Distribution Normale Standard

Une variable est distribuée au hasard $X~N(50,4^2)$. Ecris $P(X\ge 55)$ en termes de $\Phi \left(z\right)$ pour une certaine valeur de z.

Puisque la distribution normale est continue, $P(X\ge 55)=P(X>55)$.

Nous savons que la somme des probabilités dans une distribution normale est égale à 1, donc $P(X>55)=1-P(X<55)$. Nous convertissons ensuite cette distribution en une distribution normale standard.

Nous remplaçons les valeurs connues dans la formule $z=\frac{X-\mu }{\sigma }$.

Par conséquent ,$z=\frac{55-50}{4}$

D'où,$P(X<55)=P\left(Z<\frac{55-50}{4}\right)=P(Z<1.25)$

Enfin, $P(X\ge 55)=1-P(Z<1.25)=1-\Phi (1.25)$

Ceci est en termes de $\Phi \left(z\right)$et répond donc à la question.

Étant donné que $X~N(5,5^2)$trouve $P(2\le X<9)$ correct à 3 chiffres significatifs.

Commençons par dessiner un graphique :

Graphique de la distribution normale avec les zones ombrées

Ensuite, nous allons convertir les notes x en notes z.

Quand $x=2,z=\frac{2-5}{\sqrt{5}}=-1.342$

Quand $x=9,z=\frac{9-5}{\sqrt{5}}=1.789$

La surface à droite de z=0 est :

$$\begin{gathered} \Phi (1.789)-\Phi \left(0\right)=\Phi (1.789)-0.5 \\ =0.463 \end{gathered}$$

La surface à gauche de z=0 est: :

$$\begin{gathered} \Phi \left(0\right)-\Phi (-1.342)=0.5-\left(1-\Phi (1.342)\right) \\ =0.4102 \end{gathered}$$

Nous additionnons ensuite les 2 aires

$0.463+0.4102=0.8732$

$P(2\le X<9)=0.873$à 3 chiffres significatifs

Une élève obtient 73 % à son examen d'anglais, alors que la moyenne de la classe est de 68 % et l'écart type de 10,2 %. En biologie, elle a obtenu 66 %, alors que la moyenne de la classe était de 62 % et l'écart type de 6,8 %.

Dans quelle matière a-t-elle obtenu de meilleurs résultats que le reste de sa classe ?

Suppose que les notes des deux matières sont normalement distribuées.

Pour pouvoir comparer efficacement les notes des élèves, il faut les standardiser.

Score z en anglais : $\frac{73-68}{10.2}\approx 0.490$

Score z en biologie : $\frac{66-62}{6.8}\approx 0.588$

Interprétation - Le score z de l'élève détermine le nombre d'écarts-types entre sa note et la moyenne de la classe, dans les deux cas, au-dessus de la moyenne.

Plus la note z est élevée, plus sa note est éloignée de la moyenne et plus ses résultats sont bons par rapport au reste de la classe.

L'élève a obtenu les meilleurs résultats en biologie.

On sait que le poids des colliers faits main dans un magasin est normalement distribué avec un écart type de 5,9g. Si 15 % des colliers pèsent moins de 58,2 g, trouve le poids moyen des colliers.

Soit µ le poids moyen des colliers. L'information donnée peut donc être écrite sous la forme suivante$X~N(\mu ,5.9^2)$

De plus , $P(X\le 58.2)=0.15$

Nous allons maintenant convertir ce score x en score z.

$P\left(Z\le \frac{58.2-\mu }{5.9}\right)=0.15$

Nous utilisons maintenant la fonction normale inverse sur la calculatrice, pour N(0, 1²) et la probabilité=0,15.

$\frac{58.2-\mu }{5.9}\approx -1.0364$

Résous ensuite la question de µ.

$$\begin{gathered} 58.2-\mu \approx -6.1 \\ \mu \approx 64.3 \end{gathered}$$

Le poids moyen des colliers est d'environ 64,3 g.

La variable aléatoire $X~N(\mu ,{\sigma }^2)$. Étant donné que $P(X<17)=0.8159$, et $P(X<25)=0.9970$, trouve la valeur de µ et de σ.

Pour résoudre cette question, il est nécessaire de convertir les notes x en notes z, puis de résoudre les deux équations simultanément.

$$\begin{gathered} P(X<17)=0.8159 \\ \Rightarrow P\left(Z<\frac{17-\mu }{\sigma }\right)=0.8159 \end{gathered}$$

En utilisant la fonction normale inverse pour les deux probabilités, on obtient :

$$\begin{gathered} \frac{17-\mu }{\sigma }=-0.8998 \\ \Rightarrow 17-\mu =-0.8998\sigma \end{gathered}$$ autre $$\begin{gathered} \frac{25-\mu }{\sigma }=2.748 \\ \Rightarrow 25-\mu =2.748\sigma \end{gathered}$$

Nous résolvons ensuite ces deux équations simultanément. Cela peut se faire à la main ou à l'aide du résolveur d'équations simultanées de la calculatrice.

Nous obtenons : $\mu =19.0$ et $\sigma =2.20$à 3 chiffres significatifs.