Se connecter Inscris-toi gratuitement !
L'appli tout-en-un pour réviser
4.8 • +11k évaluations
Plus de 3 millions de téléchargements
Télécharger
|
|

All-in-one learning app

  • Flashcards
  • NotesNotes
  • ExplanationsExplanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Start studying

Factorielle

Tu as peut-être déjà vu un nombre suivi par un point d'exclamation, comme \(4!\). Cela ne veut pas dire que le nombre est surpris, mais il s'agit d'une factorielle. Savoir calculer la factorielle d'un nombre est important pour déterminer les combinaisons et les permutations — des concepts très courants dans le calcul des probabilités.

Factorielle : définition

La factorielle d'un nombre entier \(n\) est le produit de tous les nombres entiers entre \(1\) et \(n\), compris. Elle est notée \(n!\).

Pour calculer la factorielle d'un nombre entier, nous pouvons donc utiliser la formule suivante : \[ n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1\]

Calculons la valeur de \(4!\). \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Nous pouvons aussi définir la factorielle d'un nombre par récurrence : \[ n! = n \times (n-1)! \]

Par définition, \(0! = 1\)

Calcul factoriel

Voyons comment effectuer des calculs qui contiennent des factorielles. Pour faire la somme, la différence ou le produit de deux factorielles, il faut calculer chaque factorielle et ensuite effectuer la somme, la différence ou le produit.

1. Calcule \(3! + 2!\).


\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)

\(3! + 2! = 6 + 2 = 8\)

2. Calcule \(5! - 3!\).

\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

\(5! - 3! = 120 - 6 = 114\)

3. Calcule \(4! \times 3!\).

\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

\(4! \times 3! = 24 \times 6 = 144\)

Par contre, en divisant deux factorielles, nous pouvons faire quelques simplifications. Comme tu verras dans l'exemple qui suit, c'est bien moins compliqué avec cette astuce !

1. Calcule \(\frac{7!}{5!}\).

\(\frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

Les termes du dénominateur peuvent s'annuler avec quelques termes du numérateurs. Nous obtenons donc : \[\frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42\]

2. Simplifie \(\frac{n!}{(n-1)!}\).

Appliquons la définition de la factorielle d'un nombre : \[\frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1}{(n-1) \times ... \times 2 \times 1}\]

Ainsi, nous obtenons : \[\frac{n!}{(n-1)!} = n\]

Nous pouvons en déduire la relation de récurrence pour la factorielle d'un nombre : \(n! = n \times (n-1)! \)

Factorielle - Points clés

  • La factorielle d'un nombre entier \(n\) est le produit de tous les nombres entiers entre \(1\) et \(n\), compris. Elle est notée \(n!\).
  • Pour faire la somme, la différence ou le produit de deux factorielles, il faut calculer chaque factorielle et ensuite effectuer la somme, la différence ou le produit.
  • Lorsque nous divisons deux factorielles, nous pouvons faciliter les calculs en annulant les termes qui apparaissent dans le dénominateur et le numérateur.

Questions fréquemment posées en Factorielle

Pour calculer la factorielle d'un nombre n, il faut faire le produit de tous les nombres entiers entre 1 et n, compris.

Nous utilisons la factorielle pour déterminer plusieurs quantités, notamment les combinaisons et les permutations d'objets.

La factorielle d'un nombre entier n est le produit de tous les nombres entiers entre 1 et n, compris.  En divisant deux factorielles, nous pouvons simplifier comme nous faisons avec des fractions. Pour les opérations de multiplication, addition et soustraction, nous devons simplement calculer chaque factorielle et faire l'opération ensuite. 

La factorielle de 5 est 1 x 2 x 3 x 4 x 5.

Questionnaire final de Factorielle

Question

Quelle est la formule pour la factorielle de n ?

Montrer la réponse

Réponse

n! = 1 x 2 x 3 x ... x n - 1 x n

Montrer la question

Question

Quelle est la valeur de 0! ?

Montrer la réponse

Réponse

0

Montrer la question

Question

Calcule 9! 

Montrer la réponse

Réponse

9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362 880

Montrer la question

Question

Calcule 5! 

Montrer la réponse

Réponse

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

Montrer la question

Question

Calcule 5!3!

Montrer la réponse

Réponse

5! = 120 et 3! = 6, donc 5!3! = 720

Montrer la question

Question

Calcule 4!5!/6!

Montrer la réponse

Réponse

Nous pouvons simplifier comme 6! = 6 x 5!. Ainsi, 4!5!/6! = 4!/6 = 24/6 = 4

Montrer la question

Question

Calcule 9!/7!

Montrer la réponse

Réponse

9! = 9 x 8 x 7!. Donc, 9!/7! = 9 x 8 = 72


Montrer la question

Question

Calcule (n-1)!/n!

Montrer la réponse

Réponse

Comme n! = n x (n-1)!, alors (n-1)!/n! = 1/n

Montrer la question

Question

Calcule 2! + 3!

Montrer la réponse

Réponse

2! = 2 et 3! = 6, donc 2! + 3! =2 + 6 = 8

Montrer la question

Question

Calcule 5! 

Montrer la réponse

Réponse

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

Montrer la question

Question

Calcule 6! - 3!

Montrer la réponse

Réponse

6! = 720 et 3! = 6, donc 6! - 3! = 720 - 3 = 717

Montrer la question

Question

(2n)!/n! = 2

Montrer la réponse

Réponse

Vrai 

Montrer la question

Question

(a x b)! = a! x b!

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Si a > b, a!/b! = a x (a-1) x ... x (b+ 1) x b

Montrer la réponse

Réponse

Vrai 

Montrer la question

Question

Les factorielles interviennent dans le calculs de quels concepts combinatoires ?

Montrer la réponse

Réponse

Les combinaisons et les permutations

Montrer la question

60%

des utilisateurs ne réussissent pas le test de Factorielle ! Réussirez-vous le test ?

lancer le quiz

Complète tes cours avec des thèmes et sous-thèmes disponibles pour chaque matière!

Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !