Statistiques

Dessine un diagramme de Venn pour les données suivantes :

U = nombres inférieurs à 20

A = nombres pairs

B = Multiples de 3

Solutions :

Calcule \(P(A \cap B)\)

Solutions :

Il y a 19 nombres dans l'ensemble.

Il y a 3 nombres à l'intérieur de l'intersection.

Donc \(P(A \cap B) = \frac{3}{19}\)

Il y a 400 élèves dans l'école, 250 filles et 150 garçons. Explique comment prélever un échantillon stratifié de 40 élèves dans l'école.

Solution.

Nous voulons choisir 25 filles et 15 garçons (de façon à avoir la même proportion que la population entière). Une méthode consiste à attribuer à toutes les filles un numéro compris entre 1 et 250. Ensuite, à l'aide d'un générateur de nombres aléatoires, génère 25 numéros, puis choisis ces 25 filles.

Répète la même chose pour les garçons : attribue-leur un numéro compris entre 1 et 150. Utilise ensuite ton générateur de nombres aléatoires pour générer 15 nombres, puis choisis ces 15 garçons.

Un jour choisi au hasard, chacun des 32 élèves d'une classe a noté à la minute près le temps (t) qu'il lui a fallu pour se rendre à l'école. Trouve la moyenne et l'écart type à partir des données suivantes :

\[\sum t = 1414 \text{ and } \sum t^2 = 69378\].

Solutions :

Moyenne : \(\frac{\sum t}{n} = \frac{1414}{32} = 44.1875\)

Ecart par défaut : \sqrt{\frac{\sum t^2}{n} - \Big( \frac{\sum t}{n} \Big)^2} = \frac{69378}{32} - (44.1875)^2 = 215.52734375\)

Un dé est lancé 10 fois. Le résultat du lancer de 5 présente une distribution binomiale : \(X \sim B(10, \frac{1}{6})\). Calcule \NP(P(X \leq 3)\N).

Solution.

Il suffit de calculer P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) et P(X = 3) et de les additionner. Par conséquent : \(P(X = 0) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\N 0 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10} = 0.1615055829 ; \quad P(X=1) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\ 1 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^9 = 0.3230111658 ; \quad P(X=2) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\\N 2 \end{array} \Nright) (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^8 = 0.2907100492 ; \quad P(X=3) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\\N 3 \end{array} \Nright) (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^7 = 0.155043596\)

En faisant la somme de tous ces éléments, nous obtenons \(P(X \leq 3) = 0.9302721575\)

Un café affirme qu'un quart des gâteaux qui lui sont envoyés n'ont pas de cerises sur le dessus. Pour tester cette affirmation, le nombre de gâteaux sans cerises dans un échantillon aléatoire de 40 est enregistré. En utilisant un niveau de signification de 5 %, trouve la région critique pour un test bilatéral de l'hypothèse selon laquelle la probabilité d'une cerise manquante est de 0,26.

Solutions :

Il s'agit d'un test bilatéral, ce qui signifie que nous devrons examiner les deux extrémités. Commence par un nombre aléatoire aux deux extrémités.

Extrémité inférieure :

P(X ≤ 6) = 0,07452108246

P(X ≤ 5) = 0.03207217407

P(X ≤ 4) = 0,01136083855

Comme il s'agit d'un test bilatéral, nous voulons être aussi proches que possible de 0,025 :

P(X ≤ 4) < 0,025 < P(X ≤ 5).

Extrémité supérieure :

P(X ≥ 16) = 1 - P(X ≤ 15) = 0,03703627013.

P(X ≥ 17) = 1 - P(X ≤ 16) = 0,0171086868649.

Encore une fois, nous voulons être aussi proches que possible de 0,025, donc :

P(X ≥ 17) < 0,025 < P(X ≥ 16).

Nos régions critiques sont donc P(X ≤ 4) et P(X ≥ 17).