Pour déterminer la probabilité que la variable soit dans un certain intervalle, nous devons intégrer la fonction de densité.
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue entre \(1\) et \(5\). Peux-tu déterminer la probabilité que \(X\) soit entre \(2{,}5\) et \(4{,}5\) ?
\(\mathbb{P}(2{,}5 \leq X \leq 4{,}5) \)
\(= \int_{2{,}5}^{4{,}5} \frac{1}{5 - 1} dx\)
\(= \int_{2{,}5}^{4{,}5} \frac{1}{4} dx\)
\(= \left[ \frac{t}{4} \right]_{2{,}5}^{4{,}5} \)
\(= \left[ \frac{4{,}5 - 2{,}5}{4} \right] \)
\(= \frac{1}{2} \)
Nous pouvons également en déduire une formule simple pour déterminer une probabilité de ce type. Soient \(c\) et \(d\) deux réels tels que \(a \leq c < d \leq b\). La probabilité que \(X\) appartienne à l'intervalle \([c,d]\) est :
\(\mathbb{P}(c \leq X \leq d)\)
\(=\int_c^d \frac{1}{b - a} dx\)
\(=\left[ \frac{t}{b - a} \right]_{d}^{c} \)
\(=\frac{d-c}{b - a}\)
La méthode pour calculer l'espérance d'une loi uniforme continue utilise une approche similaire.
Comment calculer l'espérance d'une loi uniforme ?
Pour calculer l'espérance d'une loi uniforme continue, nous devons remplacer sa densité de probabilité dans la formule pour l'espérance. Détaillons ce calcul. Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit une loi uniforme continue sur \([a,b]\).
\(\mathbb{E}[X] \)
\( = \int_a^b x \frac{1}{b - a} dx\)
\( = \left[ \frac{x^2}{2(b - a)} \right]_a^b\)
\( = \frac{b^2}{2(b - a)} - \frac{a^2}{2(b - a)} \)
\( = \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)} \)
\( = \frac{(b- a)(b+a)}{2(b - a)} \)
\( = \frac{b+a}{2} \)
Pour te souvenir de cette formule, tu peux te dire qu'il s'agit de la moyenne des bornes de l'intervalle.
Considère une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi uniforme continue sur \([1,7]\). Peux-tu calculer l'espérance de \(X\), \(\mathbb{E}[X]\) ?
\(\mathbb{E}[X] = \frac{(1+7)}{2} = 4\)
L'espérance de cette variable aléatoire est donc \(4\).
Calculer la variance d'une loi uniforme nécessite un peu plus de travail, mais reste relativement simple.
Comment calculer la variance de la loi uniforme ?
Pour calculer la variance d'une loi uniforme continue, nous devons remplacer sa densité de probabilité dans la formule pour la variance, à savoir \(Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 \). Comme nous avons calculé l'espérance d'une loi uniforme dans la section précédente, la majorité du travail reste dans la détermination de \(\mathbb{E}[X^2]\). Nous considérons \(X\), une variable aléatoire qui suit une loi uniforme continue sur \([a,b]\).
\(\mathbb{E}[X^2]\)
\(= \int_a^b x^2 \frac{1}{b - a} dx\)
\(= \left[ \frac{x^3}{3(b - a)} \right]_a^b\)
\(= \frac{b^3}{3(b - a)} - \frac{a^3}{3(b - a)} \)
\(= \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)}\)
\(= \frac{(b - a)(b^2 - ab + a^2)}{3(b - a)}\)
\(= \frac{b^2 - ab + a^2}{3}\)
Nous pouvons alors substituer cette valeur dans la formule pour la variance.
\(Var(X)\)
\(= \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 \)
\(= \frac{b^2 - ab + a^2}{3} - \left(\frac{(b+a)}{2} \right)^2 \)
\(= \frac{b^2 - ab + a^2}{3} - \frac{b^2 + 2ab + a^2}{4} \)
\(= \frac{4(b^2 - ab + a^2)}{12} - \frac{3(b^2 + 2ab + a^2)}{12} \)
\(= \frac{b^2 - 2ab + a^2}{12}\)
\(= \frac{(b- a)^2}{12}\)
Dans le calcul de la variance, nous avons utilisé plusieurs identités remarquables. N'hésite pas à consulter notre résumé de cours sur la factorisation pour rafraîchir tes connaissances à ce sujet.
Considère une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi uniforme continue sur \([-4,8]\). Peux-tu calculer la variance de \(X\), \(Var(X)\) ?
\(Var(X) = \frac{(8- (-4))^2}{12}\)
\(Var(X) = \frac{12^2}{12} = 12\)
La variance de cette variable aléatoire est donc \(12\).
Tu as pu probablement constater qu'il y a beaucoup de formules en lien avec la loi uniforme. Dans la prochaine section, nous résumons les principales formules que tu devras utiliser.
Loi uniforme : formules
Voici un résumé des formules que nous utilisons habituellement lorsque nous travaillons avec la loi uniforme.
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