Tu connais peut-être la valeur de \(\sqrt{9}\), mais qu'en est-il de \(\sqrt{18}\) ou \(\sqrt{-4}\) ? Calculer la racine d'un nombre est une opération essentielle en mathématiques. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord te montrer comment calculer la racine carrée d'un nombre. Par la suite, nous expliquerons comment faire des calculs avec une racine carrée, et en particulier comment fonctionne l'addition de racines carrées. Nous expliciterons après comment simplifier une racine carrée. Pour terminer, nous expliquerons comment prendre la racine carrée d'un nombre négatif et comment calculer des racines carrées en Python.
Comment calculer la racine carrée d'un nombre ?
Pour calculer la racine carrée d'un nombre, il faut connaître les carrés des nombres entiers et en déduire de quel nombre carré il s'agit.
Peux-tu calculer la racine carrée de \(121\) ?
Comme le carré de \(11\) est \(121\), la racine carrée de \(121\) est \(11\).
Il faut garder à l'esprit qu'un nombre négatif peut être également la racine carrée. Par exemple, comme \(-11 \times -11 = 121\), nous pouvons également dire que \(-11\) est une racine carrée de \(121\). Or, en général, lorsque nous parlons des racines carrées, nous parlons plutôt de la racine positive.
S'il ne s'agit pas d'un des premiers nombres carrés, nous utiliserons une calculatrice pour déterminer la racine carrée de ce nombre. Même s'il y a des d'autres méthodes qui permettent de calculer la racine carrée d'un nombre, ces méthodes sont assez compliquées.
Il y a néanmoins certaines règles qui permettent d'effectuer des calculs avec une racine carrée.
Calculs avec une racine carrée
Pour faire des calculs avec une racine carrée, il faut garder à l'esprit les règles suivantes :
Ici, \(a\) et \(b\) sont des nombres réels positifs. Voyons alors comment appliquer ces règles à l'aide d'un exemple.
Peux-tu montrer que \(\sqrt{18} = 3 \times \sqrt{2}\) ?
Comme \(18 = 9 \times 2\), nous avons :
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \)
\(\sqrt{18} = 3 \times \sqrt{2}\)
Garde à l'esprit qu'il n'y a pas de règle similaire pour l'addition, ou la soustraction.
Addition de racines carrées
Nous ne pouvons effectuer l'addition de racines carrées qu'entre des racines pareilles. Autrement dit, pour des réels \(m\) et \(n\) et pour \(a\) positif, nous avons \(m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}\). Il convient de considérer les racines telles que \(\sqrt{a}\) comme des variables que nous utilisons en algèbre.
\(2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)
Attention ! Il faut garder à l'esprit que la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines : \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Nous pouvons construire un contre-exemple simple.
Peux-tu donner un contre-exemple pour démontrer que \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) ?
Voici le nôtre :
D'une part, \(\sqrt{9} = 3\).
D'autre part, \(\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + 2{,}236 = 4{,}236\).
Comme \(\sqrt{9} \neq \sqrt{4} + \sqrt{5}\), il n'est pas vrai que \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
Besoin d'un rappel sur comment utiliser un contre-exemple en maths ? N'hésite pas à consulter notre résumé de cours à ce sujet.
Simplification d'une racine carrée
Le but de la simplification d'une racine carrée est d'avoir une expression où le nombre sous la racine est le plus petit possible. Pour cela, nous appliquerons l'ensemble des règles énoncées antérieurement dans ce résumé de cours.
Peux-tu simplifier \(\sqrt{75} - \sqrt{12}\) ?
\(\sqrt{75} - \sqrt{12}\)
\(= \sqrt{3 \times 25 } - \sqrt{3 \times 4}\)
\(= 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\)
\(= 3\sqrt{3}\)
Si nous avons une fraction contenant une racine, la fraction doit être réécrite pour n'avoir aucune racine dans le dénominateur. La forme simplifiée de \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) s'obtient en multipliant le numérateur et dénominateur par \(\sqrt{a}\). Cela nous donne \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\).
La forme simplifiée de \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) est \(\frac{\sqrt{5}}{5}\).
Utiliser la conjuguée pour simplifier une racine carrée
Si le dénominateur contient une expression comme \(3 + \sqrt{2}\), nous devrons utiliser la conjuguée de cette expression pour simplifier la racine carrée.
La conjuguée (ou expression conjuguée) de l'expression \(x + y\) est \(x - y\).
La conjuguée de \(3 + \sqrt{2}\) est \(3 - \sqrt{2}\).
Similairement, la conjuguée de \(3 - \sqrt{2}\) est \(3 + \sqrt{2}\).
Pour simplifier une fraction avec une racine carrée, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par la conjuguée du dénominateur. Cela convertit le dénominateur en un nombre rationnel puisque \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b\), en vertu de la troisième identité remarquable.
Peux-tu simplifier \(\frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}\) ?
Nous devons multiplier par la conjuguée de \(3 + \sqrt{2}\), à savoir \(3 - \sqrt{2}\).
\(\frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})}\)
\(=\frac{3\sqrt{2} - 2}{3 - 2}\)
\(= 3\sqrt{2} - 2\)
Racine carrée d'un nombre négatif
Tu as déjà peut-être appris à l'école que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Or, ce n'est pas tout à fait vrai. La racine carrée d'un nombre négatif peut se définir à l'aide des nombres complexes, notamment l'unité imaginaire, \(i\).
L'unité imaginaire est le nombre \(i\) qui satisfait \(i^2 = -1\).
Grâce à cette définition, il est possible d'en déduire les racines carrées des nombres négatifs. Voyons comment cela fonctionne avec un exemple.
Peux-tu déterminer les racines carrées de \(-4\) ?
Comme \(-4 = -1 \times 4\), nous avons \(\sqrt{-4} = \sqrt{-1} \times \sqrt{4} = \pm 2i\).
Le symbole \(\pm\) signifie que le nombre qui suit peut être positif ou négatif. Par exemple \(\pm = -2 \ \text{ou} +2\).
Racine carrée en Python
Nous pouvons calculer ou exploiter la racine carrée d'un nombre en Python. Pour cela, nous devons importer la bibliothèque « math » et employer la fonction « sqrt() ». Le nom de cette fonction vient de square root, racine carrée en anglais.
Fig. 1 - Comment utiliser la racine carrée en Python
D'autres bibliothèques de Python contiennent la fonction « sqrt », par exemple la bibliothèque Numpy.
Racine d'un nombre - Points clés
- Il faut en déduire la racine carrée d'un nombre grâce aux carrés des nombres entiers.
Pour effectuer des calculs avec une racine carrée, tu devras employer les règles suivantes :
\(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) ;
\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) ;
\(m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}\).
Tu dois néanmoins garder à l'esprit que la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines : \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
Une autre approche pour simplifier une fraction avec une racine carrée consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par la conjuguée du dénominateur.
L'unité imaginaire est le nombre \(i\) qui satisfait \(i^2 = -1\).
Pour calculer une racine carrée en Python, il faut importer la bibliothèque « math » et employer la fonction « sqrt() ».
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