T'es-tu déjà demandé quelles sont les chances de gagner à la loterie ? Pour répondre à cette question, nous devons connaître le nombre de résultats possibles. La réponse n'est pas si compliquée qu'elle ne paraît, il faut tout simplement étudier la thématique de combinatoire et dénombrement. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord présenter la notion de dénombrement. Par la suite, nous rentrerons dans les détails du dénombrement dans trois situations : les arrangements, les permutations et les combinaisons. À la fin, tu pourras mobiliser tes connaissances avec quelques exercices de dénombrement.
Dénombrement
Le dénombrement consiste à déterminer le nombre d'éléments dans un ensemble fini. Un ensemble fini est un ensemble dont le cardinal est fini.
Cardinal d'un ensemble
Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments qu'il contient. Nous pouvons noter le cardinal d'un ensemble \(E\) comme \(\text{card(E)}\), \(\#E\) ou encore \(|E|\).
Le cardinal de l'ensemble \(\{2,3,4,10,11\}\) est \(5\). Il s'agit donc d'un ensemble fini.
Le cardinal de l'ensemble \(\{-\infty, +\infty\}\) est \(2\). Il s'agit également d'un ensemble fini.
Il y a deux principes clés du dénombrement dont tous les autres découlent : le principe additif et le principe multiplicatif. Le principe additif du dénombrement précise que le cardinal d'une réunion d'ensembles disjoints est la somme des cardinaux de ces ensembles. Autrement dit, si \(E_1, E_2, ..., E_n\) est une famille d'ensembles deux à deux disjoints, alors \[\text{card}(E_1 \cup ... \cup E_n) = \text{card}(E_1) + ... + \text{card}(E_n)\]
Considère les ensembles \(E_1 = \{2,3,4\}\), \(E_2 = \{-\infty, +\infty\}\) et \(E_3 = \{a,b,c,d\}\).
Comme il s'agit d'ensembles disjoints, nous pouvons appliquer le principe additif.
Les cardinaux des ensembles sont \(\text{card}(E_1) = 3\), \(\text{card}(E_2) = 2\) et \(card(E_3) = 4\)
Ainsi, le cardinal de l'ensemble \(E_1 \cup E_2 \cup E_3\) est \(3+2+4 = 9\)
Pour énoncer le principe multiplicatif du dénombrement, il est d'abord nécessaire de définir le produit cartésien d'ensembles.
Produit cartésien
Le produit cartésien de deux ensembles contient tous les couples composés d'éléments de deux ensembles.
Le produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\) est \(A \times B = \{(a,b) | a \in A, b \in B\}\).
Considère les ensembles \(A = \{1,0\}\) et \(B = \{x, y\}\). Leur produit cartésien \(A \times B\) contient les éléments \((1,x)\), \((1,y)\), \((2,x)\) et \((2,y)\).
L'ordre est important pour le produit cartésien. L'ensemble \(A \times B\) n'est pas le même que l'ensemble \(B \times A\). Cela est logique comme le point \((0,1)\) n'est pas le même que le point \((1,0)\). De plus, nous pouvons définir le produit cartésien de plusieurs ensembles.
Le produit cartésien des ensembles \(E_1, ..., E_n\) est \(E_1 \times ... \times E_n = \{(e_1, ..., e_n | e_1 \in E_1, ... ,e_n \in E_n\}\). L'élément \((e_1, ..., e_n)\) est appelé un n-uplet.
Nous pouvons alors énoncer le principe multiplicatif du dénombrement. Il précise que le cardinal du produit cartésien d'ensembles est le produit des cardinaux de ces ensembles. \[\text{card}(E_1 \times ... \times E_n) = \text{card}(E_1) \times ... \times \text{card}(E_n)\]
Considère les ensembles \(E_1 = \{2,3,4\}\), \(E_2 = \{-\infty, +\infty\}\) et \(E_3 = \{a,b,c,d\}\).
Les cardinaux des ensembles sont \(\text{card}(E_1) = 3\), \(\text{card}(E_2) = 2\) et \(card(E_3) = 4\)
Ainsi, le cardinal de l'ensemble \(E_1 \times E_2 \times E_3\) est \(3 \times 2 \times 4 = 24\)
Le principe multiplicatif du dénombrement nous permet de compter (ou plutôt calculer) le nombre de permutations d'un ensemble.
Arrangement en maths
Un arrangement en maths est une sélection ordonnée d'objets, où la répétition n'est pas permise.
RAT est un arrangement de lettres dans le mot ARRANGEMENT.
Nous pouvons définir un arrangement plus rigoureusement à l'aide des informations présentées dans la section précédente sur le produit cartésien.
Soient \(n\) et \(p\) des entiers naturels tels que \(1 \leq p \leq n\). Un arrangement de \(p\) éléments de \(E\) est un p-uplet d'éléments distincts de \(E\).
Pour compter le nombre d'arrangements, nous exploitons le principe multiplicatif du dénombrement. Soit \(E\) un ensemble dont le cardinal est \(n\). Après avoir sélectionné le premier élément de l'arrangement, il nous reste \(n-1\) choix, car il n'y a pas de répétition permise dans un arrangement. De même, après avoir sélectionné le deuxième élément de l'arrangement, il nous reste \(n-2\) choix. Si nous continuons ainsi, après le (p-1)-ième élément, il y a donc \(n-(p-1) = n-p +1\) choix pour le p-ième et dernier élément de l'arrangement. D'où, le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble de cardinal \(n\) est : \[n \times n-1 \times ... \times n-p +1\] L'expression ci-dessus peut être reformulée à l'aide des factorielles.
La factorielle d'un entier naturel \(n\) est égale à \(n \times n-1 \times ... \times 1\). Elle se note \(n!\).
Pour en connaître plus sur la factorielle d'un nombre, n'hésite pas à consulter notre résumé de cours à ce sujet.
Si tu veux calculer la factorielle de \(5\), il faut faire le produit \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
Nous obtenons donc une autre expression pour le nombre d'arrangements de \(p\) éléments d'un ensemble de cardinal \(n\) : \[\frac{n!}{(n-p)!}\]
Pour jouer à la loterie, il faut choisir cinq numéros sur une grille de 49 numéros et un numéro complémentaire parmi dix. Peux-tu calculer le nombre de résultats possibles à la loterie ?
Pour les numéros non-complémentaires, il s'agit d'un arrangement où \(n = 49\) et \(p = 5\).
Il y a donc \(\frac{49!}{(49-5)!} = \frac{49!}{44!} = 228826080\) arrangements de cinq numéros.
Pour prendre en compte le numéro complémentaire, il faut utiliser le principe de multiplication du dénombrement. Comme il y a dix possibilités pour le numéro complémentaire, il y a \(10 \times 228826080 = 2288260800\) résultats possibles du loto.
Pour un arrangement en maths, l'ordre est important et nous ne pouvons pas répéter des éléments. Une permutation est un type spécial d'arrangement.
Permutation en maths
Une permutation est un arrangement de tous les éléments dans un ensemble.
ART est une permutation de RAT.
Nous pouvons en déduire le nombre de permutations à l'aide de la formule pour le nombre d'arrangements. Il faut remplacer \(p\) avec \(n\) : \[ \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!}\] Or, \(0! = 1\).
Un site internet requiert à ses clients d'avoir un mot de passe composé de tous les chiffres entre 0 et 9 compris. Chaque chiffre ne doit apparaître qu'une seule fois dans le mot de passe. Saurais-tu calculer le nombre de mots de passe possibles ?
Chaque mot de passe serait une permutation des chiffres entre 0 et 9. Comme il y a dix chiffres, il peut y avoir \(10! = 3628800\) mots de passe possibles.
Pour les arrangements et les permutations, l'ordre est important. Alors, qu'en est-il si l'ordre nous indiffère ? Dans ce cas, il s'agirait plutôt d'une combinaison.
Combinaisons
Une combinaison est une sélection de \(k\) éléments parmi \(n\). L'ordre des éléments n'est pas important.
Soient \(n\) et \(k\) des entiers naturels tels que \(1 \leq k \leq n\). Une combinaison de \(k\) éléments est un sous-ensemble de \(E\).
BON est une combinaison des lettres de COMBINAISON.
Pour déterminer le nombre de combinaisons, nous utilisons la formule suivante : \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Le symbole \( n \choose k\) se lit « \(k\) parmi \(n\) ». Il se note également \(C^k_n\)
Imagine que tu dois constituer un groupe de cinq personnes pour travailler sur un devoir commun. S'il y a \(30\) personnes dans ta classe, combien de façons y-a-t-il pour former le groupe ?
Si tu dois former une équipe de cinq personnes et tu fais partie du groupe en plus, alors \(k\) correspond à \(4\).
Comme il y a \(30\) personnes dans la classe, alors \(n\) correspond à \(29\).
Appliquons maintenant la formule pour le nombre de combinaisons.
\( \binom{29}{4} = \frac{29!}{4!25!} = 23751\)
Il y a donc \(23751\) façons pour former le groupe.
Les principes du dénombrement servent à resoudre de nombreux problèmes. Il faut donc savoir identifier si le contexte contient un arrangement, une permutation ou une combinaison à l'aide de divers exercises de dénombrement.
Exercices de dénombrement
Voici quelques exercices de dénombrement qui t'aideront à pratiquer les différents concepts abordés dans ce résumé de cours. Les corrigés de ces exercices sont fournis dans les flashcards associés en bas de page.
Il sera parfois nécessaire d'appliquer plusieurs concepts à un problème pour pouvoir le résoudre. De plus, tu devrais relire l'énoncé pour bien comprendre ce qui est demandé.
1. Combien il y a d'arrangements de trois lettres distinctes du mot ARRANGEMENT ?
2. Dans ta cuisine, il y a du poulet, du boeuf, du poisson, des épinards, des courgettes, des asperges, des tomates, du riz et des pâtes. Pour créer un plat équilibré, tu choisiras une viande, un légume et un féculent. Combien de possibilités de plats y-a-t-il ?
3. Trouve le nombre d'agencements possibles avec les lettres du mot LICORNE sans séparer les voyelles.
4. À chaque cours de maths ton professeur choisit trois élèves au hasard pour les interroger à l'oral. S'il y a 30 élèves dans ta classe, quelle est la probabilité qu'il t'interroge ?
( Tu trouveras les réponses dans la série de flashcards ci-dessous ! )
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