En mathématiques, la probabilité mesure la possibilité qu'un événement se produise. Il y a diverses façons d'effectuer le calcul d'une probabilité. Nous avons toujours droit à la formule qui définit la probabilité d'un événement. Pourtant, il peut être plus commode d'utiliser d'autres formules de probabilité. Nous pouvons avoir une situation où certaines conditions s'imposent, ce qui implique une probabilité conditionnelle. Lorsque nous voulons considérer les probabilités de plusieurs événements en même temps, nous avons recours à un arbre de probabilité. Enfin, les lois de probabilités nous fournissent des formules applicables à certains phénomènes.
Formule : probabilité
La formule pour calculer la probabilité d'un événement appelé \(A\) est comme suit : \[ P(A) = \frac{nombre \ d'issues \ favorables}{nombre \ total \ d'issues} \]
Une probabilité peut être écrite sous forme de fraction, sous forme décimale ou comme un pourcentage.
Une issue est le résultat d'une expérience aléatoire. Les issues favorables sont les issues qui permettent de réaliser un événement probabiliste.
Calculons la probabilité d'obtenir un nombre pair avec un lancer de dé.
L'événement est « obtenir un nombre pair ».
Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Donc, le nombre d'issues total est 6.
Les issues favorables sont les nombres pairs : 2, 4 et 6. Donc, le nombre d'issues favorables est 3.
Ainsi, la probabilité d'obtenir un nombre pair est \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) ou \(0{,}5\) ou encore \(50 \%\).
Une probabilité est toujours entre 0 et 1, comprise.
Probabilité conditionnelle
Il y a des événements indépendants, qui n'ont aucun lien entre eux. Cependant, pour les événements qui peuvent avoir un effet l'un sur l'autre, il convient parfois d'utiliser la formule de probabilité conditionnelle. Une probabilité conditionnelle est une probabilité calculée sachant qu'un autre événement s'est déjà produit.
La probabilité de l'événement B sachant que l'événement A s'est déjà passé s'écrit \(P(B|A)\). La probabilité conditionnelle est donnée par la formule suivante : \[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\]
\(P(A \cap B) \) représente la probabilité que les deux événements \(A\) et \(B\) se sont passés.
Arbre de probabilité
Les arbres de probabilité sont très utiles pour représenter les issues possibles de multiples expériences aléatoires. Dans un arbre de probabilité, nous écrivons les événements aux bouts de branches et les probabilités correspondantes sur la branche. Nous pouvons ensuite les utiliser pour calculer les probabilités de plusieurs événements consécutifs ou simultanés, en multipliant les chiffres le long des branches.
Fig. 1 - Exemple d'un arbre de probabilité
Dans cet arbre de probabilité, nous représentons les issues de deux jeux de pile ou face. L'issue « pile » est représentée par un T et l'issue « face » est représentée par un H. Si nous supposons que la pièce de monnaie est équilibrée, alors la probabilité de chaque résultat est \( \frac{1}{2} \).
Loi de probabilité
Les lois de probabilité sont utilisées pour modéliser de divers phénomènes réels, comme le nombre de clients entrant dans un magasin ou le comportement de molécules.
Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque issue d'une expérience aléatoire.
Il peut s'agir d'un tableau où nous listons chaque issue et sa probabilité correspondante. Une loi de probabilité peut également prendre la forme d'une formule. C'est le cas notamment de la loi normale, utilisée pour modéliser de nombreuses situations.
Calcul des probabilités
Voyons quelques exemples de situations où nous pouvons appliquer les différentes méthodes abordées dans cet article.
1. Un sondage a trouvé que parmi 88 adultes, 32 fument des cigarettes régulièrement. Calculons la probabilité qu'une personne choisie au hasard est fumeur.
Ici, le nombre d'issues total est de 88. Le nombre d'issues favorables est de 32. La probabilité que quelqu'un choisi au hasard est fumeur est donc de \( \frac{32}{88} = \frac{4}{11} = 0{,}36 \).
2. Supposons que la probabilité que quelqu'un commence à fumer quotidiennement est de 0,2. La probabilité que quelqu'un commence à fumer et développe le cancer du poumon par la suite est de 0,15. Calculons la probabilité que quelqu'un développe le cancer du poumon sachant que cette personne a commencé à fumer.
Soit A l'événement que quelqu'un commence à fumer régulièrement.
Soit B l'événement que quelqu'un développe le cancer du poumon.
Alors, \(P(A) = 0{,}2\) et \(P(A \cap B) = 0{,}15\). Nous pouvons donc appliquer la formule de probabilité conditionnelle.
Ainsi, \(P(B|A) = \frac{0{,}15}{0{,}2} = 0{,}75\)
Utilisons l'arbre de probabilité ci-dessous pour établir la loi de probabilité pour deux jeux de pile ou face consécutifs. Ici, l'événement « obtenir face » est représenté par H et l'événement « obtenir pile » est représenté par T.
Fig. 2 - Utilisation d'un arbre de probabilité
Il s'agit de trouver les probabilités de toutes les issues possibles. Ici, les issues possibles sont deux fois face, deux fois pile et une fois pile, une fois face. En multipliant le long d'une branche, nous obtenons que la probabilité d'obtenir deux fois face est de \(\frac{1}{4}\).
Fig. 3 - Calculer une probabilité avec un arbre de probabilité
En procédant de la même façon, nous obtenons la probabilité d'obtenir deux fois pile.
Fig. 4 - Calculer une probabilité avec un arbre de probabilité
Remplissons un tableau pour résumer la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire.
| Deux fois face | Deux fois pile | Une fois pile, une fois face |
| \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) | ? |
Comme la somme des probabilités est 1, la probabilité correspondante à la dernière issue est \(1-(\frac{1}{4} +\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\).
Enfin, la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire est donné par ce tableau :
| Deux fois face | Deux fois pile | Une fois pile, une fois face |
| \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) |
Probabilité - Points clés
- La probabilité d'un événement appelé \(A\) est définie par la formule \( P(A) = \frac{nombre \ d'issues \ favorables}{nombre \ total \ d'issues} \).
- La probabilité conditionnelle de l'événement \(B\), sachant que \(A\) s'est déjà passé, est donnée par la formule suivante : \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\).
- Sur un arbre de probabilité, nous écrivons les événements aux bouts de branches et les probabilités correspondantes sur les branches.
- Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque issue d'une expérience aléatoire.
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Questions fréquemment posées en Probabilité
Comment faire un arbre de probabilité ?
Pour faire un arbre de probabilité, il faut commencer par lister toutes les issues possibles des expériences aléatoires. Ensuite, pour la première expérience, il faut dessiner autant de branches qu'il y a d'issues. Pour chaque issue, écris la probabilité correspondante sur la branche. Au bout de chacune de ces branches, dessine autant de branches qu'il y a d'issues pour la deuxième expérience et écris la probabilité correspondante sur chaque branche. Continue ainsi pour toutes les expériences.
Comment calculer le nombre d'issues ?
Pour calculer le nombre d'issues d'une expérience aléatoire, il faut considérer les différents résultats possibles. Cela peut impliquer des calculs de combinaisons et de permutations.
Comment faire un arbre pondéré inversé ?
Pour faire un arbre pondéré inversé, il faut utiliser le théorème de probabilités totales ou le théorème de Bayes afin de calculer les probabilités conditionnelles dans le sens opposé.
Comment calculer la probabilité d'un événement ?
Pour calculer la probabilité d'un événement, nous devons diviser le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. Nous pouvons également appliquer la loi de probabilité, si nous la conaissons.
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