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Probabilité

En mathématiques, la probabilité mesure la possibilité qu'un événement se produise. Il y a diverses façons d'effectuer le calcul d'une probabilité. Nous avons toujours droit à la formule qui définit la probabilité d'un événement. Pourtant, il peut être plus commode d'utiliser d'autres formules de probabilité. Nous pouvons avoir une situation où certaines conditions s'imposent, ce qui implique une probabilité conditionnelle. Lorsque nous voulons considérer les probabilités de plusieurs événements en même temps, nous avons recours à un arbre de probabilité. Enfin, les lois de probabilités nous fournissent des formules applicables à certains phénomènes.

Formule : probabilité

La formule pour calculer la probabilité d'un événement appelé \(A\) est comme suit : \[ P(A) = \frac{nombre \ d'issues \ favorables}{nombre \ total \ d'issues} \]

Une probabilité peut être écrite sous forme de fraction, sous forme décimale ou comme un pourcentage.

Une issue est le résultat d'une expérience aléatoire. Les issues favorables sont les issues qui permettent de réaliser un événement probabiliste.

Calculons la probabilité d'obtenir un nombre pair avec un lancer de dé.

L'événement est « obtenir un nombre pair ».

Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Donc, le nombre d'issues total est 6.

Les issues favorables sont les nombres pairs : 2, 4 et 6. Donc, le nombre d'issues favorables est 3.

Ainsi, la probabilité d'obtenir un nombre pair est \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) ou \(0{,}5\) ou encore \(50 \%\).

Une probabilité est toujours entre 0 et 1, comprise.

Probabilité conditionnelle

Il y a des événements indépendants, qui n'ont aucun lien entre eux. Cependant, pour les événements qui peuvent avoir un effet l'un sur l'autre, il convient parfois d'utiliser la formule de probabilité conditionnelle. Une probabilité conditionnelle est une probabilité calculée sachant qu'un autre événement s'est déjà produit.

La probabilité de l'événement B sachant que l'événement A s'est déjà passé s'écrit \(P(B|A)\). La probabilité conditionnelle est donnée par la formule suivante : \[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\]

\(P(A \cap B) \) représente la probabilité que les deux événements \(A\) et \(B\) se sont passés.

Arbre de probabilité

Les arbres de probabilité sont très utiles pour représenter les issues possibles de multiples expériences aléatoires. Dans un arbre de probabilité, nous écrivons les événements aux bouts de branches et les probabilités correspondantes sur la branche. Nous pouvons ensuite les utiliser pour calculer les probabilités de plusieurs événements consécutifs ou simultanés, en multipliant les chiffres le long des branches.

Probabilité Exemple arbre de probabilité StudySmarterFig. 1 - Exemple d'un arbre de probabilité

Dans cet arbre de probabilité, nous représentons les issues de deux jeux de pile ou face. L'issue « pile » est représentée par un T et l'issue « face » est représentée par un H. Si nous supposons que la pièce de monnaie est équilibrée, alors la probabilité de chaque résultat est \( \frac{1}{2} \).

Loi de probabilité

Les lois de probabilité sont utilisées pour modéliser de divers phénomènes réels, comme le nombre de clients entrant dans un magasin ou le comportement de molécules.

Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Il peut s'agir d'un tableau où nous listons chaque issue et sa probabilité correspondante. Une loi de probabilité peut également prendre la forme d'une formule. C'est le cas notamment de la loi normale, utilisée pour modéliser de nombreuses situations.

Calcul des probabilités

Voyons quelques exemples de situations où nous pouvons appliquer les différentes méthodes abordées dans cet article.

1. Un sondage a trouvé que parmi 88 adultes, 32 fument des cigarettes régulièrement. Calculons la probabilité qu'une personne choisie au hasard est fumeur.

Ici, le nombre d'issues total est de 88. Le nombre d'issues favorables est de 32. La probabilité que quelqu'un choisi au hasard est fumeur est donc de \( \frac{32}{88} = \frac{4}{11} = 0{,}36 \).

2. Supposons que la probabilité que quelqu'un commence à fumer quotidiennement est de 0,2. La probabilité que quelqu'un commence à fumer et développe le cancer du poumon par la suite est de 0,15. Calculons la probabilité que quelqu'un développe le cancer du poumon sachant que cette personne a commencé à fumer.

Soit A l'événement que quelqu'un commence à fumer régulièrement.

Soit B l'événement que quelqu'un développe le cancer du poumon.

Alors, \(P(A) = 0{,}2\) et \(P(A \cap B) = 0{,}15\). Nous pouvons donc appliquer la formule de probabilité conditionnelle.

Ainsi, \(P(B|A) = \frac{0{,}15}{0{,}2} = 0{,}75\)

Utilisons l'arbre de probabilité ci-dessous pour établir la loi de probabilité pour deux jeux de pile ou face consécutifs. Ici, l'événement « obtenir face » est représenté par H et l'événement « obtenir pile » est représenté par T.

Probabilité Arbre de probabilité StudySmarterFig. 2 - Utilisation d'un arbre de probabilité

Il s'agit de trouver les probabilités de toutes les issues possibles. Ici, les issues possibles sont deux fois face, deux fois pile et une fois pile, une fois face. En multipliant le long d'une branche, nous obtenons que la probabilité d'obtenir deux fois face est de \(\frac{1}{4}\).

Probabilité Calcul arbre de probabilité StudySmarterFig. 3 - Calculer une probabilité avec un arbre de probabilité

En procédant de la même façon, nous obtenons la probabilité d'obtenir deux fois pile.

Probabilité Calcul arbre de probabilité StudySmarterFig. 4 - Calculer une probabilité avec un arbre de probabilité

Remplissons un tableau pour résumer la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire.

Deux fois face
Deux fois pile
Une fois pile, une fois face
\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{4}\)
?

Comme la somme des probabilités est 1, la probabilité correspondante à la dernière issue est \(1-(\frac{1}{4} +\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\).

Enfin, la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire est donné par ce tableau :

Deux fois face
Deux fois pile
Une fois pile, une fois face
\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{2}\)

Probabilité - Points clés

  • La probabilité d'un événement appelé \(A\) est définie par la formule \( P(A) = \frac{nombre \ d'issues \ favorables}{nombre \ total \ d'issues} \).
  • La probabilité conditionnelle de l'événement \(B\), sachant que \(A\) s'est déjà passé, est donnée par la formule suivante : \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\).
  • Sur un arbre de probabilité, nous écrivons les événements aux bouts de branches et les probabilités correspondantes sur les branches.
  • Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Questions fréquemment posées en Probabilité

Pour faire un arbre de probabilité, il faut commencer par lister toutes les issues possibles des expériences aléatoires. Ensuite, pour la première expérience, il faut dessiner autant de branches qu'il y a d'issues. Pour chaque issue, écris la probabilité correspondante sur la branche. Au bout de chacune de ces branches, dessine autant de branches qu'il y a d'issues pour la deuxième expérience et écris la probabilité correspondante sur chaque branche. Continue ainsi pour toutes les expériences. 

Pour calculer le nombre d'issues d'une expérience aléatoire, il faut considérer les différents résultats possibles. Cela peut impliquer des calculs de combinaisons et de permutations. 

Pour faire un arbre pondéré inversé, il faut utiliser le théorème de probabilités totales ou le théorème de Bayes afin de calculer les probabilités conditionnelles dans le sens opposé. 

Pour calculer la probabilité d'un événement, nous devons diviser le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. Nous pouvons également appliquer la loi de probabilité, si nous la conaissons.

Questionnaire final de Probabilité

Question

Qu'est-ce qu'une expérience en probabilité ? 

Montrer la réponse

Réponse

Une expérience est un processus qui peut être répété plusieurs fois et qui produit un ensemble de résultats spécifiques. 

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'un événement en probabilité ?

Montrer la réponse

Réponse

Un événement est le résultat ou l'ensemble de résultats résultant d'une expérience.

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Question

Qu'est-ce que l'espace d'échantillon en probabilité ?

Montrer la réponse

Réponse

L'espace d'échantillon est l'ensemble de tous les résultats possibles.

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Question

Que sont les événements indépendants en probabilité ?

Montrer la réponse

Réponse

Deux événements (A et B) sont indépendants, si le fait que A se soit produit n'affecte pas la probabilité que B se produise, et vice versa.

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Question

Que sont les événements dépendants en probabilité ?

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Réponse

Deux événements (A et B) sont dépendants, si le fait que A se soit produit affecte la probabilité que B se produise, et vice versa.

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Question

Que sont les événements mutuellement exclusifs en probabilité ?

Montrer la réponse

Réponse

Les événements mutuellement exclusifs sont des événements qui n'ont aucun résultat en commun, ils ne peuvent donc pas se produire ensemble.

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Question

Quelle est la probabilité d'un événement impossible ?

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Réponse

0

Montrer la question

Question

Quelle est la probabilité d'un événement certain ?

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Réponse

1

Montrer la question

Question

Quelle est la probabilité d'un événement qui a autant de chances de se produire que de ne pas se produire ?





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Réponse

0.5

Montrer la question

Question

Si la probabilité d'un événement est de 0.3, est-il probable ou improbable qu'il se produise ?

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Réponse

improbable

Montrer la question

Question

Comment calcule-t-on la probabilité d'un événement ?

Montrer la réponse

Réponse

Probabilité d'un événement = nombre de résultats qui satisfont à une condition / nombre total de résultats possibles

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Question

Qu'est-ce qu'une issue d'une expérience aléatoire ?

Montrer la réponse

Réponse

Une issue est le résultat d'une expérience aléatoire.

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'une issue favorable ?

Montrer la réponse

Réponse

Les issues favorables sont les issues qui permettent de réaliser un événement probabiliste.

Montrer la question

Question

Les événements _____ n'ont aucun lien entre eux. 

Montrer la réponse

Réponse

indépendants

Montrer la question

Question

Qu'est-ce qu'une loi de probabilité ?

Montrer la réponse

Réponse

Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque issue d'une expérience aléatoire. 

Montrer la question

Question

Dans un sondage de 90 personnes, 33 ont affirmé qu'ils ne prennent pas les transports en commun. Quelle est la probabilité qu'une personne utilise les transports en commun. 

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Réponse

57 personnes interrogées utilisent les transports en commun. La probabilité est donc de 57/90 = 19/30

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Question

Dans une classe 31 élèves, 5 n'aiment pas les maths. Quelle est la probabilité qu'un(e) élève de cette classe n'aime pas les maths ?

Montrer la réponse

Réponse

La probabilité est de 5/31 = 0,16

Montrer la question

Question

La probabilité que les événements A et B se passent tous les deux est la même que la probabilité de A sachant que B s'est déjà arrivé.

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Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Nous jouons à pile ou face avec une pièce truquée. La probabilité d'obtenir pile est de 0,3. Utilise un arbre de probabilité pour déterminer la probabilité d'obtenir deux fois face. 

Montrer la réponse

Réponse

0,49

Montrer la question

Question

Nous jouons à pile ou face avec trois pièces équilibrées. Utilise un arbre de probabilité pour déterminer la probabilité d'obtenir trois fois pile. 

Montrer la réponse

Réponse

1/8

Montrer la question

Question

Une loi de probabilité peut prendre la forme d'un tableau ou d'une formule.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Dans une urne, nous disposons de 5 boules rouges, 3 boules jaunes et 7 boules bleues. Une boule est choisie au hasard. Détermine la loi de probabilité pour cette expérience. 

Montrer la réponse

Réponse

P(rouge) = 1/3

P(jaune) = 1/5

P(bleue) = 7/15

Montrer la question

Question

Dans une urne, nous disposons de 5 boules rouges, 3 boules jaunes et 7 boules bleues. Deux boules sont choisies au hasard, l'une après l'autre. Utilise un arbre de probabilité pour déterminer la probabilité d'avoir une boule jaune ensuite une boule bleue.

Montrer la réponse

Réponse

Cette probabilité est de (3/15) * (7/14) = 1/10

Montrer la question

Question

La loi normale est une loi de probabilité. 

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

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