Se connecter Inscription gratuite
L'appli tout-en-un pour réviser
4.8 • +11k évaluations
Plus de 3 millions de téléchargements
Télécharger
|
|
Racine carrée

Tu connais peut-être la valeur de \(\sqrt{9}\), mais qu'en est-il de \(\sqrt{18}\) ou \(\sqrt{-4}\) ? Calculer la racine d'un nombre est une opération essentielle en mathématiques. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord te montrer comment calculer la racine carrée d'un nombre. Par la suite, nous expliquerons comment faire des calculs avec une racine carrée, et en particulier comment fonctionne l'addition…

Content verified by subject matter experts
Free StudySmarter App with over 20 million students
Mockup Schule

Explore our app and discover over 50 million learning materials for free.

Racine carrée

Racine carrée

Sauvegarde ce cours maintenant et relis-le quand tu auras le temps.

Sauvegarder
Illustration

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Tu connais peut-être la valeur de \(\sqrt{9}\), mais qu'en est-il de \(\sqrt{18}\) ou \(\sqrt{-4}\) ? Calculer la racine d'un nombre est une opération essentielle en mathématiques. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord te montrer comment calculer la racine carrée d'un nombre. Par la suite, nous expliquerons comment faire des calculs avec une racine carrée, et en particulier comment fonctionne l'addition de racines carrées. Nous expliciterons après comment simplifier une racine carrée. Pour terminer, nous expliquerons comment prendre la racine carrée d'un nombre négatif et comment calculer des racines carrées en Python.

Comment calculer la racine carrée d'un nombre ?

Pour calculer la racine carrée d'un nombre, il faut connaître les carrés des nombres entiers et en déduire de quel nombre carré il s'agit.

Peux-tu calculer la racine carrée de \(121\) ?

Comme le carré de \(11\) est \(121\), la racine carrée de \(121\) est \(11\).

Il faut garder à l'esprit qu'un nombre négatif peut être également la racine carrée. Par exemple, comme \(-11 \times -11 = 121\), nous pouvons également dire que \(-11\) est une racine carrée de \(121\). Or, en général, lorsque nous parlons des racines carrées, nous parlons plutôt de la racine positive.

S'il ne s'agit pas d'un des premiers nombres carrés, nous utiliserons une calculatrice pour déterminer la racine carrée de ce nombre. Même s'il y a des d'autres méthodes qui permettent de calculer la racine carrée d'un nombre, ces méthodes sont assez compliquées.

Il y a néanmoins certaines règles qui permettent d'effectuer des calculs avec une racine carrée.

Calculs avec une racine carrée

Pour faire des calculs avec une racine carrée, il faut garder à l'esprit les règles suivantes :

  • \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) ;

  • \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Ici, \(a\) et \(b\) sont des nombres réels positifs. Voyons alors comment appliquer ces règles à l'aide d'un exemple.

Peux-tu montrer que \(\sqrt{18} = 3 \times \sqrt{2}\) ?

Comme \(18 = 9 \times 2\), nous avons :

\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2}\)

\(\sqrt{18} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \)

\(\sqrt{18} = 3 \times \sqrt{2}\)

Garde à l'esprit qu'il n'y a pas de règle similaire pour l'addition, ou la soustraction.

Addition de racines carrées

Nous ne pouvons effectuer l'addition de racines carrées qu'entre des racines pareilles. Autrement dit, pour des réels \(m\) et \(n\) et pour \(a\) positif, nous avons \(m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}\). Il convient de considérer les racines telles que \(\sqrt{a}\) comme des variables que nous utilisons en algèbre.

\(2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)

Attention ! Il faut garder à l'esprit que la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines : \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Nous pouvons construire un contre-exemple simple.

Peux-tu donner un contre-exemple pour démontrer que \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) ?

Voici le nôtre :

D'une part, \(\sqrt{9} = 3\).

D'autre part, \(\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + 2{,}236 = 4{,}236\).

Comme \(\sqrt{9} \neq \sqrt{4} + \sqrt{5}\), il n'est pas vrai que \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

Besoin d'un rappel sur comment utiliser un contre-exemple en maths ? N'hésite pas à consulter notre résumé de cours à ce sujet.

Simplification d'une racine carrée

Le but de la simplification d'une racine carrée est d'avoir une expression où le nombre sous la racine est le plus petit possible. Pour cela, nous appliquerons l'ensemble des règles énoncées antérieurement dans ce résumé de cours.

Peux-tu simplifier \(\sqrt{75} - \sqrt{12}\) ?

\(\sqrt{75} - \sqrt{12}\)

\(= \sqrt{3 \times 25 } - \sqrt{3 \times 4}\)

\(= 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\)

\(= 3\sqrt{3}\)

Si nous avons une fraction contenant une racine, la fraction doit être réécrite pour n'avoir aucune racine dans le dénominateur. La forme simplifiée de \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) s'obtient en multipliant le numérateur et dénominateur par \(\sqrt{a}\). Cela nous donne \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\).

La forme simplifiée de \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) est \(\frac{\sqrt{5}}{5}\).

Utiliser la conjuguée pour simplifier une racine carrée

Si le dénominateur contient une expression comme \(3 + \sqrt{2}\), nous devrons utiliser la conjuguée de cette expression pour simplifier la racine carrée.

La conjuguée (ou expression conjuguée) de l'expression \(x + y\) est \(x - y\).

La conjuguée de \(3 + \sqrt{2}\) est \(3 - \sqrt{2}\).

Similairement, la conjuguée de \(3 - \sqrt{2}\) est \(3 + \sqrt{2}\).

Pour simplifier une fraction avec une racine carrée, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par la conjuguée du dénominateur. Cela convertit le dénominateur en un nombre rationnel puisque \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b\), en vertu de la troisième identité remarquable.

Peux-tu simplifier \(\frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}\) ?

Nous devons multiplier par la conjuguée de \(3 + \sqrt{2}\), à savoir \(3 - \sqrt{2}\).

\(\frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})}\)

\(=\frac{3\sqrt{2} - 2}{3 - 2}\)

\(= 3\sqrt{2} - 2\)

Racine carrée d'un nombre négatif

Tu as déjà peut-être appris à l'école que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Or, ce n'est pas tout à fait vrai. La racine carrée d'un nombre négatif peut se définir à l'aide des nombres complexes, notamment l'unité imaginaire, \(i\).

L'unité imaginaire est le nombre \(i\) qui satisfait \(i^2 = -1\).

Grâce à cette définition, il est possible d'en déduire les racines carrées des nombres négatifs. Voyons comment cela fonctionne avec un exemple.

Peux-tu déterminer les racines carrées de \(-4\) ?

Comme \(-4 = -1 \times 4\), nous avons \(\sqrt{-4} = \sqrt{-1} \times \sqrt{4} = \pm 2i\).

Le symbole \(\pm\) signifie que le nombre qui suit peut être positif ou négatif. Par exemple \(\pm = -2 \ \text{ou} +2\).

Racine carrée en Python

Nous pouvons calculer ou exploiter la racine carrée d'un nombre en Python. Pour cela, nous devons importer la bibliothèque « math » et employer la fonction « sqrt() ». Le nom de cette fonction vient de square root, racine carrée en anglais.

Racine carrée Python StudySmarter

Fig. 1 - Comment utiliser la racine carrée en Python

D'autres bibliothèques de Python contiennent la fonction « sqrt », par exemple la bibliothèque Numpy.

Racine d'un nombre - Points clés

  • Il faut en déduire la racine carrée d'un nombre grâce aux carrés des nombres entiers.
  • Pour effectuer des calculs avec une racine carrée, tu devras employer les règles suivantes :

    • \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) ;

    • \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) ;

    • \(m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}\).

  • Tu dois néanmoins garder à l'esprit que la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines : \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

  • Une autre approche pour simplifier une fraction avec une racine carrée consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par la conjuguée du dénominateur.

  • L'unité imaginaire est le nombre \(i\) qui satisfait \(i^2 = -1\).

  • Pour calculer une racine carrée en Python, il faut importer la bibliothèque « math » et employer la fonction « sqrt() ».

Questions fréquemment posées en Racine carrée

Pour calculer la racine carrée d'un nombre négatif, il faut employer l'unité imaginaire \(i^2 = -1\). Par exemple, \(\sqrt{-4} = \pm 2i\).  

La racine carrée d'un nombre positif, \(p\), est le nombre (ou les nombres) dont le carré est égal à \(p\).

La racine carrée de 1 peut être 1 ou -1.

La racine carrée de 2 est le nombre irrationnel \(\sqrt{2}\). Nous le conservons dans cette forme car ce nombre n'admet pas d'écriture décimale exacte.

La racine carrée de 7 est le nombre irrationnel \(\sqrt{7}\). Nous le conservons dans cette forme car ce nombre n'admet pas d'écriture décimale exacte.

Évaluation finale de Racine carrée

Racine carrée Quiz - Teste dein Wissen

Question

Donne la définition de l'unité imaginaire.

Montrer la réponse

Réponse

L'unité imaginaire est le nombre \(i\) qui satisfait \(i^2 = -1\).

Montrer la question

Question

Il est impossible de prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Montrer la réponse

Réponse

Faux

Montrer la question

Question

La fonction ___ en Python permet de calculer la racine carrée d'un nombre.

Montrer la réponse

Réponse

sqrt()

Montrer la question

Question

Quelles expressions sont justes ?

Montrer la réponse

Réponse

\(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

Montrer la question

Question

Simplifie l'expression \(\sqrt{80}\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5}\) 


\(\sqrt{18} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} \) 


\(\sqrt{18} = 4 \times \sqrt{5}\) 

Montrer la question

Question

Simplifie \(\sqrt{8}\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2}\) 


\(\sqrt{18} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} \) 


\(\sqrt{18} = 2 \times \sqrt{2}\) 

Montrer la question

Question

Simplifie l'expression \(\sqrt{44} - \sqrt{99}\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\sqrt{44} - \sqrt{99}\)


\(= \sqrt{4 \times 11} - \sqrt{9 \times 11}\)


\(= 2\sqrt{11} - 3\sqrt{11}\)


\(= -\sqrt{11}\)

Montrer la question

Question

Quelle est la forme simplifiée de \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ?

Montrer la réponse

Réponse

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Montrer la question

Question

Démontre que \(\frac{1}{\sqrt{i}} = - \sqrt{i}\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\frac{1}{\sqrt{i}}\)

\(=\frac{\sqrt{i}}{\sqrt{i} \times \sqrt{i}}\)

\( = \frac{\sqrt{i}}{-1}\)

\(= -\sqrt{i}\)

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que la conjuguée d'une expression ?

Montrer la réponse

Réponse

La conjuguée (ou expression conjuguée) de l'expression \(x + y\) est \(x - y\).

Montrer la question

Question

Simplifie \(\frac{2}{1 - \sqrt{3}}\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\frac{2}{1 - \sqrt{3}}\)


\(=\frac{2(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}\)


\(=\frac{2(1 + \sqrt{3})}{1 - 3}\)


\(=-1 - \sqrt{3}\)

Montrer la question

Question

Détermine les racines carrées de \(-25\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\sqrt{-25} = \sqrt{-1} \times \sqrt{25} = \pm 5i\)

Montrer la question

Question

\((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \) ?

Montrer la réponse

Réponse

\(a - b\)

Montrer la question

Question

La racine carrée d'une somme est égale à la somme des racines.

Montrer la réponse

Réponse

Faux

Montrer la question

60%

des utilisateurs ne réussissent pas le test de Racine carrée ! Réussirez-vous le test ?

lancer le quiz

How would you like to learn this content?

Creating flashcards
Studying with content from your peer
Taking a short quiz

How would you like to learn this content?

Creating flashcards
Studying with content from your peer
Taking a short quiz

Free mathematiques cheat sheet!

Everything you need to know on . A perfect summary so you can easily remember everything.

Access cheat sheet

Complète tes cours avec des thèmes et sous-thèmes disponibles pour chaque matière!

Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !

StudySmarter: la seule application d’apprentissage qu’il te faut pour tout savoir.

Inscris-toi ici gratuitement
Illustration