Probabilité

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En mathématiques, la probabilité mesure la possibilité qu'un événement se produise. Il y a diverses façons d'effectuer le calcul d'une probabilité. Nous avons toujours droit à la formule qui définit la probabilité d'un événement. Pourtant, il peut être plus commode d'utiliser d'autres formules de probabilité. Nous pouvons avoir une situation où certaines conditions s'imposent, ce qui implique une probabilité conditionnelle. Lorsque nous voulons considérer les probabilités de plusieurs événements en même temps, nous avons recours à un arbre de probabilité. Enfin, les lois de probabilités nous fournissent des formules applicables à certains phénomènes.

Formule : probabilité

La formule pour calculer la probabilité d'un événement appelé \(A\) est comme suit : \[ P(A) = \frac{nombre \ d'issues \ favorables}{nombre \ total \ d'issues} \]

Une probabilité peut être écrite sous forme de fraction, sous forme décimale ou comme un pourcentage.

Une issue est le résultat d'une expérience aléatoire. Les issues favorables sont les issues qui permettent de réaliser un événement probabiliste.

Calculons la probabilité d'obtenir un nombre pair avec un lancer de dé.

L'événement est « obtenir un nombre pair ».

Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Donc, le nombre d'issues total est 6.

Les issues favorables sont les nombres pairs : 2, 4 et 6. Donc, le nombre d'issues favorables est 3.

Ainsi, la probabilité d'obtenir un nombre pair est \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) ou \(0{,}5\) ou encore \(50 \%\).

Une probabilité est toujours entre 0 et 1, comprise.

Probabilité conditionnelle

Il y a des événements indépendants, qui n'ont aucun lien entre eux. Cependant, pour les événements qui peuvent avoir un effet l'un sur l'autre, il convient parfois d'utiliser la formule de probabilité conditionnelle. Une probabilité conditionnelle est une probabilité calculée sachant qu'un autre événement s'est déjà produit.

La probabilité de l'événement B sachant que l'événement A s'est déjà passé s'écrit \(P(B|A)\). La probabilité conditionnelle est donnée par la formule suivante : \[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\]

\(P(A \cap B) \) représente la probabilité que les deux événements \(A\) et \(B\) se sont passés.

Arbre de probabilité

Les arbres de probabilité sont très utiles pour représenter les issues possibles de multiples expériences aléatoires. Dans un arbre de probabilité, nous écrivons les événements aux bouts de branches et les probabilités correspondantes sur la branche. Nous pouvons ensuite les utiliser pour calculer les probabilités de plusieurs événements consécutifs ou simultanés, en multipliant les chiffres le long des branches.

Probabilité Exemple arbre de probabilité StudySmarter Fig. 1 - Exemple d'un arbre de probabilité

Dans cet arbre de probabilité, nous représentons les issues de deux jeux de pile ou face. L'issue « pile » est représentée par un T et l'issue « face » est représentée par un H. Si nous supposons que la pièce de monnaie est équilibrée, alors la probabilité de chaque résultat est \( \frac{1}{2} \).

Loi de probabilité

Les lois de probabilité sont utilisées pour modéliser de divers phénomènes réels, comme le nombre de clients entrant dans un magasin ou le comportement de molécules.

Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Il peut s'agir d'un tableau où nous listons chaque issue et sa probabilité correspondante. Une loi de probabilité peut également prendre la forme d'une formule. C'est le cas notamment de la loi normale, utilisée pour modéliser de nombreuses situations.

Calcul des probabilités

Voyons quelques exemples de situations où nous pouvons appliquer les différentes méthodes abordées dans cet article.

1. Un sondage a trouvé que parmi 88 adultes, 32 fument des cigarettes régulièrement. Calculons la probabilité qu'une personne choisie au hasard est fumeur.

Ici, le nombre d'issues total est de 88. Le nombre d'issues favorables est de 32. La probabilité que quelqu'un choisi au hasard est fumeur est donc de \( \frac{32}{88} = \frac{4}{11} = 0{,}36 \).

2. Supposons que la probabilité que quelqu'un commence à fumer quotidiennement est de 0,2. La probabilité que quelqu'un commence à fumer et développe le cancer du poumon par la suite est de 0,15. Calculons la probabilité que quelqu'un développe le cancer du poumon sachant que cette personne a commencé à fumer.

Soit A l'événement que quelqu'un commence à fumer régulièrement.

Soit B l'événement que quelqu'un développe le cancer du poumon.

Alors, \(P(A) = 0{,}2\) et \(P(A \cap B) = 0{,}15\). Nous pouvons donc appliquer la formule de probabilité conditionnelle.

Ainsi, \(P(B|A) = \frac{0{,}15}{0{,}2} = 0{,}75\)

Utilisons l'arbre de probabilité ci-dessous pour établir la loi de probabilité pour deux jeux de pile ou face consécutifs. Ici, l'événement « obtenir face » est représenté par H et l'événement « obtenir pile » est représenté par T.

Probabilité Arbre de probabilité StudySmarter Fig. 2 - Utilisation d'un arbre de probabilité

Il s'agit de trouver les probabilités de toutes les issues possibles. Ici, les issues possibles sont deux fois face, deux fois pile et une fois pile, une fois face. En multipliant le long d'une branche, nous obtenons que la probabilité d'obtenir deux fois face est de \(\frac{1}{4}\).

Probabilité Calcul arbre de probabilité StudySmarter Fig. 3 - Calculer une probabilité avec un arbre de probabilité

En procédant de la même façon, nous obtenons la probabilité d'obtenir deux fois pile.

Probabilité Calcul arbre de probabilité StudySmarter Fig. 4 - Calculer une probabilité avec un arbre de probabilité

Remplissons un tableau pour résumer la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire.

Deux fois face	Deux fois pile	Une fois pile, une fois face
\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)	?

Comme la somme des probabilités est 1, la probabilité correspondante à la dernière issue est \(1-(\frac{1}{4} +\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\).

Enfin, la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire est donné par ce tableau :

Deux fois face	Deux fois pile	Une fois pile, une fois face
\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)

Probabilité - Points clés

La probabilité d'un événement appelé \(A\) est définie par la formule \( P(A) = \frac{nombre \ d'issues \ favorables}{nombre \ total \ d'issues} \).
La probabilité conditionnelle de l'événement \(B\), sachant que \(A\) s'est déjà passé, est donnée par la formule suivante : \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\).
Sur un arbre de probabilité, nous écrivons les événements aux bouts de branches et les probabilités correspondantes sur les branches.
Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Questions fréquemment posées en Probabilité

Pour faire un arbre de probabilité, il faut commencer par lister toutes les issues possibles des expériences aléatoires. Ensuite, pour la première expérience, il faut dessiner autant de branches qu'il y a d'issues. Pour chaque issue, écris la probabilité correspondante sur la branche. Au bout de chacune de ces branches, dessine autant de branches qu'il y a d'issues pour la deuxième expérience et écris la probabilité correspondante sur chaque branche. Continue ainsi pour toutes les expériences.

Pour calculer le nombre d'issues d'une expérience aléatoire, il faut considérer les différents résultats possibles. Cela peut impliquer des calculs de combinaisons et de permutations.

Pour faire un arbre pondéré inversé, il faut utiliser le théorème de probabilités totales ou le théorème de Bayes afin de calculer les probabilités conditionnelles dans le sens opposé.

Pour calculer la probabilité d'un événement, nous devons diviser le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. Nous pouvons également appliquer la loi de probabilité, si nous la conaissons.

Évaluation finale de Probabilité

Probabilité Quiz - Teste dein Wissen

Question

Qu'est-ce qu'une expérience en probabilité ?

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Réponse

Une expérience est un processus qui peut être répété plusieurs fois et qui produit un ensemble de résultats spécifiques.

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Question

Qu'est-ce qu'un événement en probabilité ?

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Réponse

Un événement est le résultat ou l'ensemble de résultats résultant d'une expérience.

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Question

Qu'est-ce que l'espace d'échantillon en probabilité ?

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Réponse

L'espace d'échantillon est l'ensemble de tous les résultats possibles.

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Question

Que sont les événements indépendants en probabilité ?

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Réponse

Deux événements (A et B) sont indépendants, si le fait que A se soit produit n'affecte pas la probabilité que B se produise, et vice versa.

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Question

Que sont les événements dépendants en probabilité ?

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Réponse

Deux événements (A et B) sont dépendants, si le fait que A se soit produit affecte la probabilité que B se produise, et vice versa.

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Question

Que sont les événements mutuellement exclusifs en probabilité ?

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Réponse

Les événements mutuellement exclusifs sont des événements qui n'ont aucun résultat en commun, ils ne peuvent donc pas se produire ensemble.

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Question

Quelle est la probabilité d'un événement impossible ?

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Réponse

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Question

Quelle est la probabilité d'un événement certain ?

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Réponse

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Question

Quelle est la probabilité d'un événement qui a autant de chances de se produire que de ne pas se produire ?

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Réponse

0.5

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Question

Si la probabilité d'un événement est de 0.3, est-il probable ou improbable qu'il se produise ?

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Réponse

improbable

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Question

Comment calcule-t-on la probabilité d'un événement ?

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Réponse

Probabilité d'un événement = nombre de résultats qui satisfont à une condition / nombre total de résultats possibles

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Question

Qu'est-ce qu'une issue d'une expérience aléatoire ?

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Réponse

Une issue est le résultat d'une expérience aléatoire.

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Question

Qu'est-ce qu'une issue favorable ?

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Réponse

Les issues favorables sont les issues qui permettent de réaliser un événement probabiliste.

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Question

Les événements _____ n'ont aucun lien entre eux.

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Réponse

indépendants

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Question

Qu'est-ce qu'une loi de probabilité ?

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Réponse

Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque issue d'une expérience aléatoire.

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Question

Dans un sondage de 90 personnes, 33 ont affirmé qu'ils ne prennent pas les transports en commun. Quelle est la probabilité qu'une personne utilise les transports en commun.

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Réponse

57 personnes interrogées utilisent les transports en commun. La probabilité est donc de 57/90 = 19/30

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Question

Dans une classe 31 élèves, 5 n'aiment pas les maths. Quelle est la probabilité qu'un(e) élève de cette classe n'aime pas les maths ?

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Réponse

La probabilité est de 5/31 = 0,16

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Question

La probabilité que les événements A et B se passent tous les deux est la même que la probabilité de A sachant que B s'est déjà arrivé.

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Réponse

Vrai

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Question

Nous jouons à pile ou face avec une pièce truquée. La probabilité d'obtenir pile est de 0,3. Utilise un arbre de probabilité pour déterminer la probabilité d'obtenir deux fois face.

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Réponse

0,49

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Question

Nous jouons à pile ou face avec trois pièces équilibrées. Utilise un arbre de probabilité pour déterminer la probabilité d'obtenir trois fois pile.

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Réponse

1/8

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Question

Une loi de probabilité peut prendre la forme d'un tableau ou d'une formule.

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Réponse

Vrai

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Question

Dans une urne, nous disposons de 5 boules rouges, 3 boules jaunes et 7 boules bleues. Une boule est choisie au hasard. Détermine la loi de probabilité pour cette expérience.

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Réponse

P(rouge) = 1/3

P(jaune) = 1/5

P(bleue) = 7/15

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Question

Dans une urne, nous disposons de 5 boules rouges, 3 boules jaunes et 7 boules bleues. Deux boules sont choisies au hasard, l'une après l'autre. Utilise un arbre de probabilité pour déterminer la probabilité d'avoir une boule jaune ensuite une boule bleue.

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Réponse

Cette probabilité est de (3/15) * (7/14) = 1/10

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Question

La loi normale est une loi de probabilité.

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Réponse

Vrai

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Question

Qu'est-ce que l'objectif de la statistique inférentielle ?

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Réponse

L'objectif de la statistique inférentielle est de déduire des informations sur la population statistique étudiée à partir d'un échantillon représentatif.

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Question

Pourquoi faut-il parfois étudier un échantillon au lieu de la population statistique ?

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Réponse

Dans certains contextes, il prendrait trop de temps et d'argent de récolter des données sur la population entière. Nous devons donc faire notre enquêtre sur un échantillon représentatif de la population.

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Question

Qu'est-ce qu'une loi binomiale ?

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Réponse

Nous disons que \(X\) suit une loi binomiale si la probabilité d'avoir \(k\) succès en ayant effectué \(n\) expériences est égale à : \[ \mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \]

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Question

Quels intervalles sont des intervalles de fluctuation ?

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Réponse

\[ \left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \]

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Question

Quelle formule correspond à un intervalle de confiance ?

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Réponse

\[ \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}}, f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \]

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Question

Qu'est-ce que la fréquence observée ?

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Réponse

La fréquence observée est la proportion de l'échantillon qui correspond à la caractéristique étudiée.

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Question

Qu'est-ce que la proportion théorique ?

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Réponse

La proportion théorique est la fraction de la population statistique qui correspond à la caractéristique étudiée.

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Question

Il y a 95 % de chances que la fréquence observée d'un échantillon soit incluse dans un intervalle de fluctuation à 95 %.

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Réponse

Vrai

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Question

Il y a 95 % de chances que la proportion théorique de la population soit incluse dans l'intervalle de confiance à 95 %.

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Réponse

Vrai

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Question

Comment interpréter un intervalle de confiance ?

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Réponse

Si la fréquence se trouve dans l'intervalle de fluctuation, alors nous acceptons (ou nous ne rejettons pas) l'hypothèse.

Si la fréquence observée n'est pas incluse dans l'intervalle de fluctuation, alors nous rejettons hypothèse.

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Question

Comment interpréter un intervalle de fluctuation ?

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Réponse

Cas 1 : Nous connaissons la proportion théorique.

Si la fréquence observée se trouve dans l'intervalle de fluctuation, alors l'échantillon est considéré représentatif de la population étudiée.
Si la fréquence observée n'est pas incluse dans l'intervalle de fluctuation, alors l'échantillon ne représente pas fidèlement les caractéristiques de la population étudiée.

Cas 2 : Nous faisons une hypothèse sur la proportion de la population.

Si la fréquence observée se trouve dans l'intervalle de fluctuation, alors nous acceptons l'hypothèse.
Si la fréquence observée n'est pas incluse dans l'intervalle de fluctuation, alors nous rejettons l'hypothèse.

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Question

Une chaîne de télévision estime que trois adultes sur quatre regardent ses émissions régulièrement. La chaîne a donc enquêté 1000 personnes. Utilise la formule \( \left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \) pour déterminer l'intervalle de fluctuation à 95 %.

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Réponse

Ici, \(p = 0{,}75\) et \(n= 1000\).

Donc, l'intervalle de fluctuation est \( \left[ 0{,}75 - \frac{1}{\sqrt{1000}}, 0{,}75 + \frac{1}{\sqrt{1000}} \right] \).

Après calcul, nous obtenons \([ 0{,}718, 0{,}782] \).

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Question

La Ville de Paris estime que 70 % de parisiens empruntent les transports en commun régulièrement. Parmi 480 personnes enquetées, 500 utilisent les transports en commun régulèrement. Utilise la formule pour l'intervalle de confiance, \( \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}}, f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \), pour déterminer si l'hypothèse faite est raisonnable.

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Réponse

Ici, \(f = \frac{480}{625} = 0{,}768\) et \(n= 625\).

Donc, l'intervalle de confiance est \( \left[ 0{,}768 - \frac{1}{\sqrt{625}}, 0{,}768 + \frac{1}{\sqrt{625}} \right] \).

Après calcul, nous obtenons \([ 0{,}728, 0{,}808] \).

Comme \( 70 \ % = 0{,}7\) appartient à cet intervalle, nous pouvons dire que l'hypothèse est raisonnable.

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Question

Parmi 400 personnes enquêtées, la moitié font du sport régulièrement. Utilise la formule \( \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}}, f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \) pour déterminer l'intervalle de confiance à 95 %.

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Réponse

Ici, \(f = 0{,}5\) et \(n= 400\).

Donc, l'intervalle de confiance est \( \left[ 0{,}5 - \frac{1}{\sqrt{400}}, 0{,}5 + \frac{1}{\sqrt{400}} \right] \).

Après calcul, nous obtenons \([ 0{,}45, 0{,}55] \).

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Question

Il est estimé que 69 % de la population française utilise des lunettes correctrices. Parmi 350 personnes, 270 utilisent des lunettes. En appliquant la formule pour l'intervalle de fluctuation, \( \left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \), détermine si cet échantillon est représentatif de la population.

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Réponse

Ici, \(p = 0{,}69\) et \(n= 350\).

Donc, l'intervalle de fluctuation est \( \left[ 0{,}69 - \frac{1}{\sqrt{350}}, 0{,}69 + \frac{1}{\sqrt{350}} \right] \).

Après calcul, nous obtenons \([ 0{,}637, 0{,}734] \).

Comme la fréquence observée \( \frac{270}{350}= 0{,}771\) n'appartient à cet intervalle, cet échantillon n'est pas représentatif.

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Question

Qu'est-ce que le dénombrement ?

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Réponse

Le dénombrement consiste à déterminer le nombre d'éléments dans un ensemble fini.

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Question

Qu'est-ce que le cardinal d'un ensemble ?

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Réponse

Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments qu'il contient. Nous pouvons noter le cardinal d'un ensemble \(E\) comme \(\text{card(E)}\), \(\#E\) ou encore \(|E|\)

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Question

Quel est le principe additif du dénombrement ?

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Réponse

Le principe additif du dénombrement précise que le cardinal d'une réunion d'ensembles disjoints est la somme des cardinaux de ces ensembles. Autrement dit, si \(E_1, E_2, ..., E_n\) est une famille d'ensembles deux à deux disjoints, alors \[\text{card}(E_1 \cup ... \cup E_n) = \text{card}(E_1) + ... + \text{card}(E_n)\]

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Question

Quel est le principe multiplicatif du dénombrement ?

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Réponse

Le principe multiplicatif précise que le cardinal du produit cartésien d'ensembles est le produit des cardinaux de ces ensembles. \[\text{card}(E_1 \times ... \times E_n) = \text{card}(E_1) \times ... \times \text{card}(E_n)\]

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Question

Qu'est-ce que le produit cartésien de deux ensembles ?

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Réponse

Le produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\) est \(A \times B = \{(a,b) | a \in A, b \in B\}\).

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Question

Donne la définition d'un arrangement.

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Réponse

Soient \(n\) et \(p\) des entiers naturels tels que \(1 \leq p \leq n\). Un arrangement de \(p\) éléments de \(E\) est un p-uplet d'éléments distincts de \(E\).

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Question

Qu'est-ce qu'une permutation ?

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Réponse

Une permutation est un arrangement de tous les éléments dans un ensemble.

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Question

Donne la définition d'une combinaison.

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Réponse

Soient \(n\) et \(k\) des entiers naturels tels que \(1 \leq k \leq n\). Une combinaison de \(k\) éléments est un sous-ensemble de \(E\).

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Question

Quelle formule faut-il utiliser pour calculer le nombre d'arrangements de \(p\) objets parmi \( n\) ?

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Réponse

\(\frac{n!}{(n-p)!}\)

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Question

Quelle formule faut-il utiliser pour calculer le nombre de combinaisons de \(k\) objets parmi \(n\) ?

Montrer la réponse

Réponse

\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

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Question

Quelle formule faut-il utiliser pour calculer le nombre de permutations de \(n\) objets ?

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Réponse

\(n!\)

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