-périodique) s'il existe un nombre réel \(T\) tel que \(f(x+T)= f(x)\), pour tout \(x\) dans l'ensemble de définition de \(f\).

Il suffit donc d'étudier leurs variations sur une période.

\(f(x)\)
Sens de variation
\( \cos(x)\)
décroissante, si \(x \in [0, \pi]\)croissante, si \(x \in [\pi, 2 \pi]\)
\( \sin(x)\)
croissante, si \(x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)décroissante, si \(x \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)
\( \tan(x)\)
croissante, si \(x \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\)

Nous rappelons que la fonction tangente n'est pas définie pour \(\frac{k \pi}{2}\), où \(k\) est un nombre entier.

Déterminer la dérivée d'une fonction est souvent plus facile que déterminer sa primitive. Il est donc important de connaître certaines primitives usuelles.

Primitives usuelles

Les primitives de fonctions usuelles nous permettent d'effectuer l'intégration de fonctions plus compliquées. En revanche, les primitives usuelles ne sont pas des dérivées usuelles « à l'inverse ». En effet, nous devons intégrer certaines fonctions plus souvent que nous avons besoin de les dériver, et inversément.

\(f(x)\)
Primitive
\(x^n\), \(n \neq -1\)
\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(\frac{1}{x}\)
\( \ln|x|\)
\(e^x\)
\(e^x\)
\(\ln(x)\)
\(x\ln(x) - x\)
\(\cos(x)\)
\(\sin(x)\)
\(\sin(x)\)
\(-\cos(x)\)
\(\frac{1}{1 + x^2}\)
\(\arctan(x)\)
\(a^x\), \(a > 0, a \neq 1\)
\(\frac{a^x}{\ln(a)}\)

À part savoir calculer les primitives et les dérivées des fonctions usuelles, nous devons également déterminer certaines de leurs caractéristiques. Notamment, il est important de déterminer si certaines fonctions sont des bijections, des injections ou des surjections.

Bijections

Injective, bijective et surjective — ces trois adjectifs qui qualifient les fonctions mathématiques (ou applications) sont fondamentaux dans l'analyse mathématique. À part le fait d'être des conditions importantes pour certains théorèmes, ces concepts nous permettent de déduire des propriétés clés des fonctions usuelles.

Une bijection (aussi appelée fonction bijective, application bijective ou encore correspondance biunivoque) est une fonction qui est à la fois injective et surjective.

Fonction injective

Une fonction injective (ou injection) est une fonction pour laquelle chaque élément dans son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent dans son ensemble de départ. Plus rigoureusement, \(f: X \to Y\) est injective si pour tout \(x \in X\) et pour tout \(y \in Y\), nous avons \(f(x) = f(y)\) implique \(x = y\).

Les ensembles de départ et d'arrivée jouent un rôle clé dans cette définition.

La fonction \(f(x)\) définie par \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) et \(f(x) = x^2\) n'est pas injective. En effet, comme \(f(-1) = f(1)\) et \(-1 \neq 1\), l'implication nécessaire dans la définition n'est pas réalisée.

En revanche, \(f(x)\) définie par \(f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) et \(f(x) = x^2\) est bien une fonction injective.

Fonction surjective

Une fonction surjective (ou surjection) est une fonction pour laquelle chaque élément dans son ensemble d'arrivée a au moins un antécédent dans son ensemble de départ. Plus rigoureusement, \(f: X \to Y\) est surjective si pour tout \(y \in Y\), il existe \(x \in X\) tel que \(f(x) = y\).

Comme pour les fonctions injectives, nous devons examiner les ensembles de départ et d'arrivée pour déterminer si une fonction est surjective ou pas.

La fonction \(g(x)\) définie par \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) et \(g(x) = \sin(x)\) n'est pas surjective puisque \(2\) n'a pas d'antécédent par \(g(x)\). Autrement dit, il n'y a pas de nombre réel \(x\) tel que \(f(x) = 2\).

En revanche, \(g(x)\) définie par \(g: \mathbb{R} \to [-1,1]\) et \(g(x) = \sin(x)\) est une fonction surjective.

Une fonction surjective qui est également une fonction injective est une fonction bijective, ou bijection.

D'après un des exemples précédents, \(f(x)\) définie par \(f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) et \(f(x) = x^2\) est une fonction injective. Comme le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif, cette fonction n'est pas surjective. Or, si nous changeons l'ensemble d'arrivée à \( [0, +\infty[ \), \(f\) est une bijection.

De même, \(g(x)\) définie par \(g: \mathbb{R} \to [-1,1]\) et \(g(x) = \sin(x)\) est une fonction surjective, mais elle n'est pas une injection. En effet, comme il s'agit d'une fonction périodique, nous avons \(g(x) = g(x+2k\pi)\), pour \(k \in \mathbb{Z}\). Si l'ensemble de départ était donc \([0, 2 \pi[\), nous aurions une bijection.

Une bijection admet une fonction réciproque.

La fonction réciproque \(f^{-1}\) d'une fonction bijective \(f: X \to Y\) est l'unique fonction qui satisfait \(f^-1(f(x)) = x\) pour tout \(x \in X\) et \(f(f^{-1}(y))\) pour tout \(y \in Y\).

Autrement dit, la fonction réciproque fait l'inverse ou l'opposé de ce que fait la fonction de départ.

Si \(f: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[, f(x) = x^2\), la fonction réciproque est \(f^{-1}: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[ , f^{-1}(x) = \sqrt{x}\).

La fonction réciproque de \(g: [0, 2 \pi[ \to [-1,1], g(x) = \sin(x)\) est \(g^{-1}: [-1,1] \to [0, 2 \pi[ , f^{-1}(x) = \arcsin(x)\).

Il y a une relation visuelle intéressante entre une bijection et sa réciproque. Explorons donc les représentations graphiques de fonctions.

Représentation graphique d'une fonction

La représentation graphique d'une fonction, ou sa courbe représentative, est une véritable vue d'ensemble. En effet, il s'agit d'un résumé des caractéristiques d'une fonction. D'après la représentation graphique d'une fonction, nous pouvons voir son sens de variation, si elle est paire ou impaire et si elle est périodique. Voyons maintenant quelques courbes représentatives de fonctions usuelles.

Fonctions usuelles Représentation graphique polynôme pair StudySmarterFig. 1 - Les représentations graphiques de polynômes pairs

Remarque d'abord que si la puissance d'un polynôme est paire, alors il s'agit d'une fonction paire, c'est-à-dire, une fonction telle que \(f(-x) = f(x)\). Cette caractéristique se révèle via la symétrie de ces graphiques par rapport à l'axe des ordonnées. De plus, lorsque la puissance d'un polynôme pair augmente, sa courbe représentative devient plus « étroite ». Par ailleurs, la courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole.

Fonctions usuelles Représentation graphique polynôme impair StudySmarterFig. 2 - Les représentations graphiques de polynômes impairs

Similairement, si la puissance d'un polynôme est impaire, alors il s'agit d'une fonction impaire, c'est-à-dire, une fonction telle que \(f(-x) = -f(x)\). De même, lorsque la puissance d'un polynôme impaire augmente, sa courbe représentative devient plus étroite.

Fonctions usuelles Représentation graphique fonctions trigonométriques StudySmarterFig. 3 - Les représentations graphiques de fonctions trigonométriques

Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, nous pouvons voir des motifs qui se répètent. De plus, les courbes représentatives du cosinus et du sinus sont les translatés, l'un de l'autre.

Fonctions usuelles Représentation graphique ln exp StudySmarterFig. 4 - Les représentations graphiques des fonctions logarithme et exponentielle

La représentation graphique de la réciproque d'une fonction est sa réflexion dans la droite \(y = x\). Dans l'image ci-dessus, la courbe de la fonction logarithme népérien est la réflexion de la courbe de la fonction exponentielle — et inversément.

Représentation graphique d'une fonction affine

Comme les fonctions affines sont représentatives de plusieurs situations du monde réel, il est important de connaître les détails de sa courbe représentative. La représentation graphique d'une fonction affine est en fait une droite. Il y a deux paramètres que nous utilisons pour caractériser une telle droite : l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur. Si le coefficient directeur est positif, alors la droite monte, en lisant le graphique de gauche à droite. En revanche, s'il est négatif, alors la droite descend.

Fonctions usuelles Représentation graphique fonction affine StudySmarterFig. 5 - Les représentations graphiques de deux fonctions affines

Représentation graphique d'une fonction linéaire

La représentation graphique d'une fonction linéaire est très similaire à celle d'une fonction affine. La différence est que la droite d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine. Nous pouvons donc dire qu'une fonction linéaire est un cas spécifique de fonction affine.

Fonctions usuelles Représentation graphique fonction linéaire StudySmarterFig. 6 - Les représentations graphiques de deux fonctions linéaires

Fonctions usuelles - Points clés

  • Les propriétés des fonctions usuelles, ou fonctions de référence, facilitent l'étude de fonctions plus génériques.
  • Connaître les dérivées et les primitives usuelles nous permet de dériver ou d'intégrer des fonctions plus compliquées.
  • Une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est une bijection.
  • Les représentations graphiques des fonctions usuelles encodent quelques-unes de leurs propriétés importantes, telles que la parité, la périodicité et le sens de variation.

Questions fréquemment posées en Fonctions usuelles

Les fonctions usuelles incluent les fonctions affines, la fonction carré, la fonction racine carrée et la fonction inverse. Il n'y a pas de liste exhaustive.

La fonction identité est la fonction qui associe un élément à lui-même. Pour des nombres, nous pouvons la noter f(x) =x. Sinon, il y a d'autres notations possibles, telle que Id. 

Il y a plusieurs manières de classer des fonctions. Nous pouvons distinguer les polynômes, les fonctions logarithmiques, les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques. Nous pouvons également considérer les fonctions en termes de régularité, c'est-à-dire, dérivabilité et continuité.

S'il s'agit de la limite en un point où la fonction est continue, la limite est simplement la valeur de la fonction. Sinon, nous devons manipuler des limites des fonctions usuelles. 

La dérivée de sinus est cosinus. 

Évaluation finale de Fonctions usuelles

Question

Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse ?

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Réponse

L'ensemble de définition de la fonction inverse est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\). 

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Question

La fonction inverse est sa propre bijection réciproque. 

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Réponse

Vrai

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Question

Quelle est l'image de \( \frac{1}{5}\) par la fonction inverse ?

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Réponse

\(5\)

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Question

Quelle est la dérivée de la fonction inverse ?

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Réponse

\(\frac{-1}{x^2}\)

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Question

Quel est le sens de variation de la fonction inverse ?

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Réponse

Elle est décroissante sur son ensemble de définition.

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Question

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée ______.

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Réponse

 hyperbole de centre 0

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Question

Qu'est-ce qu'une asymptote ?

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Réponse

Une droite asymptote (ou simplement une asymptote) est une droite qui approche infiniment la courbe représentative d'une fonction, sans la toucher.

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Question

La courbe représentative de la fonction inverse possède une asymptote horizontale et une asymptote verticale.

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Réponse

Vrai

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Question

Il y a trois types d'asymptotes.

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Réponse

Vrai

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Question

Quel est l'antécédent de \(7\) par la fonction inverse ?

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Réponse

\( \frac{1}{7}\)

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Question

La dérivée de la fonction inverse est toujours négative.

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Réponse

Vrai

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Question

Quelle est l'équation de la droite asymptote verticale de la fonction inverse ?

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Réponse

\( x = 0\)

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Question

Quelle est l'équation de la droite asymptote horizontale de la fonction inverse ?

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Réponse

\(y = 0\)

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Question

La fonction inverse est une fonction de référence. 

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Réponse

Vrai 

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Question

Pourquoi étudions-nous les fonctions de référence ? 

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Réponse

Elles nous permettent de déduire des propriétés de fonctions plus complexes. 

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Question

Quel est le sens de variation de \(x^n\) pour  \(n>0\) ?

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Réponse

Si n est impair,  \(x^n\) est croissante.

Si n est pair, \(x^n\) est décroissante, si \(x \leq 0\) et croissante, si \(x \geq 0\).

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Question

Quelles fonctions usuelles sont périodiques ?

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Réponse

Les fonctions trigonométriques : sinus, cosinus et tangente.

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Question

Quelle est la dérivée de \(\ln(x)\) ?

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Réponse

\(\frac{1}{x}\)

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Question

Quelle fonction usuelle est sa propre dérivée ?

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Réponse

\(e^x\)

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Question

Quelle est la primitive de \(x^n\), \(n \neq -1\) ?

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Réponse

\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)

Montrer la question

Question

Quelle est la primitive de \(\sin(x)\) ?

Montrer la réponse

Réponse

\(-\cos(x)\)

Montrer la question

Question

Quelle est la primitive de \(\frac{1}{1 + x^2}\) ?

Montrer la réponse

Réponse

\(\arctan(x)\)

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'une bijection ?

Montrer la réponse

Réponse

Une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'une injection ?

Montrer la réponse

Réponse

Une injection est une fonction pour laquelle chaque élément dans son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent dans son ensemble de départ. Plus rigoureusement, \(f: X \to Y\) est injective si pour tout \(x \in X\) et pour tout \(y \in Y\), nous avons \(f(x) = f(y)\) implique \(x = y\). 

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'une surjection ?

Montrer la réponse

Réponse

Une surjection est une fonction pour laquelle chaque élément dans son ensemble d'arrivée a au moins un antécédent dans son ensemble de départ. Plus rigoureusement, \(f: X \to Y\) est surjective si pour tout \(y \in Y\), il existe \(x \in X\) tel que \(f(x) = y\). 

Montrer la question

Question

Quel type de fonction admet une bijection réciproque ? 

Montrer la réponse

Réponse

Les bijections

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Question

La représentation graphique de la réciproque d'une fonction est sa réflexion dans la droite _____.

Montrer la réponse

Réponse

\(y = x\)

Montrer la question

Question

La droite d'une fonction linéaire est une droite qui passe par _____. 

Montrer la réponse

Réponse

l'origine

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Question

Par ailleurs, la courbe représentative de la fonction carré est appelée ____. 


Montrer la réponse

Réponse

parabole

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Question

La courbe représentative de la fonction sinus est le ____ de la courbe représentative de la fonction cosinus.

Montrer la réponse

Réponse

translaté

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