Tu peux probablement résoudre l'équation \( x + 1\) les yeux fermés. Qu'en est-il de \(x^3 - 7x + 6 = 0\) ? Pour résoudre cette équation, il faut d'abord la factoriser. Alors, comment factoriser une expression littérale ou une équation? Dans ce résumé de cours, nous détaillerons trois approches pour factoriser une expression : la factorisation avec une identité remarquable, la factorisation d'un polynôme de degré 2 et la factorisation d'un polynôme général. Pour terminer, nous présenterons quelques exercices de factorisation.
Comment factoriser ?
Pour factoriser une expression littérale, nous devons transformer une somme en un produit. L'expression ainsi obtenue est appelée l'expression factorisée. Voici un exemple simple de factorisation.
\(2x + 2y = 2(x+y)\)
Le membre de gauche est la somme de \(2x\) et \(2y\), alors que le membre de droite est le produit de \(2\) et \(x+y\). \(2(x+y)\) est l'expression factorisée.
Dans une expression littérale, nous omettons souvent le signe de multiplication.
Or, comment factoriser une expression ? Nous devons regarder le facteur commun des termes dans l'expression. Dans l'exemple de factorisation précédent, le facteur commun était \(2\). Or, le facteur commun peut être un nombre, une inconnue ou une expression algébrique. Les exemples suivants montrent comment identifier le facteur commun pour factoriser.
\(6x + 21y + 9z = 3(2x+7y+3z)\)
Ici, le facteur commun est \(3\). Nous avons déterminé les coefficients des termes entre parenthèses en divisant chaque terme dans le membre de gauche par le facteur commun. Nous obtenons donc \(3(2x+7y+3z)\) comme expression factorisée.
\(x^2 + 2xy = x(x+2y)\)
Cette fois-ci, le facteur commun est \(x\). À nouveau, nous avons déterminé les termes entre parenthèses en divisant chaque terme dans le membre de gauche par le facteur commun. L'expression factorisée est donc \(x(x+2y)\).
Parfois, il faut appliquer cette idée plusieurs fois pour factoriser une expression.
Factorisons \(x(2x+5) + (3x+4)(2x+5)\).
Remarque d'abord que \(2x+5\) est le facteur commun.
Nous pouvons donc écrire \(x(2x+5) + (3x+1)(2x+5) = (2x + 5)(x + 3x + 4)\)
De plus, nous pouvons simplifier le membre de gauche : \((2x + 5)(x + 3x + 4) = (2x + 5)(4x + 4) \)
Maintenant, l'expression n'est pas complètement factorisée. En effet, nous pouvons encore factoriser \(4x + 4\) en mettant \(4\) en facteur : \(4x + 4 = 4(x+1)\)
Nous aboutissons donc à \((2x + 5)(x + 3x + 4) = 4(x+1)(2x + 5)\)
À part ce principe général, il y a d’autres méthodes pour factoriser une expression. Nous en aborderons trois qui vont faire l'affaire pour la plupart d'expressions auxquelles tu aurais droit :
le plus simple et rapide, c'est de factoriser à l'aide d'une identité remarquable. En revanche, cette méthode n'est valable que pour certaines expressions ;
nous détaillerons ensuite une méthode qui s'utilise pour n'importe quel polynôme de degré 2 (ou polynôme de second degré), c'est-à-dire, un polynôme dont la puissance la plus élevée est 2 ;
nous expliquerons ensuite une méthode pour factoriser des polynômes de plus grand degré.
Factoriser avec une identité remarquable
Les trois identités remarquables sont :
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ;
- \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) ;
- \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
Les identités remarquables sont trois égalités qui servent à factoriser ou à développer des expressions algébriques. Pour factoriser avec une identité remarquable, nous devons identifier à quoi correspondent \(a\) et \(b\) dans l'expression que nous souhaitons factoriser. Voici un exemple de factorisation avec une identité remarquable.
Peux-tu factoriser \(x^2 + 2x + 1\) à l'aide d'une identité remarquable ?
En regardant la première identité remarquable, nous pouvons identifier que \(x\) correspond à \(a\) et \(1\) correspond à \(b\).
Ainsi, nous pouvons factoriser l'expression donnée : \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\).
Parfois, utiliser une identité remarquable pour factoriser est plus subtil. Il faut donc considérer que le \(a\) et le \(b\) dans une identité remarquable peuvent correspondre à une expression algébrique au lieu d'une variable ou d'une constante.
Peux-tu factoriser \(4x^2 - 9\) avec une identité remarquable ?
En regardant la troisième identité remarquable, nous pouvons identifier que \(4x^2\) correspond à \(a^2\) et \(9\) correspond à \(b^2\).
Donc, \(2x\) correspond à \(a\) et \(3\) correspond à \(b\).
Ainsi, nous obtenons la factorisation suivante : \(4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)\).
Remarque que nous aurions pu dire que \(-2x\) correspond à \(a\) et \(-3\) correspond à \(b\). Or, cela ne changerait pas le résultat. N'hesite pas à remplacer \(a\) avec \(-2x\) et \(b\) avec \(-3\) dans la troisième identité remarquable pour voir ce qu'il se passe.
Les identités remarquables de degré 3
Nous avons explicité les identités remarquables de degré 2 qui sont les plus souvent utilisées. Or, il existe des identités remarquables de degré 3, que nous pouvons utiliser pour factoriser des expressions plus complexes. Les identités remarquables de degré 3 sont :
\((a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^2\) ;
\((a-b)^2 = a^3 + 3ab^2 - 3a^2b + b^2\) ;
\(a^3- b^3 = (a-b)(a^2 - ab + b^2)\).
Voici un exemple de comment factoriser avec une identité remarquable de degré 3.
Peux-tu factoriser l'expression \(8x^3 + 1\) ?
En regardant la troisième identité remarquable dans la liste ci-dessus, nous pouvons en déduire que \(2x\) correspond à \(a\) et \(-1\) correspond à \(b\).
Nous obtenons alors la factorisation suivante : \(8x^3 + 1 = (2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)\).
Tu l'as donc vu : nous pouvons facilement appliquer les identités remarquables pour factoriser une expression. Or, avec certaines expressions, il est simplement impossible d'employer une identité remarquable. Regardons donc une façon plus générale d'effectuer la factorisation d'un polynôme de second degré.
Factorisation d'un polynôme de degré 2
Comme les identités remarquables ne suffisent pas pour factoriser n'importe quel polynôme, nous devons emprunter une voie différente pour la factorisation d'un polynôme de degré 2. La première méthode que nous aborderons repose sur le calcul des racines du polynôme. Nous devons d'abord considérer le discriminant.
Une racine \(r\) d'un polynôme \(P(x)\) satisfait \(P(r) = 0\). Pour un polynôme de degré 2, \(ax^2 + bx + c\), le discriminant, \(\Delta\), est \(b^2 - 4ac\). La valeur du discriminant détermine le nombre de racines.
- Si \(b^2 - 4ac > 0\), alors il y a deux racines et nous pouvons factoriser en utilisant \(ax^2 + bx + c = a(x - x_+)(x - x_-)\), où \(x_+ = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) et \(x_- = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
- Si \(b^2 - 4ac = 0\), alors il y a une racine et nous pouvons factoriser en utilisant \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\) où \(x_0 = \frac{-b}{2a}\).
- Si \(b^2 - 4ac < 0\), alors les racines sont des nombres complexes. Nous n'abordons pas ce cas dans ce résumé de cours et pour le moment, nous pouvons considérer qu'il n'y a pas de racine.
Voyons un exemple de comment utiliser le discriminant pour factoriser un polynôme de degré 2.
Factorisons \(x^2 + 2x - 3\).
Calculons d'abord son discriminant : \(\Delta = (2)^2 - 4(1)(-3) = 16\).
Comme le discriminant est positif, il y a deux racines.
\(x_+ = \frac{-2 +\sqrt{16}}{2}\) et \(x_- = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2}\)
\(x_+ = \frac{-2 + 4}{2}\) et \(x_- = \frac{-2 - 4}{2}\)
\(x_+ = \frac{2}{2}\) et \(x_- = \frac{-6}{2}\)
\(x_+ = 1\) et \(x_- = -3\)
Nous pouvons donc factoriser l'expression : \(x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x+3)\)
Comment factoriser un polynôme de degré 2 sans discriminant ?
Pour factoriser un polynôme de degré 2 sans discriminant, nous avons recours à une autre méthode plus « artisanale ». Pour un polynôme dont le coefficient de \(x^2\) est \(1\), nous devons déterminer les facteurs de la constante et voir si la somme (ou différence) de ces facteurs est égale au coefficient de \(x\).
Bien que cette méthode de factorisation soit (beaucoup) plus rapide, elle n'est pas facile à appliquer dans tous les cas. De plus, il faut pas mal d'entraînement pour l'appliquer avec aise.
Voici un exemple de comment factoriser un polynôme de degré 2 sans utiliser son discriminant.
Peux-tu factoriser \(x^2 + 2x - 3\) sans calculer son discriminant ?
Déterminons les facteurs de \(-3\).
\(-3 = -1 \times 3\)
\(-3 = 1 \times -3\)
Calculons les sommes de ces facteurs.
\(-1 + 3 = 2\)
\(1 + -3 = -2\)
Comme \(-3 = -1 \times 3\) et \(-1 + 3 = 2\), nous pouvons en déduire que \(x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)
Cette méthode ne s'applique pas aux polynômes de plus grand degré. La factorisation d'un polynôme de plus grand degré repose plutôt sur le calcul de ses racines.
Factorisation d'un polynôme
Pour effectuer la factorisation d'un polynôme quelconque, il faut déterminer ses racines. Pour un polynôme de degré 2, nous avons une formule simple. Pour un polynôme \(P(x)\) de degré \(n \geq 2\), nous devons d'abord tester différentes valeurs pour trouver une racine \(r\).
Une fois que nous avons trouvé une racine, nous pouvons mettre \(x - r\) en facteur. Nous aurons donc \(P(x) = (x-r)Q(x)\), où \(Q(x)\) est un polynôme de degré \(n - 1\). Nous pouvons ensuite factoriser \(Q(x)\). Garde à l'esprit que nous ne pouvons pas factoriser tout polynôme avec des nombres réels.
Voici un exemple de comment effectuer la factorisation d'un polynôme quelconque.
Factorisons \(x^3 - 7x + 6\).
Testons quelques valeurs \(x\) pour trouver une racine. Nous avons tendance à essayer d'abord des valeurs « faciles » comme \(1\), \(-1\) et \(0\).
En l'occurrence, \(1\) est une racine. En effet, \((1)^3 - 7(1) + 6 = 0\).
Comme \(1\) est une racine, \(x - 1\) est un facteur du polynôme. Ainsi, il faut déterminer un polynôme \(Q(x)\) tel que \( x^3 - 7x + 6 = (x-1)Q(x)\). Nous pouvons en déduire de cette égalité que, comme \(x^3 - 7x + 6\) est un polynôme de degré 3, \(Q(x)\) est un polynôme de degré 2.
Ainsi, nous pouvons écrire que \(Q(x) = ax^2 + bx + c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont à déterminer. En remplaçant cette expression dans l'égalité précédente, nous avons :
\(x^3 - 7x + 6 = (x-1)(ax^2 + bx + c)\)
\(x^3 - 7x + 6 = ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c\)
En comparant les termes des deux membres, nous obtenons le système d'équations suivant.
\(a = 1\)
\(b-a = 0\)
\(c-b = -7\)
\(-c = 6\)
Comme \(a = 1\), nous pouvons en déduire de la deuxième équation ci-dessus que \(b = 1\). Ainsi, \(Q(x) = x^2 + x - 6\).
Nous pouvons alors factoriser \(Q(x)\) à l'aide des méthodes présentées dans la section précédente : \(Q(x) = (x+3)(x-2)\). Enfin, nous avons obtenu la factorisation du polynôme en question : \( x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x+3)(x-2)\)
Nous pouvons également mélanger les approches explicitées dans les sections précédentes.
Factorisons \(x^3 - x\).
Comme \(x\) est un facteur commun, \(x^3 - x = x(x^2 - 1)\).
Pour l'expression entre parenthèses, nous pouvons appliquer une identité remarquable : \(x^2 - 1 = (x+1)(x-1)\)
Enfin, \(x^3 - x = x(x+1)(x-1)\).
Factoriser une équation
Factoriser une équation nous permet de la résoudre, en ramenant à une équation produit nul.
Une équation produit nul est une équation de la forme \(P(x)Q(x) = 0\), où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des expressions algébriques en termes de \(x\).
\((x+1)(x-2) = 0\) est une équation produit nul.
La propriété importante d'une équation produit nul est comme suit : si \(P(x)Q(x) = 0\), alors \(P(x) = 0\) ou \(Q(x) = 0\).
Résolvons \((x+1)(x-2) = 0\).
Comme il s'agit d'une équation produit nul, alors \(x+1 = 0\) ou \(x-2 = 0\).
Cette équation a donc deux solutions : \(x = -1 \text{ou} 2\)
La factorisation est donc utile pour résoudre des équations plus complexes. Voici un exemple de comment factoriser une équation.
Résolvons \(x^3 - 7x = - 6\).
Manipulons un peu l'équation : \(x^3 - 7x + 6 = 0\)
Nous avons factorisé le membre de gauche dans un exemple précédent. Il en résulte donc que \( (x-1)(x+3)(x-2) = 0\).
Comme il s'agit d'une équation produit nul, alors \(x-1 = 0\) ou \(x+3 = 0\) ou \(x-2 = 0\).
Cette équation a donc trois solutions : \(x = 1 \ \text{ou} -3 \ \text{ou} \ 2\)
Exercices : factoriser une expression
En fin de compte, nous avons recours à plusieurs méthodes pour factoriser. Or, pour être un pro, il faut faire de nombreux exercices de factorisation. Voici donc quelques exercices de factorisation. Nous donnons les solutions avec nos flashcards qui se trouvent à la fin de ce résumé de cours.
Factorise les expressions suivantes en choisissant un facteur commun.
1. \(4x + 12y\)
2. \(14a - 21b\)
3. \(15m^2 + 9n^3\)
4. \(25c + 100d\)
5. \(x^3 + 2xy\)
6. \(10x + 15xy\)
7. \(12b^2 - 2bc\)
8. \(x^2 - 2x\)
9. \(x(3x+1) + (3x+1)\)
10. \(q(2x+5) + 3r(2x+5)\)
11. \((2x-7)(x+1) + (x+1)^2\)
12. \((x+5)(x+1) + (x+5)(x-1)\)
Utilise une identité remarquable pour factoriser les expressions suivantes.
1. \(4y^2 + 4y + 1\)
2. \(9x^2 - 36\)
3. \(100b^2 - 100\)
4. \(9m^2 - 18m + 9\)
5. \(3x^2 + 6x + 3\)
6. \(16x^2 - 8x + 1\)
7. \(100 - y^2\)
8. \(x^2 + 10x + 25\)
Factorise les polynômes suivants avec une méthode qui convient.
1. \(x^2 + 7x + 10\)
2. \(2x^3 + 5x^3 + 4x^2 + 1\)
3. \(x^4 - x^2\)
4. \(x^2 - 8x - 20\)
5. \(4x^2(2x+5) - (2x+5)\)
6. \(3x^2 + 4x + 1\)
7. \(x^2 - 5x - 36\)
8. \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)
9. \(x^2 + 6x + 8\)
10. \(2x^2 + 5x + 2\)
Factorisation - Points clés
- Factoriser une expression algébrique est transformer une somme en un produit.
- Pour factoriser une expression, il y a plusieurs méthodes, mais le principe de base consiste à identifier le facteur commun et le mettre en facteur.
- Nous pouvons utiliser les identités remarquables pour factoriser une expression :
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ;
- \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) ;
- \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
- Pour factoriser des polynômes, nous pouvons déterminer leurs racines.
- Si nous avons une équation produit nul \(P(x)Q(x) = 0\), alors \(P(x) = 0\) ou \(Q(x) = 0\).
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