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Factorielle

Tu as peut-être déjà vu un nombre suivi par un point d'exclamation, comme \(4!\). Cela ne veut pas dire que le nombre est surpris, mais il s'agit d'une factorielle. Entre autres, savoir calculer la factorielle d'un nombre est un essentiel du domaine mathématique de combinatoire et dénombrement. Dans ce résumé de cours, nous donnerons d'abord une définition de la factorielle, et en particulier, la factorielle de 0. Par la suite, nous expliquerons comment calculer une factorielle et des aspects importants du calcul factoriel. Pour terminer, nous nous pencherons sur la fonction factorielle en programmation. 

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Tu as peut-être déjà vu un nombre suivi par un point d'exclamation, comme \(4!\). Cela ne veut pas dire que le nombre est surpris, mais il s'agit d'une factorielle. Entre autres, savoir calculer la factorielle d'un nombre est un essentiel du domaine mathématique de combinatoire et dénombrement. Dans ce résumé de cours, nous donnerons d'abord une définition de la factorielle, et en particulier, la factorielle de 0. Par la suite, nous expliquerons comment calculer une factorielle et des aspects importants du calcul factoriel. Pour terminer, nous nous pencherons sur la fonction factorielle en programmation.

Factorielle : définition

La factorielle d'un nombre entier \(n\) est le produit de tous les nombres entiers entre \(1\) et \(n\), compris. Elle est notée \(n!.\)

Ainsi pour déterminer la factorielle d'un nombre entier, nous pouvons utiliser la formule suivante : \[ n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1\] Nous pouvons aussi définir la factorielle d'un nombre par récurrence : \[ n! = n \times (n-1)! \] Lorsque nous définissons une quantité par récurrence, il est nécessaire de préciser le « point de départ ». Ici, le point de départ est 0. Quelle est donc la factorielle de 0 ?

Quelle est la factorielle de 0 ?

La factorielle de 0 est égale à 1 : \(0! = 1\). Cela peut paraître étrange, comme une factorielle est un produit et si 0 est inclus dans ce produit, donc le produit serait sûrement égal à 0. Or, il s'agit d'une convention. Pourquoi avons-nous donc choisi cette définition pour la factorielle de 0 ?

Le fait que la factorielle de 0 soit égale à 1 permet de garder la logique dans les formules. D'après la définition par récurrence de la factorielle, nous avons \(n! = n \times (n-1)!\). Cela implique que \((n-1)! = \frac{n!}{n}\). Si nous remplaçons \(n = 1\) dans cette formule, nous obtenons : \(0! = \frac{1!}{1} = 1\).

Fixer la factorielle de 0 comme 1 permet également de garder une cohérence pour les permutations et les arrangements. En effet, le nombre de permutations ou d'arrangements de 0 élément est 1. Si tu ne sais pas encore ce que sont les permutations et les arrangements, ou si tu veux en apprendre plus, consulte notre résumé de cours sur le sujet de combinatoire et dénombrement.

Comment calculer une factorielle ?

Pour calculer une factorielle, il existe deux formules simples que nous pouvons utiliser. La première est \(n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1\). Voyons un exemple de comment calculer une factorielle.

Sais-tu comment calculer la factorielle de \(5\) ?

\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

La factorielle de \(5\) est donc \(120\).

Nous pouvons également utiliser la formule \(n! = n \times (n-1)! \). Cette formule nous permet de calculer la factorielle d'un nombre en utilisant la factorielle du nombre précédent.

Peux-tu déterminer la factorielle de \(6\) ?

Certes, nous pouvons calculer le produit de tous les nombres entiers entre \(1\) et \(6\). Or, il serait plus judicieux d'utiliser le résultat de l'exemple précédent.

Nous pouvons donc calculer la factorielle de \(6\) de la façon suivante : \(6! = 6 \times 5! = 6 \times 120 = 720\).

Nous pouvons nous servir d'une calculatrice de déterminer la factorielle d'un entier lorsqu'il est permis.

Calcul factoriel

Voyons comment effectuer des calculs qui contiennent des factorielles. Pour faire la somme, la différence ou le produit de deux factorielles, il faut calculer chaque factorielle et ensuite effectuer la somme, la différence ou le produit.

1. Calcule \(3! + 2!\).


\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)

\(3! + 2! = 6 + 2 = 8\)

2. Calcule \(5! - 3!\).

\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

\(5! - 3! = 120 - 6 = 114\)

3. Calcule \(4! \times 3!\).

\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

\(4! \times 3! = 24 \times 6 = 144\)

Par contre, en divisant deux factorielles, nous pouvons faire quelques simplifications. Comme tu verras dans l'exemple qui suit, c'est bien moins compliqué avec cette astuce !

1. Calcule \(\frac{7!}{5!}\).

\(\frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

Les termes du dénominateur peuvent s'annuler avec quelques termes du numérateurs. Nous obtenons donc : \[\frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42\]

2. Simplifie \(\frac{n!}{(n-1)!}\).

Appliquons la définition de la factorielle d'un nombre : \[\frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1}{(n-1) \times ... \times 2 \times 1}\]

Ainsi, nous obtenons : \[\frac{n!}{(n-1)!} = n\]

Nous pouvons en déduire la relation de récurrence pour la factorielle d'un nombre : \(n! = n \times (n-1)! \)

Qu'est-ce que la fonction factorielle ?

Bien qu'une fonction factorielle puisse désigner une fonction mathématique, ce terme fait souvent référence à une fonction informatique. En d'autres termes, une fonction factorielle peut être considérée comme le code qui permet à un ordinateur de calculer la factorielle d'un nombre.

La plupart des langages de programmation disposent d'une fonction factorielle prédéfinie. Parfois, il est nécessaire de l'importer d'une bibliothèque spécifique. Nous pouvons également écrire notre propre code grâce à la définition de la factorielle d'un nombre avec les instructions de base du langage.

Par la suite, nous te montrerons comment le faire avec le langage Python.

La fonction factorielle en Python

Pour utiliser la fonction factorielle en Python, le plus simple est de l'importer de la bibliothèque math. Nous pouvons également exploiter les boucles, qui permettent de répéter une liste d'instructions. Il existe deux types de boucles en Python : les boucles for (pour) et les boucles while (tant que).

Pour utiliser la fonction factorielle en l'important de la bibliothèque math, nous pouvons le faire dans la console.

Factorielle Python bibliothèque StudySmarterFig. 1 - Utiliser la fonction factorial de la bibliothèque math dans la console

Nous pouvons également importer la fonction factorielle depuis la bibliothèque math et l'utiliser dans un script.

Factorielle Python import math StudySmarterFig. 2 - Utiliser la fonction factorial dans un code Python

Comme pour la plupart de langages de programmation, les instructions en Python sont en anglais. Garde bien à l'esprit que la fonction factorielle s'écrit « factorial » en Python et non « factorielle ».

Pour définir une formule factorielle avec une boucle for, nous devons spécifier une plage de valeurs auxquelles les instructions seront appliquées avec la fonction range (plage). Dans notre cas, la fonction range répétera l'instruction donnée pour les valeurs \(i = 1, 2, ... n-1\). Observe que cette fonction exclut la borne supérieure.

Factorielle Python boucle for StudySmarterFig. 3 - Une fonction factorielle avec une boucle for en Python

En Python, le signe égal ne représente pas l'égalité. Ce signe affecte une valeur donnée à la variable. Ici, pour chaque valeur de \(i\), la variable « res » sera modifiée. La nouvelle valeur de « res » sera l'ancienne valeur fois \(i + 1\).

Comme cette opération s'effectuera résultera dans la multiplication de tous les entiers entre \(1\) et \(n\), nous obtiendrons la factorielle de \(n\).

Garde à l'esprit que l'ordinateur lira tes instructions de gauche à droite. Ainsi, res*(i+1) = res ne sera pas compréhensible en langage Python.

Pour définir une formule factorielle avec une boucle while, nous devons spécifier une condition. Tant que cette condition est vérifiée, l'ordinateur répétera les instructions données. Dans notre cas, la condition est que \(i\) doit être inférieur à \(n\).

Factorielle Python boucle while StudySmarterFig. 4 - Une fonction factorielle avec une boucle while en Python

Chaque fois que la boucle est effectuée, la valeur de \(i\) augmente par \(1\) et la variable res est multipliée par \(i\). Une fois que toutes les instructions sont effectuées par l'ordinateur, il vérifie si \(i\) est toujours inférieur à \(n\). L'ordinateur sortira de cette boucle une fois que \(i\) est supérieur de \(n\) et dans ce cas, nous aurons obtenu la factorielle de \(n\).

Factorielle - Points clés

  • La factorielle d'un nombre entier \(n\) est le produit de tous les nombres entiers entre \(1\) et \(n\), compris. Elle est notée \(n!\).
  • Par définition, la factorielle de 0 est égale à 1.
  • Pour faire la somme, la différence ou le produit de deux factorielles, il faut calculer chaque factorielle et ensuite effectuer la somme, la différence ou le produit.
  • Lorsque nous divisons deux factorielles, nous pouvons faciliter les calculs en annulant les termes qui apparaissent dans le dénominateur et le numérateur.
  • Pour utiliser la fonction factorielle en Python, le plus simple est d'importer la fonction factorial depuis la bibliothèque math.

Questions fréquemment posées en Factorielle

Pour calculer la factorielle d'un nombre n, il faut faire le produit de tous les nombres entiers entre 1 et n, compris.

Nous utilisons la factorielle pour déterminer plusieurs quantités, notamment les combinaisons et les permutations d'objets.

La factorielle d'un nombre entier n est le produit de tous les nombres entiers entre 1 et n, compris.  En divisant deux factorielles, nous pouvons simplifier comme nous faisons avec des fractions. Pour les opérations de multiplication, addition et soustraction, nous devons simplement calculer chaque factorielle et faire l'opération ensuite. 

La factorielle de 5 est 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

La factorielle de 6 est 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.

Nous définissons 0! = 1 par convention. Nous avons choisi cette convention pour le bon fonctionnement des formules impliquant une factorielle. En particulier, nous savons que (n-1)! = n!/n. Si nous remplaçons n = 1 dans cette relation, nous obtenons bien 0! = 1.

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