La loi uniforme discrète
Considérons une variable aléatoire \(X\) qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Elle suit une loi uniforme discrète lorsqu'il y a une probabilité égale que \(X\) soit n'importe quelle valeur.
Une variable aléatoire \(X\) suit une loi uniforme discrète si elle prend les valeurs \(x_1, x_2, ... , x_n\) et pour \(i \in {1, 2, ... n}\), nous avons \[\mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n}\]
Si tu lances un dé normal, tu ne peux obtenir qu'un nombre fini de valeurs et la probabilité d'obtenir n'importe quelle valeur est la même. La valeur obtenue suit donc une loi uniforme discrète, avec la probabilité de chaque issue étant \(\frac{1}{6}\).
Pour expliciter la loi uniforme continue, nous devons d'abord (re)voir des notions sur les densités de probabilité.
Densité de probabilité
Une densité de probabilité, aussi appelée fonction de densité, caractérise certaines lois de probabilité. En particulier, elle permet de calculer la probabilité qu'une variable aléatoire à densité soit dans un certain intervalle. Considère une variable aléatoire \(X\) caractérisée par une densité de probabilité \(f\). Soient \(c, d \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\), tels que \(c \leq d\). Nous avons alors \[\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x) dx\] Nous utilisons la densité de probabilité pour calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire également. Si la densité de probabilité est définie sur un intervalle \([a,b]\), alors : \[\mathbb{E}[X] = \int_a^b xf(x) dx\] \[Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 = \int_a^b x^2f(x) dx - \left( \int_a^b xf(x) dx \right) ^2\] Nous appliquerons ces concepts à la loi uniforme continue.
La loi uniforme continue
Alors qu'une loi uniforme discrète prend un nombre fini de valeurs, une loi uniforme continue peut prendre une infinité de valeurs. Le concept global reste le même : chaque issue a une probabilité égale d'arriver.
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels tels que \(a < b\). Une variable aléatoire suit une loi uniforme continue sur un intervalle \([a,b]\) si sa densité de probabilité est \(f(x) = \frac{1}{b - a}\).
Pour déterminer la probabilité que la variable soit dans un certain intervalle, nous devons intégrer la fonction de densité.
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue entre \(1\) et \(5\). Peux-tu déterminer la probabilité que \(X\) soit entre \(2{,}5\) et \(4{,}5\) ?
\(\mathbb{P}(2{,}5 \leq X \leq 4{,}5) \)
\(= \int_{2{,}5}^{4{,}5} \frac{1}{5 - 1} dx\)
\(= \int_{2{,}5}^{4{,}5} \frac{1}{4} dx\)
\(= \left[ \frac{t}{4} \right]_{2{,}5}^{4{,}5} \)
\(= \left[ \frac{4{,}5 - 2{,}5}{4} \right] \)
\(= \frac{1}{2} \)
Nous pouvons également en déduire une formule simple pour déterminer une probabilité de ce type. Soient \(c\) et \(d\) deux réels tels que \(a \leq c < d \leq b\). La probabilité que \(X\) appartienne à l'intervalle \([c,d]\) est :
\(\mathbb{P}(c \leq X \leq d)\)
\(=\int_c^d \frac{1}{b - a} dx\)
\(=\left[ \frac{t}{b - a} \right]_{d}^{c} \)
\(=\frac{d-c}{b - a}\)
La méthode pour calculer l'espérance d'une loi uniforme continue utilise une approche similaire.
Comment calculer l'espérance d'une loi uniforme ?
Pour calculer l'espérance d'une loi uniforme continue, nous devons remplacer sa densité de probabilité dans la formule pour l'espérance. Détaillons ce calcul. Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit une loi uniforme continue sur \([a,b]\).
\(\mathbb{E}[X] \)
\( = \int_a^b x \frac{1}{b - a} dx\)
\( = \left[ \frac{x^2}{2(b - a)} \right]_a^b\)
\( = \frac{b^2}{2(b - a)} - \frac{a^2}{2(b - a)} \)
\( = \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)} \)
\( = \frac{(b- a)(b+a)}{2(b - a)} \)
\( = \frac{b+a}{2} \)
Pour te souvenir de cette formule, tu peux te dire qu'il s'agit de la moyenne des bornes de l'intervalle.
Considère une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi uniforme continue sur \([1,7]\). Peux-tu calculer l'espérance de \(X\), \(\mathbb{E}[X]\) ?
\(\mathbb{E}[X] = \frac{(1+7)}{2} = 4\)
L'espérance de cette variable aléatoire est donc \(4\).
Calculer la variance d'une loi uniforme nécessite un peu plus de travail, mais reste relativement simple.
Comment calculer la variance de la loi uniforme ?
Pour calculer la variance d'une loi uniforme continue, nous devons remplacer sa densité de probabilité dans la formule pour la variance, à savoir \(Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 \). Comme nous avons calculé l'espérance d'une loi uniforme dans la section précédente, la majorité du travail reste dans la détermination de \(\mathbb{E}[X^2]\). Nous considérons \(X\), une variable aléatoire qui suit une loi uniforme continue sur \([a,b]\).
\(\mathbb{E}[X^2]\)
\(= \int_a^b x^2 \frac{1}{b - a} dx\)
\(= \left[ \frac{x^3}{3(b - a)} \right]_a^b\)
\(= \frac{b^3}{3(b - a)} - \frac{a^3}{3(b - a)} \)
\(= \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)}\)
\(= \frac{(b - a)(b^2 - ab + a^2)}{3(b - a)}\)
\(= \frac{b^2 - ab + a^2}{3}\)
Nous pouvons alors substituer cette valeur dans la formule pour la variance.
\(Var(X)\)
\(= \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 \)
\(= \frac{b^2 - ab + a^2}{3} - \left(\frac{(b+a)}{2} \right)^2 \)
\(= \frac{b^2 - ab + a^2}{3} - \frac{b^2 + 2ab + a^2}{4} \)
\(= \frac{4(b^2 - ab + a^2)}{12} - \frac{3(b^2 + 2ab + a^2)}{12} \)
\(= \frac{b^2 - 2ab + a^2}{12}\)
\(= \frac{(b- a)^2}{12}\)
Dans le calcul de la variance, nous avons utilisé plusieurs identités remarquables. N'hésite pas à consulter notre résumé de cours sur la factorisation pour rafraîchir tes connaissances à ce sujet.
Considère une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi uniforme continue sur \([-4,8]\). Peux-tu calculer la variance de \(X\), \(Var(X)\) ?
\(Var(X) = \frac{(8- (-4))^2}{12}\)
\(Var(X) = \frac{12^2}{12} = 12\)
La variance de cette variable aléatoire est donc \(12\).
Tu as pu probablement constater qu'il y a beaucoup de formules en lien avec la loi uniforme. Dans la prochaine section, nous résumons les principales formules que tu devras utiliser.
Loi uniforme : formules
Voici un résumé des formules que nous utilisons habituellement lorsque nous travaillons avec la loi uniforme.
| Description | Formule |
| Densité de la loi uniforme continue sur \([a,b]\) | \(f(x) = \frac{1}{b - a}\) |
| Fonction de répartition de la loi uniforme continue | \(F(x) = \frac{x-a}{b - a}\), pour \(x \in [a,b]\) |
| Espérance de la loi uniforme continue | \(\mathbb{E}[X] = \frac{b+a}{2}\) |
| Espérance de la loi uniforme discrète avec \(n\) issues | \(\mathbb{E}[X] = \frac{n+1}{2}\) |
| Variance de la loi uniforme continue | \(Var(X) = \frac{(b- a)^2}{12}\) |
| Variance de la loi uniforme discrète avec \(n\) issues | \(Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}\) |
Loi uniforme - Points clés
- Une variable suit une loi uniforme si chaque issue a une probabilité égale d'arriver.
- S'il existe un nombre fini, \(n\), d'issues possibles, il s'agit alors d'une loi uniforme discrète et la probabilité de chaque issue est égale à \(\frac{1}{n}\).
- Si les issues prennent des valeurs dans un intervalle fermé, \([a,b]\), il s'agit alors d'une loi uniforme continue dont la densité de probabilité est \(\frac{1}{b - a}\).
- Si la variable aléatoire \(X\) suit une loi uniforme continue, la probabilité que \(X\) soit entre \(c\) et \(d\) est égale à \(\frac{d-c}{b - a}\).
- L'espérance d'une loi uniforme continue sur \([a,b]\) est \(\frac{(b+a)}{2}\).
- La variance d'une loi uniforme continue sur \([a,b]\) est \(\frac{(b- a)^2}{12}\).
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