Fonctions usuelles

Les fonctions usuelles sont au cœur de l'analyse mathématique. Une fonction usuelle ou fonction de référence est une fonction simple que nous pouvons utiliser pour étudier des fonctions mathématiques plus compliquées. Dans ce résumé de cours, nous allons présenter synthétiquement les dérivées usuelles et les primitives usuelles qui sont importantes comme base de calculs dans la dérivation et l'intégration. De plus, nous donnerons des informations sur les fonctions injectives, les fonctions surjectives et les bijections. Pour terminer, tu pourras visualiser ces différents concepts lorsque nous aborderons la représentation graphique de fonctions

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Table des mateères

    Dérivées des fonctions usuelles

    Connaître les dérivées des fonctions usuelles nous permet de déterminer les dérivées de fonctions plus compliquées. Pour cela, nous devrons nous servir des différentes règles de dérivation afin de manipuler ces dérivées usuelles.

    \(f(x)\)\(f'(x)\)
    \(x^n\), \(n \in \mathbb{R}\)\(nx^{n-1}\)
    \(|x|\)\(-1, \text{si } x<0\) \(1, \text{si } x>0\)
    \(e^x\)\(e^x\)
    \(\ln(x)\)\(\frac{1}{x}\)
    \(\sin(x)\)\(\cos(x)\)
    \(\cos(x)\)\(-\sin(x)\)

    Ce tableau de dérivées usuelles nécessite quelques commentaires.

    Tout d'abord, nous considérons souvent la fonction carré, la fonction racine carrée et la fonction inverse comme des fonctions usuelles. Les dérivées de ces trois fonctions peuvent être calculées à l'aide de la formule qui se trouve dans la première ligne, en considérant les cas \(n = 2\), \(n = \frac{1}{2}\) et \(n = -1\) respectivement. De plus, la fonction valeur absolue, \(|x|\), n'est pas dérivable en \(0\). Pour cela, nous ne pouvons donner sa dérivée que pour \(x \in ]-\infty,0[ \cup ]0,\infty[\).

    Grâce aux dérivées usuelles, nous pouvons en déduire les sens de variation des fonctions usuelles.

    Sens de variation des fonctions usuelles

    Souviens-toi : étudier le sens de variation d'une fonction revient à déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Il faut néanmoins garder à l'esprit qu’une fonction peut être croissante sur une partie d'un intervalle, mais décroissante sur une autre partie).

    Une fonction \(f\) est croissante si pour \(x \geq y\), nous avons \(f(x) \geq f(y)\)

    Similairement, une fonction \(f\) est décroissante si \(x \geq y\) implique \(f(x) \leq f(y)\).

    Si la dérivée d'une fonction est positive, elle est croissante. En revanche, si elle est négative, la fonction est décroissante. Mais pourquoi connaître les sens de variation des fonctions usuelles ? Il est important pour résoudre des inéquations, ainsi que pour le calcul de limites — que ce soit celle d'une fonction en un point donné ou la limite d'une suite.

    \(f(x)\)Sens de variation
    \(x^n\), \(n>0\) impaircroissante
    \(x^n\), \(n>0\) pairdécroissante, si \(x \leq 0\)croissante, si \(x \geq 0\)
    \(\frac{1}{x}\)décroissante
    \(e^x\)croissante
    \(\ln(x)\)croissante

    Les fonctions trigonométriques sont périodiques, c'est-à-dire que leurs valeurs se répètent.

    Une fonction \(f\) est périodique (ou T-périodique) s'il existe un nombre réel \(T\) tel que \(f(x+T)= f(x)\), pour tout \(x\) dans l'ensemble de définition de \(f\).

    Il suffit donc d'étudier leurs variations sur une période.

    \(f(x)\)Sens de variation
    \( \cos(x)\)décroissante, si \(x \in [0, \pi]\)croissante, si \(x \in [\pi, 2 \pi]\)
    \( \sin(x)\)croissante, si \(x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)décroissante, si \(x \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)
    \( \tan(x)\)croissante, si \(x \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\)

    Nous rappelons que la fonction tangente n'est pas définie pour \(\frac{k \pi}{2}\), où \(k\) est un nombre entier.

    Déterminer la dérivée d'une fonction est souvent plus facile que déterminer sa primitive. Il est donc important de connaître certaines primitives usuelles.

    Primitives des fonctions usuelles

    Les primitives de fonctions usuelles nous permettent d'effectuer l'intégration de fonctions plus compliquées. En revanche, les primitives usuelles ne sont pas des dérivées usuelles « à l'inverse ». En effet, nous devons intégrer certaines fonctions plus souvent que nous avons besoin de les dériver, et inversement.

    \(f(x)\)Primitive
    \(x^n\), \(n \neq -1\)\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
    \(\frac{1}{x}\)\( \ln|x|\)
    \(e^x\)\(e^x\)
    \(\ln(x)\)\(x\ln(x) - x\)
    \(\cos(x)\)\(\sin(x)\)
    \(\sin(x)\)\(-\cos(x)\)
    \(\frac{1}{1 + x^2}\)\(\arctan(x)\)
    \(a^x\), \(a > 0, a \neq 1\)\(\frac{a^x}{\ln(a)}\)

    À part savoir calculer les primitives et les dérivées des fonctions usuelles, nous devons également déterminer certaines de leurs caractéristiques. Notamment, il est important de déterminer si certaines fonctions sont des bijections, des injections ou des surjections.

    Quelles fonctions usuelles sont des bijections ?

    Injective, bijective et surjective — ces trois adjectifs qui qualifient les fonctions mathématiques (ou applications) sont fondamentaux dans l'analyse mathématique. À part le fait d'être des conditions importantes pour certains théorèmes, ces concepts nous permettent de déduire des propriétés clés des fonctions usuelles.

    Une bijection (aussi appelée fonction bijective, application bijective ou encore correspondance biunivoque) est une fonction qui est à la fois injective et surjective.

    Fonctions injectives

    Une fonction injective (ou injection) est une fonction pour laquelle chaque élément dans son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent dans son ensemble de départ. Plus rigoureusement, \(f: X \to Y\) est injective si pour tout \(x \in X\) et pour tout \(y \in Y\), nous avons \(f(x) = f(y)\) implique \(x = y\).

    Les ensembles de départ et d'arrivée jouent un rôle clé dans cette définition.

    La fonction \(f(x)\) définie par \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) et \(f(x) = x^2\) n'est pas injective. En effet, comme \(f(-1) = f(1)\) et \(-1 \neq 1\), l'implication nécessaire dans la définition n'est pas réalisée.

    En revanche, \(f(x)\) définie par \(f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) et \(f(x) = x^2\) est bien une fonction injective.

    Fonctions surjectives

    Une fonction surjective (ou surjection) est une fonction pour laquelle chaque élément dans son ensemble d'arrivée a au moins un antécédent dans son ensemble de départ. Plus rigoureusement, \(f: X \to Y\) est surjective si pour tout \(y \in Y\), il existe \(x \in X\) tel que \(f(x) = y\).

    Comme pour les fonctions injectives, nous devons examiner les ensembles de départ et d'arrivée pour déterminer si une fonction est surjective ou pas.

    La fonction \(g(x)\) définie par \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) et \(g(x) = \sin(x)\) n'est pas surjective puisque \(2\) n'a pas d'antécédent par \(g(x)\). Autrement dit, il n'y a pas de nombre réel \(x\) tel que \(f(x) = 2\).

    En revanche, \(g(x)\) définie par \(g: \mathbb{R} \to [-1,1]\) et \(g(x) = \sin(x)\) est une fonction surjective.

    Une fonction surjective qui est également une fonction injective est une fonction bijective, ou bijection.

    D'après un des exemples précédents, \(f(x)\) définie par \(f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) et \(f(x) = x^2\) est une fonction injective. Comme le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif, cette fonction n'est pas surjective. Or, si nous changeons l'ensemble d'arrivée à \( [0, +\infty[ \), \(f\) est une bijection.

    De même, \(g(x)\) définie par \(g: \mathbb{R} \to [-1,1]\) et \(g(x) = \sin(x)\) est une fonction surjective, mais elle n'est pas une injection. En effet, comme il s'agit d'une fonction périodique, nous avons \(g(x) = g(x+2k\pi)\), pour \(k \in \mathbb{Z}\). Si l'ensemble de départ était donc \([0, 2 \pi[\), nous aurions une bijection.

    Une bijection admet une fonction réciproque.

    La fonction réciproque \(f^{-1}\) d'une fonction bijective \(f: X \to Y\) est l'unique fonction qui satisfait \(f^-1(f(x)) = x\) pour tout \(x \in X\) et \(f(f^{-1}(y))\) pour tout \(y \in Y\).

    Autrement dit, la fonction réciproque fait l'inverse ou l'opposé de ce que fait la fonction de départ.

    Si \(f: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[, f(x) = x^2\), la fonction réciproque est \(f^{-1}: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[ , f^{-1}(x) = \sqrt{x}\).

    La fonction réciproque de \(g: [0, 2 \pi[ \to [-1,1], g(x) = \sin(x)\) est \(g^{-1}: [-1,1] \to [0, 2 \pi[ , f^{-1}(x) = \arcsin(x)\).

    Il y a une relation visuelle intéressante entre une bijection et sa réciproque. Explorons donc les représentations graphiques de fonctions.

    Représentation graphique d'une fonction usuelle

    La représentation graphique d'une fonction, ou sa courbe représentative, est une véritable vue d'ensemble. En effet, il s'agit d'un résumé des caractéristiques d'une fonction. D'après la représentation graphique d'une fonction, nous pouvons voir son sens de variation, si elle est paire ou impaire et si elle est périodique. Voyons maintenant quelques courbes représentatives de fonctions usuelles.

    Fonctions usuelles Représentation graphique polynôme pair StudySmarterFig. 1 - Les représentations graphiques de polynômes pairs

    Remarque d'abord que si la puissance d'un polynôme est paire, alors il s'agit d'une fonction paire, c'est-à-dire, une fonction telle que \(f(-x) = f(x)\). Cette caractéristique se révèle via la symétrie de ces graphiques par rapport à l'axe des ordonnées. De plus, lorsque la puissance d'un polynôme pair augmente, sa courbe représentative devient plus « étroite ». Par ailleurs, la courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole.

    Fonctions usuelles Représentation graphique polynôme impair StudySmarterFig. 2 - Les représentations graphiques de polynômes impairs

    Similairement, si la puissance d'un polynôme est impaire, alors il s'agit d'une fonction impaire, c'est-à-dire, une fonction telle que \(f(-x) = -f(x)\). De même, lorsque la puissance d'un polynôme impaire augmente, sa courbe représentative devient plus étroite.

    Fonctions usuelles Représentation graphique fonctions trigonométriques StudySmarterFig. 3 - Les représentations graphiques de fonctions trigonométriques

    Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, nous pouvons voir des motifs qui se répètent. De plus, les courbes représentatives du cosinus et du sinus sont les translatés, l'un de l'autre.

    Fonctions usuelles Représentation graphique ln exp StudySmarterFig. 4 - Les représentations graphiques des fonctions logarithme et exponentielle

    La représentation graphique de la réciproque d'une fonction est sa réflexion dans la droite \(y = x\). Dans l'image ci-dessus, la courbe de la fonction logarithme népérien est la réflexion de la courbe de la fonction exponentielle — et inversément.

    Représentation graphique d'une fonction affine

    Comme les fonctions affines sont représentatives de plusieurs situations du monde réel, il est important de connaître les détails de sa courbe représentative. La représentation graphique d'une fonction affine est en fait une droite. Il y a deux paramètres que nous utilisons pour caractériser une telle droite : l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur. Si le coefficient directeur est positif, alors la droite monte, en lisant le graphique de gauche à droite. En revanche, s'il est négatif, alors la droite descend.

    Fonctions usuelles Représentation graphique fonction affine StudySmarterFig. 5 - Les représentations graphiques de deux fonctions affines

    Représentation graphique d'une fonction linéaire

    La représentation graphique d'une fonction linéaire est très similaire à celle d'une fonction affine. La différence est que la droite d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine. Nous pouvons donc dire qu'une fonction linéaire est un cas spécifique de fonction affine.

    Fonctions usuelles Représentation graphique fonction linéaire StudySmarterFig. 6 - Les représentations graphiques de deux fonctions linéaires

    Fonctions usuelles - Points clés

    • Les propriétés des fonctions usuelles, ou fonctions de référence, facilitent l'étude de fonctions plus génériques.
    • Connaître les dérivées et les primitives usuelles nous permet de dériver ou d'intégrer des fonctions plus compliquées.
    • Une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est une bijection.
    • Les représentations graphiques des fonctions usuelles encodent quelques-unes de leurs propriétés importantes, telles que la parité, la périodicité et le sens de variation.
    Questions fréquemment posées en Fonctions usuelles

    Quelles sont les fonctions usuelles ? 

    Les fonctions usuelles incluent les fonctions affines, la fonction carré, la fonction racine carrée et la fonction inverse. Il n'y a pas de liste exhaustive.

    Quelle est la fonction identité ?

    La fonction identité est la fonction qui associe un élément à lui-même. Pour des nombres, nous pouvons la noter f(x) =x. Sinon, il y a d'autres notations possibles, telle que Id. 

    Comment classer les fonctions ? 

    Il y a plusieurs manières de classer des fonctions. Nous pouvons distinguer les polynômes, les fonctions logarithmiques, les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques. Nous pouvons également considérer les fonctions en termes de régularité, c'est-à-dire, dérivabilité et continuité.

    Quelles sont les limites des fonctions ? 

    S'il s'agit de la limite en un point où la fonction est continue, la limite est simplement la valeur de la fonction. Sinon, nous devons manipuler des limites des fonctions usuelles. 

    Quelle est la dérivée de sinus ?

    La dérivée de sinus est cosinus. 

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    La fonction inverse est sa propre bijection réciproque. 

    La courbe représentative de la fonction inverse possède une asymptote horizontale et une asymptote verticale.

    Il y a trois types d'asymptotes.

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